高考数学模拟复习试卷试题模拟卷137

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【考情解读】

1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；

2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． 【重点知识梳理】

1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法

①等差数列的前n 项和公式 Sn ＝

n （a1＋an ） 2 ＝na1＋n （n －1）

2

d ． ②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，Sn ＝na1；

(ⅱ)当q≠1时，Sn ＝a1（1－qn ）1－q ＝a1－anq

1－q .

(2)分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法

把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法

主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．

(6)并项求和法

一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an ＝ (－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

例如，Sn ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2．常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1

n ＋1

. (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭

⎫12n －1－12n ＋1.

(3)

1

n ＋n ＋1＝n ＋1－n.

【高频考点突破】 考点一 分组转化法求和

【例1】设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n ∈N*，函数f(x)＝(an －an ＋1＋an ＋2)x ＋an ＋

1cos x －an ＋2sin x 满足f′⎝⎛⎭

⎫π2＝0. (1)求数列{an} 的通项公式；

(2)若bn ＝2⎝⎛⎭

⎫an ＋12an ，求数列{bn}的前n 项和Sn.

规律方法 常见可以使用公式求和的数列：(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解；(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式．

【变式探究】在等差数列{an}中，已知公差d ＝2，a2是a1与a4的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn ＝a n （n ＋1）

2

，记Tn ＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn ，求Tn.

考点二 错位相减法求和

【例2】 (·江西卷)已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n ∈N*)满足anbn ＋1－an ＋1bn ＋2bn ＋1bn ＝0.

(1)令cn ＝an

bn ，求数列{cn}的通项公式； (2)若bn ＝3n －1，求数列{an}的前n 项和Sn.

【规律方法】

(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn －qSn”的表达式．

【变式探究】数列{an}满足a1＝1，nan ＋1＝(n ＋1)an ＋n(n ＋1)，n ∈N*.

(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

an n 是等差数列；

(2)设bn ＝3n·an ，求数列{bn}的前n 项和Sn.

考点三 裂项相消法求和

【例3】正项数列{an}的前n 项和Sn 满足：S2n －(n2＋n －1)Sn －(n2＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式an ；

(2)令bn ＝n ＋1（n ＋2）2a2n

，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜564.

规律方法利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．

【变式探究】 (·山东卷)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝(－1)n－14n

anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.

【真题感悟】

【高考福建，文17】等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2

2

n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．

【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101．

【高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （I ）求{}n a 的通项公式；

（II ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（I ）22n a n =+；（II ）6b 与数列{}n a 的第63项相等.

【高考安徽，文18】已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1

1

n n n n a b S S ++=

，求数列{}n b 的前n 项和n T .

【答案】（Ⅰ）1

2

n n a -=（Ⅱ） 1122

21

n n ++--