§2 第二型曲线积分

第二十章 曲线积分

§2 第二型曲线积分

授课章节：ch20----§2第二型曲线积分（P202-209）

教学目的：1）掌握第二型曲线积分的概念和计算方法 教学重点：第二型曲线积分的计算 教学难点：1）第二型曲线积分的定义 教学方法：讲练结合． 教学程序：1．引导

2．例题及部分习题练习

3．作业．P208习题1(1、2、3、4、5)。

一、第二型曲线积分的定义

1.实例

在物理学中还碰到另一种类型的曲线积分问题。例如一质点受力),(y x F

的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力),(y x F

所作的功（图20—2）.

为此在曲线⌒

AB 内插入1-n 个分点,121,,,-n M M M 与

n M B M A ==,0一起把有向曲线⌒

AB 分成n 个有向小曲线段

i i M M 1-（i=1,2，).,n 若记小曲线段i i M M 1-的弧长为,

i s ∆则分割T 的细度为 i n

i s T ∆=≤≤1max .

设力),(y x F

在x 轴和y 轴方向的投影分别为),(y x P 与 ),(y x Q ,那么),(y x F

=（),(y x P ,),(y x Q ）.

又设小曲线段i i M M 1-在x 轴和y 轴方向的投影分别为1--=∆i i i x x x 与

1--=∆i i y y y ，其中),(i i y x 与 ),(11--i i y x ，分别为分点i M 与1-i M 的坐标.记

),(1i i M M y x L i

i ∆∆=-，于是力),(y x F

在小曲线段i i M M 1-上所作的功

i i i i i i M M i i i y Q x P L F W i i ∆+∆=•≈-),(),(),(1ηξηξηξ，

其中),(i i ηξ为小曲线段i i M M 1-上任意一点.因而力),(y x F

沿曲线⌒AB 所作的功近似

地等于∑∑∑===∆+∆≈=

n

i i

i

i

n i i

i

i

n i i

y

Q x P W W 1

1

1

),(),(ηξηξ.

当细度0→T 时，上式右边和式的极限就应该是所求的功.这种类型的和式极限就是

下面所要讨论的第二型曲线积分.

2.定义

注．

：1）若L 为封闭的有向曲线,则曲线L 上的第二型曲线积分记为 ⎰+L

Qdy Pdx . (2)

(需注意闭合曲线的方向性)

2）若记),(y x F

=（),(y x P ,),(y x Q ）, ),(dy dx s d =.则(1)可写成向量形式

⎰•L

ds F 或 .⎰•AB

ds F (3)

3) 第二型曲线积分与曲线L 的方向有关。对同一曲线，当方向由A 到B 改为由B 到A 时，每一小曲线段的方向都改变，从而所得的i i y x ∆∆,也随之改变符号，故有

.⎰⎰

+-=+BA

AB

Qdy Pdx Qdy Pdx （5）

4)第一型曲线积分的被积表达式只是函数()y x f ,与弧长的乘积，它与曲线 L 的方向无关。这是两种类型曲线积分的一个重要区别。

5) 实例中,力),(y x F

=（),(y x P ,),(y x Q ）沿有向曲线⋂AB L :对质点所作的功为

()().,,⎰+=L

dy y x Q dx y x P W

注．

：1）如果把

y x R y x Q y x P y x F ,,,,,,=与dz dy dx s d ,,=看作三维向量时，则（4）式也可表示成（3）式的向量形式.

3.性质

类似于第一型曲线积分，第二型曲线积分也有如下一些主要性质,.

1)若()k i dy Q dx P L i i ,.2,1 =+⎰存在，则⎰∑∑⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==L

k i i i k i i i dy Q c dx P c 11也存在,且

(),111∑⎰⎰∑∑===+=⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫

⎝⎛k

i L

i

i

i L k i i i k i i i dy Q dx P c dy Q c dx P c

其中()k i c i ,,2,1 =为常数.

2).若有向曲线L 是由有向曲线k L L L ,,,21 首尾相接而成，且

⎰+i

L Pdx ()k i Qdy ,,2,1 =存在，则⎰+L

Qdy Pdx 也存在，且

.!1

∑⎰

⎰=+=+k

i L L

i

Qdy Pdx dy Q Pdx

二、第二型曲线积分的计算

与第一型曲线积分一样，第二型曲线积分也可化为定积分来计算.

定理20.1-1设平面曲线由()()[]βαψϕ,,

,

:∈⎩⎨

⎧==t t y t x L 给出,其中()()t t ψϕ,在[]βα,上具有一阶

连续导函数，且点A 与B 的坐标分别为()()()αψαϕ,与()()()βψβϕ,.又设()y x P ,与()y x Q ,为L 上的连续函数，则沿L 从A 到B 的第二型曲线积分

()()()()()()()()()()[]

.

,,,,''⎰⎰+=+β

α

ψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P dy

y x Q dx y x P L

（6）

注．

：1）可仿照§1中定理20.1的方法分别证明 ()(),),)((),('dt t t t P dx y x P L

ϕψϕβ

α

⎰

⎰=

,)())(),((),('

dt t t t Q dy y x Q L

⎰⎰=β

αψ

ψϕ 便可得公式（6）.

2)对于沿封闭曲线L 的第二型曲线积分（2）的计算，可在L 上任意选取一点作为起点，沿L 所指定的方向前进，最后回到这一点即可.

例1（P205）计算⎰-+L

dy x y xydx ,)(其中L 分别

沿如图20-3中路线 （i ）直线AB ；

（ii ）ACB （抛物线：1)1(22

+-=x y ）； （iii ）ADBA （三角形周界）. 解: （i ）直线AB 的参数方程为 ⎩⎨

⎧+=+=,

21,

1t y t x []1,0∈t .

故由公式（6）可得

⎰

-+AB

dy x y xydx )(=[]⎰+++1

2)21)(1(dt t t t =⎰=

++1

2.

625)251(dt t t . 另解:(见P205例1中的铅笔解法)

（ii ）曲线ACB 为抛物线1)1(22

+-=x y ，21≤≤x ，

所以 ⎰-+ACB dy x y xydx )([][]

{}

dx x x x x x ⎰--+-++-=21

22)1(41)1(21)1(2 .3

10

)12353210(2

1

23⎰

=

-+-=

dx x x x （iii ）这里L 是一条封闭曲线，故可从A 开始，应用上段的性质2，分别求沿AD ，

DB 和BA 上的线积分然后相加即可得到所求之曲线积分. 由于沿直线AD ：x=x ，y=1（21≤≤x ）的线积分为