3第2章 稳态热传导
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b q [0 (t1 t2 )](t1 t2 ) 2 b [0 (t1 t2 )] 2 q (t1 t2 )
观察该式可以知道，计算导热系数时，只 需求出平板两侧的温度算术平均值，再代 入计算即可。对（5）式进行讨论： 当 b 0， qx 0 (t1 t )； b 2 2 qx 0 (t1 t ) (t1 t )。 当 b 0， 2
对于单层圆筒壁而言，设其内外半径分别为 r1、r2，内外层表面维持恒定均匀的温度t1、t2， 并且假设 t1>t2 ， λ 为常数，且圆筒壁长度远远大 于r1、r2。这样就忽略了沿轴向的热量传递，而
仅沿半径方向发生变化，那么完全可以看成 是一维稳态导热，由此可见温度传递过程与Z轴无 关，跟偏转角 ψ 无关，于是单层圆筒壁柱坐标的 导热微分方程可表示为
2.22 103
ql l
t1 t2 1 1 1 l ln(r2 / r1 ) ln(r2 / r1 ) 2 l 2
t1 t2
单位为W/m。 *圆筒壁的线热流密度处处相等，跟长度和壁厚 都无关。 例 1 ：一根直径为 1mm 的铜导线，每米的电 阻为 2.22×10-3Ω 。导线外包有厚度为 0.5mm ， 导热系数为 0.15W/(m· K) 的绝缘层。限定绝 缘层的最高温度为65º C，绝缘层的外表面温 度受环境影响，假设为40º C。试确定该导线 的最大允许电流为多少？
dp dr p r
ln p ln r ln c1 c1 p r
dt c1 dr r
c1 dt dr r c1 dt r dr
t c1 ln r c2
C1、C2为常数。
求解可以得到
t c1 ln r c2
其中圆筒壁的边界条件为：
（2）
t |r r1 t1
d dt (r ) 0 dr dr
经过变换，可得到如下方程：
dt d 2t r 2 0 dr dr
d 2t 1 dt 0 2 r dr dr
（1）
对于方程 令 则
d 2t 1 dt 0 2 r dr dr
dt p dr
dp 1 p0 dr r 因此 dp dr p r
(4)
于是由傅里叶定律可得热流密度q及热流Φ : (5) (6)
以上讨论的是 λ 为常数，若 λ 随温度变化成 线性分布，又该如何求解呢？一般而 0、b bt 为常数。 言，t 0 ，
于是由傅里叶定律公式可得，
dt dt q (0 bt ) dx dx qdx 0 dt btdt
2.3.3 单层圆筒壁的导热
绪论部分讲了稳态导热微分方程的直角坐标系 2 的表示，拉普拉斯算子为0，即 t 0 也就是
2t 2t 2t 2 2 0 2 x y z
如果用柱状坐标表示就是：
t 1 t t (r ) ( )r ( ) 0 r r r z z
RA
2.3.2 多层平壁的稳态导热
多层平壁的定义。 以三层平壁为例，已知各层的 厚度δ1、δ2、δ3，各层的导 热系数分别为λ1、λ2、λ3， 两外表面的温度为t1、t4, t1>t4，求热流密度q及热阻R。
图3 三层平壁的导热
先写出各层的热流密度表达式：
(1)
注意：平壁内热流密度处处相等！！ 于是： (2)
2t 0
0
反馈题：
1、一般而言，导电固体的导热系数随温度的 升高而升高。 2、在温度梯度的模不变的情况下，热流密度 的模越大，材料导热系数也越大。 3、导热系数跟热流密度成正比，跟温度梯度 成反比。 4、 t = f (x, y,τ)属于三维非稳态温度场 。 5、导热微分方程式是基于傅里叶定律及热能 守恒定律推导出来的。 6、平均温度在200℃以下导热系数低于 0.12W/ (m· K)时，这种材料称为保温材料。
下面举一个例题来说明。 例：有一连续式加热炉的炉墙由内层粘土砖和外层 硅 藻 土 砖 砌 成 ， 它 们 的 厚 度 分 别 为 S1=230mm ， S2=115mm,炉墙内表面温度为 t1=1100℃ ，外表面温 度t3=100 ℃，试求炉墙导出的热流密度？ 解：分析：若能求出t2问题就好解决了，如何求解？ 从附录4中查得：
t q n A x
t | n| x
导热微分方程一般表达式：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
泊松方程为：
2t
