【考研数学】线性代数PPT课件-向量与线性方程组解的结构.ppt

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组1 , 2 ,, m ,
构成一个m n矩阵
A (1 , 2 ,, m )
m个n维行向量所组成
的
向量组
T 1
,
T 2
,
m
T
,
构成一个m n矩阵
T 1
B
T 2
mT
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
•向量 •线性方程组解的结构
n 维向量的概念
定义 由 n 个有次序的数 a1, a2 , , an 构成的有序数组称为一个 n 维向量，简记为α
即 α a1, a2 ,, an ．其中 a1, a2, , an
称为向量的分量， n 称为向量的维数．
也可以写成一列
b1
b2
bn
例 已知α 3,4,1,2 β 2,3,2,2
1
(因为
1 0 0 2
B [ A, b] 1, 2 , 3 , b 0 1 0 3
0 0 1 0
即r( A) r(B).)
定义２ 设有两个向量组
A : 1,2 ,,m及B : 1, 2 ,, s .
若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则 称 向量组B能由向量组 A线性表示 . 若向量组A与向 量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价．
向量组1，
2，，
到底线性相关还是无关
m
，
也即齐次线性方程组
x1
Ax
[
1
,
2
,
,
m
]
x2
xm
x11 x22 xmm 0
有无非零解的问题，故而由上章关于齐次线性方 程组的定理，即有
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
a1
a
a2
an
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
例如 A
矩 阵A
a1 a11 a21
(a
a2 a12
a22
ij )mnaaa有12jjjn个 m维aaa12n列nn 向
量
am1 am2 amj amn
称为向量组的一个线性组合，k1，k2，, km称为这
个线性组合的系数.
给定向量组A : 1 , 2 ,, m和向量b,如果存在
一
组数1，2，,
，使
m
b 11 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
即线性方程组
x11 x2 2 xm m b
（
c1
,
c2
,,
cn
)
（
1
,
2
,,
s
)
b21
b12
b22
b1n b2n
bs1 bs2 bsn
同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数矩阵：
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T 1
T 2
m
T
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1s a2s
T 1
T 2
ams
sT
计算： 2α 3β
解： 2α 3β 23,4,1,2 3 2,3,2,2
6,8,2,4 6,9,6,6 0,17,8,2
，
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
aT (a1 ,a2 ,,an )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
若记A （1 , 2 ,, m )和B （ b1 ,b2 ,,bs ).B
能由A线性表示，即对每个向量bj ( j 1,2,, s)存 在数k1 j , k2 j ,kmj ,使
bj k1 j1 k2 j 2 kmj m
k1 j
（
1
,
2
,,
m
)
k2
j
,
kmj
从而
k11
（
b1
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
3.向量组只包含一个向量 时,若 0则说 线性相关,若 0,则说 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的.
5.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组, 它 线 性 相 关 的 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向 量共面.
向量组a1, a2 ,, an 称为矩阵A的列向量组.
类似地,
矩
阵A
(aij
) mn
又
有m
个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
T 1
T 2
A ai1
ai2
ain
T i
am1 am2 amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
有解. 也就是方程组 Ax b 有解，
其中，A 1, 2 , n .
定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必要
条件是矩阵 A (1，2，,m )的秩等于矩阵 B (1，2，,m , b)的秩.
2
1
0
例：向量 b 3 即可由向量组1 0，2 1，
0
0
0
0
3 0线性表示，且为：b 21 32 03
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
1 x1 2 x2
x
nn
b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１ 给定向量组A :1,2 ,,m，对于任何一
组实数k1，k2，, km，向量
k11 k2 2 km m
线性相关性的概念
定义３ 给定向量组A :1,2 ,,m ,如果存在不
全为零的数k1, k2 ,, km使
k11 k2 2 km m 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意:
1. 若 1 , 2 ,, n线性无关,则只有当
1 n 0时,才有
11 2 2 n n 0成立 .
,
b2
,, bs
)
（ 1
,
2
,,
m
)
k21
k12 k22
k1s k2s
km1 km2 kms
矩阵Kms (kij )称为这一线性表示的系 数矩阵. 因此，有结论：
结论 1： 若Cmn Ams Bsn，则矩阵C的列向量组能由
矩阵A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数 矩阵：
b11
设矩阵A经初等行变换变成B，则B的每个行 向量都是A的行向量组的线性组合，即B的行向量 组能由A的行向量组线性表示. 由初等变换可逆性 可知，A的行向量组能由B的行向量组线性表示， 于是A的行向量组与B的行向量组等价.
类似，若矩阵A经初等列变换变成 B，则A的 列向量组与B的列向量组等价.
且等价的俩矩阵的相同标号的列向量组具有 相同的线性相关性。