高斯公式的内容及其证明

证明
简要证明： 如图所示，把S看成由S1，S2和S3三部分组成，其中S1和S2的
方程分别为zz1(x, y)和 zz2(x, y) ，S1 取下侧，S2 取上侧，S3 取外 侧．设闭区域W在xOy面上的投影区域为D xy．
z
S2 ：zz2(x, y)
W
S3
S1 ：zz1(x, y)
O
Dxy
端可解释为分布在W内的源头在单位时间内所产生的流体的总
质量．
散度：
在流速场
F{ P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)}
内一定点M(x, y, z)附近任取一包围M点的闭曲面S，设S所围成的
区域为W，W的体积为V，则
1
V

S
F
ndS
表示单位时间从W的单位体积内所产生的流量，而
lim 1 F ndS
WM V S
表示在点M处单位时间内所产生的流量，我们称其为向量场F在
点M的散度，记为divF，即
divF lim 1 F ndS ． WM V S
散度的计算： 设P、Q、R具有一阶连续偏导数，则 divF P Q R ． x y z
cos 、cos是S上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦．
解 设S1为zh(x2y2 h 2)的上侧，则S与S1一起构成一个闭曲 面，记它们围成的空间闭区域为W． z
S1 h
S : z x2 y2
O
y
x
x2y2 h 2
由高斯公式得
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS 2 (x y z)dv
S
Dxy
所以有 类似地有
W
Rdv z


S
R(
x,
wk.baidu.comy,
z)dxdy
．
W
Pdv x


S
P(x,
y,
z)dydz
，
W
Q y
dv


S
Q(
x,
y,
z
)dzdx
，
把以上三式两端分别相加，即得高斯公式．
例 1 利用高斯公式计算曲面积分 (x y)dxdy ( y z)dydz ， S
S1
Dxy
R(x, y, z)dxdy R[x, y, z2 (x, y)]dxdy ，
S2
Dxy
R(x, y, z)dxdy 0 ，
S3
以上三式相加，得
R(x, y, z)dxdy {R[x, y, z2 (x, y)] R[x, y, z1(x, y)]}dxdy ．
通量：
设S是向量场F内的一片有向曲面，n是S上点(x, y, z)处的单位 法向量，则
F ndS
S
叫做向量场F通过曲面S向着指定侧的通量（或流量）． 高斯公式的另一形式：
divFdv = F ndS ．
W
S
§10．6 高斯公式 通量与散度
一、高斯公式 二、通量与散度
高斯公式的物理意义、散度 散度的计算、通量、高斯公式的另一形式
一、高斯公式
定理1 设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数 P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一阶连续偏导数，则有
W

S1
S1
x2 y2 h2
因此
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS 1 h4 h 4 1 h4 ．
S
2
2
二、通量与散度
高斯公式的物理意义：
高斯公式
W

P x

Q y

R z
dv


S
F

ndS
的右端可解释为单位时间内离开闭区域W的流体的总质量，左
SS1
W
h
h
2
dxdy
(x y z)dz 2
dxdy
zdz
x2 y2
x2 y2
x2 y2h2
x2 y2 h2

(h2 x2 y 2 )dxdy 1 h4 ．
x2 y2 h2
2
而
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS z2 dS h2dxdy h 4．
O 1y 1 x

(r sin z)rdrddz
2
d
1
rdr
3
(r
sin

z)dz


9
．
W
0
0
0
2
例 2 计算曲面积分 (x2 cos y2 cos z2 cos)dS，其中S为 S
锥面 x2y2z2 介于平面 z0 及 zh (h>0)之间的部分的下侧，cos 、
其中S为柱面 x2y21 及平面 z0，z3 所围成的空间闭区域W的整
个边界曲面的外侧．
z
解 这里P(yz)x，Q0，Rxy，
P yz， Q 0，R 0．
3
x
x
x
由高斯公式，有
(x y)dxdy ( y z)dydz
S
(y z)dxdydz W
y
x
根据三重积分的计算法，有
Rdv dxdy z2 (x,y) R dz
W z
Dxy
z z1 ( x, y)
{R[x, y, z2 (x, y)] R[x, y, z1(x, y)]}dxdy ．
Dxy
另一方面，有
R(x, y, z)dxdy R[x, y, z1(x, y)]dxdy ，
P x

Q y

R z
dv


S
Pdydz

Qdzdx

Rdxdy
，
或
W

P x

Q y

R z
dv


S
(P
cos

Q
cos


R cos
)dS
这里S是W的整个边界的外侧，cos 、cos 、cos是S上点(x, y, z)
处的法向量的方向余弦． 这两个公式称为高斯公式．