描述的是常物性、稳态、有内热源的导热微分方程。 对于常物性、稳态、且无内热源的导热微分方程为：
2
tw1 tw2 65 40 33.98(W / m) d2 1 2 1 ln ln 2 d1 2 0.15 1
I 2 R 33.98 I 33.98 R 33.98 123.7( A) 3 2.22 10
圆筒壁的导热计算公式里都包含有对数项，如 果单层圆筒壁的外径和内径之比 r2/r1≤2, 可按单 层平壁的计算公式计算，在计算时，壁厚取 δ= r1 r2 r2-r1，传热面积为 A 2 l (r1 r2 )l ，
（1）式求解过程： dt 令 p 则
dp d 2t 2 0 dx dx
p c1
dx
dt p c1 dx t c1 x c2
对（3）式作一阶求导： dt t2 t1 dx
t2 t1 dt q t dx dt qA A A t dx
t |r r2 t2
（3）
将其中的边界条件代入（2）可得，
t2 t1 c1 ln( r2 / r1 )
t2 t1 c2 t1 ln r1 ln(r2 / r1 )
（4）
图7 单层圆筒壁
则可得圆筒壁的温度表达式：
t2 t1 t2 t1 t ln r t1 ln r1 ln( r2 / r1 ) ln( r2 / r1 )
dt t2 t1 t1 t2 q dr r ln(r2 / r1 ) r ln(r2 / r1 )
现沿圆筒壁截取一个半径为 r, 厚 dr 的薄环，则 该薄环的面积为A=2πrl，根据热流的公式： t1 t2 qA 1 ln(r2 / r1 ) 2 l 若按单位长度的管长计算热流时，则称为线 热流密度ql。
2.3 典型一维稳态导热问题的分析解 2.3.1 一维平壁稳态导热
首先是对一维平壁概念的认识。无限大 平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平 壁两侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以 归纳为一维稳态导热问题。 先考虑导热系数为常数的情况。 已知大平板的两个表面分别维 持均匀而恒定的温度t1和t2，壁厚为 δ 。取坐标如图1所示。边界条件 为:
用图示表示就是
图2 通过单层平壁内的温度分布
下面来探讨另一个问题：热阻。类比：欧姆定律。 由 A t ，可得 t ，R 。
/ A
A
单位为K/W，其定义是表示热转移过程中 所受的阻力。当然还有面积热阻(K· m2)/W， 单位跟热阻单位不一样。 建立热阻的定义后可以解决许多复杂问题。 下面来讲解一下例题，见P50，例2-1、例2-3。
热流为：
t1 t4 ql l r3 r2 r4 1 1 1 ln ln ln 2 l 1 r1 2 l 2 r2 2 l 3 r3
对于n层圆筒壁其线热流密度及热流分别为：
t1 tn 1 ql n ri 1 1 ln ri i 1 2i
t1 tn 1 n ri 1 1 ln ri i 1 2 l i
t2 t1 r t t1 ln ln( r2 / r1 ) r1
（5 ）
t t1 t2 t1 ln r / r1 ln( r2 / r1 )
由（5）可知，圆筒壁中的温度分布为对数 曲线形式。*提示(5)式可看成t=a lnr+b。
对（4）式进行t对r的一阶求导，可得，
dt 1 t2 t1 dr r ln( r2 / r1 )
热流密度则为： (3) 通过观察公式的特点，可类推得到 n 层平 壁的热流密度计算公式： (4)
i R 热阻为： i 1 Ai
n
单位热阻为： RA
i i 1 i
n
下面介绍一下逼近法求夹层温度的问题。 结构示意图如下：
假定夹层温度为t2’ 计算得λ1,λ2、q t2=t1-qδ1/λ1 比较t2与t2’ 若t2≈t2’,计算终止 若t2与t2’偏离 将 作 为 新 的 假 设 t2
判断题：
1、当导热系数λ为常数时，一维平壁导热沿壁面厚度 温度呈线性分布。
2、对于导热系数与温度呈线性分布，即 t 0 bt ， 在求导热系数时只要将温度的算术平方根值带入计算 即可。 3、已知一块给定材料的平壁厚度为δ，施加的热流密 度大小为q，平壁两侧的温差为，那么该给定材料的导 热系数表达式是q△t /δ。
图8 多层圆筒壁
