第13章 状态空间模型和卡尔曼滤波(第三版)

超参数（hyperparameters）。超参数确定了模型的随机性质，在
ct 和 dt 中出现的参数仅影响确定性的可观测变量和状态的期望值。 在状态空间模型中可以引入外生变量作为解释变量，也可以引入
yt 的延迟变量，这些都可以放到 dt 中去。如果 ct 或 dt 是未知参数
的一个线性函数，这些未知参数也可以作为状态变量或者超参数 的一部分元素。
ut H t Ω var 0 ε t
0 Qt
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当 k 1 时，变为单变量模型，量测方程可以写为
yt Z t αt d t ut
var( ut ) 2
t 1, 2 , , T
(13.1.5)
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其中：Zt 表示 1m 矩阵，t 表示 m1状态向量， ut 是方差为 2 的 扰动项。
0 的线性组合，所以模型是线性的。
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例13.1 一阶移动平均模型MA(1)
yt t t 1 ，
可以写成状态空间形式 量测方程： 状态方程：
t 1, 2 , , T
(13.1.9)
其中：E(t )=0，var(t)= 2，cov(t , t-s)=0, 通过定义状态向量 t =( yt ,t )
式，并估计参数值。在计量经济学文献中，状态空间模型被用来估 计不可观测的时间变量：理性预期，测量误差，长期收入，不可观
测因素（趋势和循环要素）。状态空间模型在经济计量学领域其他
方面的大量应用请参见 Harvey（1989）和 Hamilton（1994） 。
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在一般的统计模型中出现的变量都是可以观测到的，这些模 型以反映过去经济变动的时间序列数据为基础，利用回归分析或 时间序列分析等方法估计参数，进而预测未来的值。状态空间模 型的特点是提出了“状态”这一概念。
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例13.3
变参数模型
通常的回归模型可用下式表示，即 ：
yt xt β ut ，
t 1, 2 , , T
其中：yt 是因变量，xt 是m1的解释变量向量， 是待估计的m1未知
参数向量，ut 是扰动项。这种回归方程式所估计的参数在样本期间内 是固定的，可以采用普通最小二乘法 (OLS) 、工具变量法等计量经济
yt Z tαt d t ut
式中 Zt* = Zt B-1 。
(13.1.13)
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例13.2 二阶自回归模型AR(2)
yt 1 yt 1 2 yt 2 ut ,
形式( k=1, m=2 )是
t 1, 2 , , T
(13.1.14)
其中：E(ut) = 0，var(ut) = 2，cov(ut , ut-s) = 0, 考虑两个可能的状态空间
这一点很容易验证。
考虑通过定义一个任意的非奇异矩阵 B，得到t*=Bt ，为新 的状态向量。用 B 矩阵左乘状态方程(13.1.3)，得到
αt Tt αt1 ct Rt ε t
式中 Tt* = BTt B-1，ct*= Bct ，Rt*= BRt 。相应的量测方程是
(13.1.12)
t
(13.1.17)
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系统矩阵 Zt ，Ht ，Tt ，Rt ，Qt 可以依赖于一个未知参数的
集合。状态空间模型的一个主要的任务就是估计这些参数，在例
13.1的MA(1)模型中的参数 { , 2} 和例13.2的AR(2)模型中的参数 {1， 2， 2} 是未知的，这些参数将通过 向量表示，并被称为
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以下设 YT 表示在 t = T 时刻所有可利用的信息的信息集合，即 YT = { yT , yT-1 , … , y1 } 。状态向量的估计问题根据信息的多少分为3 种类型： (1) 当 t > T 时，超出样本的观测区间，是对未来状态的估计问 题，称为预测（prediction）；
(2) 当 t = T 时，估计观测区间的最终时点，即对现在状态的估
型），扰动向量 ut , t 假定为相互独立的，且服从均值为0，方差为 2和
协方差矩阵为 Q 的正态分布。
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13.2 卡尔曼滤波 (Kalman Filtering )
当一个模型被表示成状态空间形式就可以对其应用一些重要的 算法求解。这些算法的核心是 Kalman滤波。Kalman滤波是在时刻 t 基于所有可得到的信息计算状态向量的最理想的递推过程。在某些 工程问题中，状态向量的当前值具有重要影响 (例如，它可以表示火 箭在空间的坐标)。Kalman滤波的主要作用是：当扰动项和初始状态 向量服从正态分布时，能够通过预测误差分解计算似然函数，从而 可以对模型中的所有未知参数进行估计，并且当新的观测值一旦得 到，就可以利用Kalman滤波连续地修正状态向量的估计。
矩阵，即
at
Pt
t 1
E (αt Yt 1 )
var( αt Yt 1 )
t 1
在本节假定系统矩阵 Zt , Ht , Tt , Rt 和 Qt 是已知的，设初始
状态向量 0 的均值和误差协方差矩阵的初值为 a0 和 P0，并假定
a0 和 P0 也是已知的。
第十三章 状态空间模型和卡尔曼滤波
上世纪60年代初，由于工程控制领域的需要，产生了卡尔曼滤
波 (Kalman Filtering)。进入70年代初，人们明确提出了状态空间
模型的标准形式，并开始将其应用到经济领域。80年代以后，状态 空间模型已成为一种有力的建模工具。许多时间序列模型，包括典
型的线性回归模型和 ARIMA模型都能作为特例写成状态空间的形
yt (1 , 0)αt
(13.1.15)
yt 1 αt y 2 t 1 2
换一种形式
1 1 αt 1 ut 0 0
(13.1.16)
yt (1 , 0)αt
yt 1 2 1 α 0 ut 1 0 αt 1 y t 1
(13.1.2)
