第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件(有答案)

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】

1．理解命题的概念．

2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．

1．命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)若p⇔q，则p与q互为充要条件．

(3)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．

1．一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？

提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论．

2．“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗？

提示：两者说法不相同．“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必

要条件”，显然这与“p是q的充分不必要条件”是截然不同的．

1．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析：选A当a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B；反之，当A⊆B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．

2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是()

A．“若x＜y，则x2＜y2”B．“若x＞y，则x2＞y2”

C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”

解析：选C根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．

3．(教材习题改编)命题“如果b2－4ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为()

A．0 B．1 C．2 D．3

解析：选D原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，则b2－4ac＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．4．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()

A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数

B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

解析：选B原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是B选项．

5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是()

A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2D．a3＞b3

解析：选A由a＞b＋1，且b＋1＞b，得a＞b；反之不成立.

[例1](1)命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是()

A．若x＞1，则x≤0

B．若x≤1，则x＞0

C．若x≤1，则x≤0

D．若x＜1，则x＜0

(2)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

[自主解答](1)因为“x＞1”的否定为“x≤1”，“x＞0”的否定为“x≤0”，所以命题“若x＞1，则x＞0”的否命题为：“若x≤1，则x≤0”．

(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．

[答案](1)C(2)C

【互动探究】

试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性．

解：逆命题：若x＋y是偶数，则x，y都是偶数．是假命题．

否命题：若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数．是假命题．

【方法规律】

判断四种命题间关系的方法

(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．

(2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用．

1．命题p：“若a≥b，则a＋b＞2 012且a＞－b”的逆否命题是()

A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＜b

B．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＞b

C ．若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a ＜b

D ．若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a ≤b

解析：选C “且”的否定是“或”，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a ＜b ”．

2．下列命题中为真命题的是( )

A ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题

B ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题

C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题

D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题

解析：选A A 中逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”是真命题；

B 中否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”是假命题；

C 中否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”是假命题；

D 中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．

[例2] (1)下列命题是真命题的是( )

A ．若1x ＝1y ，则x ＝y

B ．若x 2＝1，则x ＝1

C ．若x ＝y ，则x ＝y

D ．若x ＜y ，则x 2＜y 2

(2)(2014·济南模拟)在空间中，给出下列四个命题：

①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；

②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；

③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；

④两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线． 其中正确的是( )

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

[自主解答] (1)取x ＝－1排除B ；取x ＝y ＝－1排除C ；取x ＝－2，y ＝－1排除D ，故选A.

(2)对于①，由线面垂直的判定可知①正确；对于②，若点在平面的两侧，则过这两点