t1 t2 ql1 r2 1 ln 21 r1 t2 t3 ql 2 r3 1 ln 22 r2 t3 t4 ql 3 r4 1 ln 23 r3
ql1 ql 2 ql 3 ql
（6）
线热流密度为：
t1 t4 ql r3 r2 r4 1 1 1 ln ln ln 21 r1 22 r2 23 r3
热流密度为
2
q (t1 t2 ) (t1 t2 ) r2 r1
2.3.4 多层圆筒壁的导热
t1 t2 qA (t1 t2 ) l (r1 r2 ) 热流为： 1 r2 r1 r2 r1 rl r1 r2
以三种不同材料组成的三层同 心圆筒壁为例，各层的半径分 别为r1、r2、r3、 r4，导热系数 分别为 λ1 、 λ2 、 λ3 且均为常数， 多层圆筒壁从内到外温度分别 为 t1 、 t2 、 t3 、 t4 ，且 t1>t2>t3>t4 。 由于是稳态，圆筒壁的线热流 密度处处相等。于是存在：
b 2 qx 0t t C 2
(1) (2) (3)
代入边界条件之一，t |x 0 t1 ，得到
b 2 C 0t1 t1 2
所以有
b 2 2 qx 0 (t1 t ) (t1 t ) 2
(4) (5)
很显然，壁内温度分布为一个二次曲线， 当代入另一边界条件 t |x t2 ，则：
t |x 0 t1 ; t |x t2
图1 通过单层平 壁的导热
无内热源的一维稳态导热微分方程式:
d 2t 0 2 dx
(1)
通过解析，可以得到它的解的通式为：
t c1 x c2
代入边界条件可得温度分布为：
(2)
t
t2 t1
x t1
(3)
温度沿板厚成线性分布。
传热学基础
主讲教师：王能为
第2章 稳态热传导
复习：热传导的定义、温度场、等温线、等温 面、温度梯度、傅里叶定律、导热系数。其中热流 密度及热流表达： t q gradt n n
gradtA
沿某一个方向的傅里叶定律公式表达为：
t A x 导热系数公式表达： | q |
解：以长度为L的导线为例，导线通电后生成的热 量为I 2 RL，其中的一部分热量用于导线的升温，另 一部分热量通过绝热层的导热传到大气中，其热 量为： tw1 tw 2
d2 ln 2 L d1 1
根据能量守恒定律Fra Baidu bibliotek：即
I RL
2
tw1 tw2 I R 0 d2 1 ln 2 d1
观察该式可以知道，计算导热系数时，只 需求出平板两侧的温度算术平均值，再代 入计算即可。对（5）式进行讨论： 当 b 0， qx 0 (t1 t )； b 2 2 qx 0 (t1 t ) (t1 t )。 当 b 0， 2
对于单层圆筒壁而言，设其内外半径分别为 r1、r2，内外层表面维持恒定均匀的温度t1、t2， 并且假设 t1>t2 ， λ 为常数，且圆筒壁长度远远大 于r1、r2。这样就忽略了沿轴向的热量传递，而
仅沿半径方向发生变化，那么完全可以看成 是一维稳态导热，由此可见温度传递过程与Z轴无 关，跟偏转角 ψ 无关，于是单层圆筒壁柱坐标的 导热微分方程可表示为
2.22 103
ql l
t1 t2 1 1 1 l ln(r2 / r1 ) ln(r2 / r1 ) 2 l 2
t1 t2
单位为W/m。 *圆筒壁的线热流密度处处相等，跟长度和壁厚 都无关。 例 1 ：一根直径为 1mm 的铜导线，每米的电 阻为 2.22×10-3Ω 。导线外包有厚度为 0.5mm ， 导热系数为 0.15W/(m· K) 的绝缘层。限定绝 缘层的最高温度为65º C，绝缘层的外表面温 度受环境影响，假设为40º C。试确定该导线 的最大允许电流为多少？
dp dr p r
ln p ln r ln c1 c1 p r
dt c1 dr r
c1 dt dr r c1 dt r dr
t c1 ln r c2
C1、C2为常数。
求解可以得到
t c1 ln r c2
其中圆筒壁的边界条件为：
（2）
t |r r1 t1
d dt (r ) 0 dr dr
经过变换，可得到如下方程：
dt d 2t r 2 0 dr dr
d 2t 1 dt 0 2 r dr dr
（1）
对于方程 令 则
d 2t 1 dt 0 2 r dr dr
dt p dr
dp 1 p0 dr r 因此 dp dr p r
(4)
于是由傅里叶定律可得热流密度q及热流Φ : (5) (6)