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一般地， t 的元素是不可观测的，然而可表示成一阶马尔可夫 (Markov) 过 程 。 下 面 定 义 转 移 方 程 (transition equation) 或 称 状 态 方 程 (state equation)为
αt Tt αt 1 ct Rt εt ,
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若使上述的状态空间模型成立，还需要满足下面两个假定： (1) 初始状态向量 0 的均值为 a0，协方差矩阵为 P0，即
E (α0 ) a 0
始状态 0 也不相关，即
var( α0 ) P0
(13.1.6)
(2) 在所有的时间区间上，扰动项 ut 和 t 相互独立，而且它们和初
E (ut ε s) 0
且
s, t 1, 2 , , T
(13.1.7)
) 0 ， E (ut α0
) 0 E (ε t α 0
t 1, 2 , , T
(13.1.8)
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量测方程中的矩阵 Zt , dt , Ht 与转移方程中的矩阵Tt , ct , Rt , Qt 统称为系统矩阵。如不特殊指出，它们都被假定为非随机的。 因此，尽管它们能随时间改变，但是都是可以预先确定的。对于 任一时刻 t，yt 能够被表示为当前的和过去的 ut 和 t 及初始向量
计问题，称为滤波（filtering）； (3) 当 t < T 时，是基于利用现在为止的观测值对过去状态的估 计问题，称为平滑（smoothing）。
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进一步，假定 att-1 和 Ptt-1 分别表示以利用到 t-1 为止的信
息集合 Yt-1 为条件的状态向量 t 的条件均值和条件误差协方差
分析动态系统。
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利用状态空间形式表示动态系统主要有两个优点： 第一，状态空间模型将不可观测的变量 (状态变量 )并入可观测 模型并与其一起得到估计结果； 其次，状态空间模型是利用强有效的递归算法——卡尔曼滤波
来估计的。卡尔曼滤波可以用来估计单变量和多变量的ARMA模型、
MIMIC（多指标和多因果）模型、马尔可夫转换模型以及变参数模 型。
而实际上，无论是工程控制问题中出现的某些状态（如导弹
轨迹的控制问题）还是经济系统所存在的某些状态都是一种不可 观测的变量，正是这种观测不到的变量反映了系统所具有的真实
状态，所以被称为状态向量。这种含有不可观测变量的模型被称
为UC模型(Unobservable Component Model)。
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UC模型通过通常的回归方程式来估计是不可能的，必须利用状
yt (1, 0) t
0 1 1 t 0 0 t 1 t
(13.1.10) (13.1.11)
这种形式的特点是不存在量测方程噪声。
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对于任何特殊的统计模型，状态向量t 的定义是由结构确定的。
它的元素一般包含具有实际解释意义的成分，例如趋势或季节要素。 状态空间模型的目标是，所建立的状态向量t 包含了系统在时刻 t 的所有有关信息，同时又使用尽可能少的元素。所以如果状态空间 模 型 的 状 态 向 量 具 有 最 小 维 数 ， 则 称 为 最 小 实 现 (Minimal Realization)。对一个好的状态空间模型，最小实现是一个基本准则。 然而对于任一特殊问题的状态空间模型的表示形式却不是惟一的，
t 1, 2， , T
(13.1.3)
其中：Tt 表示 mm 矩阵，称为状态矩阵，ct 表示 m1 向量，Rt 表示 mg
矩阵，t 表示 g1 向量，是均值为0，协方差矩阵为 Qt 的连续的不相关扰
动项，即
E (ε t ) 0
var( εt ) Qt
(13.1.4)
量测方程和状态方程的扰动项的协方差矩阵用 表示
yt Zt αt d t ut ,
t 1, 2， , T
(13.1.1)
其中：T 表示样本长度，Zt 表示 km 矩阵，称为量测矩阵，dt 表示 k1 向量，ut 表示 k1 向量，是均值为0，协方差矩阵为 Ht 的不相关扰动项， 即
E (ut ) 0
var( ut ) H t
yt xt βt ztγ ut
0 2 0 , ～ N , 0 0 Q
状态方程： βt βt 1 εt
(u t , εt )
t 1, 2 , , T
其中xt 是具有随机系数 t 的解释变量的集合，zt 是有固定系数 的解释 变量集合，随机系数向量 t 是对应于(13.1.1)中的状态向量，称为可变参 数。变参数 t 是不可观测变量，必须利用可观测变量 yt 和 xt 来估计。假 定变参数 t 的变动服从于 AR(1) 模型（也可以简单地扩展为 AR(p) 模
模型的常用方法进行估计。
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实际上近年来，我国由于经济改革、各种各样的外界冲击和政策变
化等因素的影响，经济结构正在逐渐发生变化，而用固定参数模型表现 不出来这种经济结构的变化，因此，需要考虑采用变参数模型 (Timevarying Parameter Model)。下面利用状态空间模型来构造变参数模型。 量测方程：
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13.1 状态空间模型的定义
在本节中，我们仅就如何定义并预测一个线性状态空间模型做以 简要的讨论。状态空间模型一般应用于多变量时间序列。设 yt 是包含 k
个经济变量的 k1 维可观测向量。这些变量与 m1 维向量 t 有关，t
被称为状态向量。定义“量测方程” (measurement equation) 或称“信 号方程”(signal equation)为
态空间模型来求解。状态空间模型建立了可观测变量和系统内部状
态之间的关系，从而可以通过估计各种不同的状态向量达到分析和 观测的目的。
EViews状态空间对象对单方程或多方程动态系统提供了一个直
接的、易于使用的界面来建立、估计及分析方程结果。它提供了大 量的建立、平滑、滤波及预测工具，帮助我们利用状态空间形式来