人教网古典概型例题设计

必修3《3.2.1 古典概型》例题设计

北京二十中学付莉

1657年《论骰子游戏中的推理》一书的出版，标志着数学的一个新分支——概率论的诞生. 至此，延续了一个半世纪分赌金的疑难问题，在概率论的诞生与发展中得到解决. 概率论的应用在现代社会的多个领域都有所体现，而本节课所学古典概型是各种试验中的典型一类，也是本章教学的重点.

结合课标中“概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义”的要求，和教参中“概率教学需加强与现实生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象”的建议，“古典概型”第1课时的教学本着激发学生兴趣，层层深入，让学生自觉用数学的眼光观察生活，培养数学应用意识的想法，结合本节课的教学目标，进行古典概型的例题设计.

【教材分析】

概率是研究生活中随处可见的随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法.古典概型是一种简单而常见的随机事件的概率问题，学生应结合具体实例，学习这一概率模型，加深对随机现象的理解，消除日常生活中的一些错误认识，学会用科学的方法去观察世界和认识世界. 本节课的教学重、难点和教学目标设定如下：重点：掌握古典概型概念；利用古典概型求解随机事件的概率.

难点：如何判断一个试验是否是古典概型；在一个古典概型中，分清某随机事件包含的基本事件及基本事件个数，分清试验中基本事件及基本事件总数.

教学目标：理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算试验中基本事件总数、随机事件所含的基本事件数和事件发生的概率.

【引例设计】

观察以下几个随机试验的例子，回答每个例子后的问题.

1. 掷一枚均匀的硬币，观察硬币落地后哪一面朝上.

1）基本事件有几个？分别是什么？

2）基本事件空间如何表示？

3）基本事件之间有怎样的关系？

4）其中正面朝上的概率是多少？

2. 掷一颗构造均匀的骰子，观察出现的点数.

1）基本事件有几个？分别是什么？

2）基本事件空间如何表示？

3）基本事件之间有怎样的关系？

4）点数为1的可能性有多大？

3. 一先一后掷两枚质地均匀的硬币，观察正、反面出现的情况.

1）基本事件有几个？分别是什么？

2）基本事件空间如何表示？

3）基本事件之间有怎样的关系？

4）猜测出现“(正,正)”的可能性有多大？

问题：以上三个试验有哪些共同特征？（在此基础上抽象出古典概型的基本特征）分析B版教材中本节使用的三个例子，从“掷硬币”到“掷骰子”，从“掷一枚硬币”到“掷两枚硬币”，非常简明也非常典型，既是古典概型的经典例子，又是学生之前已经接触过，并且符合他们生活经验的例子. 本课选用这三个例子，并设置相似的层层递进的问题，

一是为了复习巩固前面的知识，二是为了通过相似的问题，更清晰地展示三个例子的共同特征，使概念形成水到渠成.

【辨析举例】

判断下列试验是否为古典概型.

1. 从0~1之间任取一个实数，每个数被取到的可能性相等，记录取到的实数r.

2. 在适宜的条件下，“种下一粒种子，观察它是否发芽”.

分析为了更进一步理解古典概型的概念，设计应用反例对概念中的的“有限性”和“等可能性”加以辨析. 这里使用的反例其一是教材中的例子，另一做了调整，是因为在实际教学中发现，在分析教材中例子“从规格直径为299.4~300.6mm的一批合格产品中，任意抽取一根，测量其直径d”时，思路易发生混淆，针对“有限个合格产品”和“测量值无限”这两个关注点，学生们对此例有不清晰的地方. 而作为概念辨析的反例，我们希望给出的例子明确，抓住基本特征两个关键点，巩固概念. 鉴于这个目的，改写了一个几何概型的例子放在此处，明辨特征.

【应用举例】

针对本节课的教学目标，设计3道例题及系列变式，其中例1用以落实重点，例2和例3重在突破难点，例3变式试图对学生进行思维的启迪.

例１掷一颗构造均匀的骰子，观察掷出的点数. 求掷得奇数点的概率.

设计意图这个例题选用教材中此节的例1，既与引例相呼应，又能够借此例使学生了解如何使用概率的计算公式处理简单的古典概型的问题. 对于此例题，不仅希望能够传达解决问题的思路，更希望呈现解决概率问题的步骤、格式，为今后解答更复杂问题时能够规范书写打下基础.

解1经判断，此试验为古典概型

2设事件A=“掷得奇数点”

3

4

答5掷得奇数点的概率为0.5.

利用此例题，呈现步骤，规范思维，渗透算法思想，突破教学重点.

例２甲乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏.分别求平局、甲赢、乙赢的概率.

设计意图这个例题选用教材中此节的例4，以学生常玩的一种游戏作为背景，解决这个问题，能使学生体会古老游戏的科学性合理性，体会用数学知识解决生活问题的功用所在，也解了一直以来的困惑或者更加强对游戏公平性的理解.

由于这个例子的基本事件是由甲乙两人出拳的结果构成，是一个二维的例子，于是为了数清基本事件的个数，可以将其列举出来，在这里介绍了“树状图”和“直角坐标系中的点”这两种常用的列举方法.

在解决问题的过程中，使学生发现“写出基本事件空间”、“列出随机事件的构成”是解题关键，这也正是突破教学难点的重要一步.

例3抛掷一红、一蓝两颗均匀骰子，求点数之和出现7点的概率.

设计意图选用教材中此节的例5第(1)问，此例难点为确定基本事件空间，为使研究的试验为古典概型，即要保证其有限性和等可能性这两个基本特征，就应该以二维的眼光看基本事件，可用数对(x, y)表示结果，其中x是红骰子出现点数，y是蓝骰子出现点数. 于是类似例2中的列举方法，可把全体基本事件用直角坐标系中的点表示，则

选出构成随机事件的基本事件，问题即可解决. 此例虽是抛掷两枚骰子，但由于问题关注两枚骰子点数之和，因此在寻找基本事件时，学生易错误的把点数之和当作区分基本事件的依据，如此形成的试验即非古典概型，不符合古典概型的基本特征. 此例可使学生明确如何判断一个试验是否为古典概型，突破教学难点.

在前例的试验中，很多有趣的问题蕴含其中，于是在此基础上，给出三个变式，展示所求随机事件的多样性，使学生广泛联想，启迪思维.

变式抛掷一红、一蓝两颗均匀骰子

1. 求出现点数相同的概率.

2. 甲、乙两人打赌，点数之和出现4，则甲赢，点数之和出现10，则乙赢，其他情况平局，这样规定公平吗？平局的概率是多少？

3. 如果红色骰子的点数记为m，蓝色骰子的点数记为n，把(m, n)作为点P的坐标，求点P落在内的概率.

设计意图变式1可以说是例3的练习，变式2将问题置于实际背景下，需要进行数学模型的转化，变式3将掷骰子的问题与以往的数学知识联系起来，促使学生们把新鲜的知识与头脑中已有的结构体系相连，进行更深层次的对比与辨析，最终解决问题.

本节课的例题到此为止，对于未选用的教材中的例2、例3，面临着连续取两次东西，放回与不放回的区分，计划在第2课时介绍. 因为这里对放回与不放回理解的混淆会弱化对古典概型概念本身理解的重要性，第1课时暂不涉及；对于例6，生物背景特别强的一道例题，可以鼓励自学，印证了“数学指导其他一切自然科学的发展”的观点.

【挑战问题】