以上讨论的是 λ 为常数，若 λ 随温度变化成 线性分布，又该如何求解呢？一般而 0、b bt 为常数。 言，t 0 ，
于是由傅里叶定律公式可得，
dt dt q (0 bt ) dx dx qdx 0 dt btdt
2.3.3 单层圆筒壁的导热
绪论部分讲了稳态导热微分方程的直角坐标系 2 的表示，拉普拉斯算子为0，即 t 0 也就是
2t 2t 2t 2 2 0 2 x y z
如果用柱状坐标表示就是：
t 1 t t (r ) ( )r ( ) 0 r r r z z
RA
2.3.2 多层平壁的稳态导热
多层平壁的定义。 以三层平壁为例，已知各层的 厚度δ1、δ2、δ3，各层的导 热系数分别为λ1、λ2、λ3， 两外表面的温度为t1、t4, t1>t4，求热流密度q及热阻R。
图3 三层平壁的导热
先写出各层的热流密度表达式：
(1)
注意：平壁内热流密度处处相等！！ 于是： (2)
2t 0
0
反馈题：
1、一般而言，导电固体的导热系数随温度的 升高而升高。 2、在温度梯度的模不变的情况下，热流密度 的模越大，材料导热系数也越大。 3、导热系数跟热流密度成正比，跟温度梯度 成反比。 4、 t = f (x, y,τ)属于三维非稳态温度场 。 5、导热微分方程式是基于傅里叶定律及热能 守恒定律推导出来的。 6、平均温度在200℃以下导热系数低于 0.12W/ (m· K)时，这种材料称为保温材料。
下面举一个例题来说明。 例：有一连续式加热炉的炉墙由内层粘土砖和外层 硅 藻 土 砖 砌 成 ， 它 们 的 厚 度 分 别 为 S1=230mm ， S2=115mm,炉墙内表面温度为 t1=1100℃ ，外表面温 度t3=100 ℃，试求炉墙导出的热流密度？ 解：分析：若能求出t2问题就好解决了，如何求解？ 从附录4中查得：
t q n A x
t | n| x
导热微分方程一般表达式：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
泊松方程为：
2t
描述的是常物性、稳态、有内热源的导热微分方程。 对于常物性、稳态、且无内热源的导热微分方程为：
2
tw1 tw2 65 40 33.98(W / m) d2 1 2 1 ln ln 2 d1 2 0.15 1
I 2 R 33.98 I 33.98 R 33.98 123.7( A) 3 2.22 10
圆筒壁的导热计算公式里都包含有对数项，如 果单层圆筒壁的外径和内径之比 r2/r1≤2, 可按单 层平壁的计算公式计算，在计算时，壁厚取 δ= r1 r2 r2-r1，传热面积为 A 2 l (r1 r2 )l ，
（1）式求解过程： dt 令 p 则
dp d 2t 2 0 dx dx
p c1
dx
dt p c1 dx t c1 x c2
对（3）式作一阶求导： dt t2 t1 dx
t2 t1 dt q t dx dt qA A A t dx
t |r r2 t2
（3）
将其中的边界条件代入（2）可得，
t2 t1 c1 ln( r2 / r1 )
t2 t1 c2 t1 ln r1 ln(r2 / r1 )
（4）
图7 单层圆筒壁
则可得圆筒壁的温度表达式：
t2 t1 t2 t1 t ln r t1 ln r1 ln( r2 / r1 ) ln( r2 / r1 )
dt t2 t1 t1 t2 q dr r ln(r2 / r1 ) r ln(r2 / r1 )
现沿圆筒壁截取一个半径为 r, 厚 dr 的薄环，则 该薄环的面积为A=2πrl，根据热流的公式： t1 t2 qA 1 ln(r2 / r1 ) 2 l 若按单位长度的管长计算热流时，则称为线 热流密度ql。
2.3 典型一维稳态导热问题的分析解 2.3.1 一维平壁稳态导热
首先是对一维平壁概念的认识。无限大 平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平 壁两侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以 归纳为一维稳态导热问题。 先考虑导热系数为常数的情况。 已知大平板的两个表面分别维 持均匀而恒定的温度t1和t2，壁厚为 δ 。取坐标如图1所示。边界条件 为:
用图示表示就是
图2 通过单层平壁内的温度分布
下面来探讨另一个问题：热阻。类比：欧姆定律。 由 A t ，可得 t ，R 。
/ A
A
单位为K/W，其定义是表示热转移过程中 所受的阻力。当然还有面积热阻(K· m2)/W， 单位跟热阻单位不一样。 建立热阻的定义后可以解决许多复杂问题。 下面来讲解一下例题，见P50，例2-1、例2-3。
热流为：
t1 t4 ql l r3 r2 r4 1 1 1 ln ln ln 2 l 1 r1 2 l 2 r2 2 l 3 r3
对于n层圆筒壁其线热流密度及热流分别为：
t1 tn 1 ql n ri 1 1 ln ri i 1 2i
t1 tn 1 n ri 1 1 ln ri i 1 2 l i
t2 t1 r t t1 ln ln( r2 / r1 ) r1
（5 ）
t t1 t2 t1 ln r / r1 ln( r2 / r1 )
由（5）可知，圆筒壁中的温度分布为对数 曲线形式。*提示(5)式可看成t=a lnr+b。
对（4）式进行t对r的一阶求导，可得，
dt 1 t2 t1 dr r ln( r2 / r1 )
热流密度则为： (3) 通过观察公式的特点，可类推得到 n 层平 壁的热流密度计算公式： (4)
i R 热阻为： i 1 Ai
n
单位热阻为： RA
i i 1 i
n
下面介绍一下逼近法求夹层温度的问题。 结构示意图如下：
假定夹层温度为t2’ 计算得λ1,λ2、q t2=t1-qδ1/λ1 比较t2与t2’ 若t2≈t2’,计算终止 若t2与t2’偏离 将 作 为 新 的 假 设 t2
判断题：
1、当导热系数λ为常数时，一维平壁导热沿壁面厚度 温度呈线性分布。
2、对于导热系数与温度呈线性分布，即 t 0 bt ， 在求导热系数时只要将温度的算术平方根值带入计算 即可。 3、已知一块给定材料的平壁厚度为δ，施加的热流密 度大小为q，平壁两侧的温差为，那么该给定材料的导 热系数表达式是q△t /δ。
图8 多层圆筒壁
t1 t2 ql1 r2 1 ln 21 r1 t2 t3 ql 2 r3 1 ln 22 r2 t3 t4 ql 3 r4 1 ln 23 r3
ql1 ql 2 ql 3 ql
（6）
线热流密度为：
t1 t4 ql r3 r2 r4 1 1 1 ln ln ln 21 r1 22 r2 23 r3
热流密度为
2
q (t1 t2 ) (t1 t2 ) r2 r1
2.3.4 多层圆筒壁的导热
t1 t2 qA (t1 t2 ) l (r1 r2 ) 热流为： 1 r2 r1 r2 r1 rl r1 r2
以三种不同材料组成的三层同 心圆筒壁为例，各层的半径分 别为r1、r2、r3、 r4，导热系数 分别为 λ1 、 λ2 、 λ3 且均为常数， 多层圆筒壁从内到外温度分别 为 t1 、 t2 、 t3 、 t4 ，且 t1>t2>t3>t4 。 由于是稳态，圆筒壁的线热流 密度处处相等。于是存在：
b 2 qx 0t t C 2
(1) (2) (3)
代入边界条件之一，t |x 0 t1 ，得到
b 2 C 0t1 t1 2
所以有
b 2 2 qx 0 (t1 t ) (t1 t ) 2
(4) (5)
很显然，壁内温度分布为一个二次曲线， 当代入另一边界条件 t |x t2 ，则：
t |x 0 t1 ; t |x t2
图1 通过单层平 壁的导热
无内热源的一维稳态导热微分方程式:
d 2t 0 2 dx
(1)
通过解析，可以得到它的解的通式为：
t c1 x c2
代入边界条件可得温度分布为：
(2)
t
t2 t1
x t1
(3)
温度沿板厚成线性分布。
传热学基础
主讲教师：王能为
第2章 稳态热传导
复习：热传导的定义、温度场、等温线、等温 面、温度梯度、傅里叶定律、导热系数。其中热流 密度及热流表达： t q gradt n n
gradtA
沿某一个方向的傅里叶定律公式表达为：
t A x 导热系数公式表达： | q |
解：以长度为L的导线为例，导线通电后生成的热 量为I 2 RL，其中的一部分热量用于导线的升温，另 一部分热量通过绝热层的导热传到大气中，其热 量为： tw1 tw 2
d2 ln 2 L d1 1
根据能量守恒定律Fra Baidu bibliotek：即
I RL
2
tw1 tw2 I R 0 d2 1 ln 2 d1