巧用向量解中学数学题

‘ ． ．
则茄 一（ １ ， １ ， ｏ ） ， 一（ ｏ ， ０ ， １ ） ， 一（ １ ， 一１ ， ｏ ） ．
． ．
所以 ． 一０ ， 葡 ． 一０ ．
即 ＰＱ１ ． Ｉ ＤＱ， ＰＱ＿ 上 ＿ ＤＣ．
点评 ： 在 解不等式或证明时 ， 除 了 掌 握 其 基 本 不 等 式 外 还
五、 巧 用 向量 解 三 角 函 数 题
例 ５ 求证 ： ｃ ｏ ｓ （ ￣ －ｐ ） 一ｃ ｏ ｓ ａ ｃ ｏ ｓ ｌ ｆ ＋ｓ ｉ ｎ ａ ｓ ｉ
明两 直线 对应 的 向 量 的数 量 积 为 零 即 可 ， 方法简便， 更 易 于 学生掌握 ， 可 以避 开传统 几何 中的作 图、 证 明 的麻 烦 ， 又 可 弥补 空 问 想 像 能 力 的 不 足 ， 发 挥 代 数 运 算 的 长 处． 深 入 开发 它的 解题 功能 ， 向 量 将 在 数 学 解 题 中 起 到 越 来 越 大 的
四、 巧 用 向量 证 明 不 等 式
、
巧 用 向量 解 高 考 立 体 几 何 题
由 于 立 体 几 何 涉 及 空 间 几何 图形 ， 许多考 生望而 生畏 ， 但
只要巧用向量的相关知识 ， 把 立 体 几 何 图 形 的 各 线 段 转 换 成
向量 ， 那 解 题 就 简便 多 了．
Ｐ Ｄ上 平 面 ＡＢ Ｃ Ｄ， Ｐ Ｄ／ ／ Ｑ Ａ， Ｑ Ａ＝ＡＢ—Ｐ Ｄ．
证 明： 平 面 ＰＱＣ＿ ＿ Ｉ 平 面 ＤＣ Ｑ．
≤ｌ 蔬 ｌ 。．１
‘ ． ‘ ‘ ． ．
ｚ 一（ ｎ ＋６ ）・（ 口 ｚ ＋６ ） ．
证 明： 以 Ｄ 为坐 标 原点 ， 线 段 ＤＡ 的 长 为 单 位 长 ， 射 线 Ｄ Ａ 为 轴 的正 半 轴 建 立 空 间直 角 坐 标 系 Ｄ—ｘ ｙ ｚ ．
爻 嘲 霹
。
剧 研
２ ０ １ ３年 第 ６期
巧 用 向量 解 中 学 数 学 题
■ 罗 熙 平
向量 是新 课 标 下 中 学 数 学 中重 要 的 基 本 概 念 之 一 ， 由 于
中学生数理亿 ． 学研版
例３ 在边长 为 １的正方形 ＡＢ Ｃ Ｄ 中， 设蕊 一ｎ ， 一 ，
向量 在计 算 长 度 、 角度 ， 判断平行 、 垂 直 等 方 面都 非 常 直 观 ， 因
此 巧 用 向 量解 中 学 数 学 题 是 一 种 简 便 的 解 题 方 法 与 思 路 ． 纵
一ｎ ，
一６ ，
一ｃ ，
Ｉ ｎ ６ ＋ｃ Ｉ 一 蔬 一 ＋ 【 一ｌ 确 ＋ １ ．
ｎ 一 ＋ｃ ｌ —ｌ 百 ｌ 一２ ．
观近几年的高考 ， 有 关 向 量 的 部 分 突 出 考 查 了 向量 的 基 本 运 算， 对 向量 的应 用 也 日渐 加 大 考 查 的 力 量 ． 下 面 浅 谈 巧 用 向量
解中学数学题．
一
又。 ． ‘ 一商 ，
‘
．
．
点评 ： 本题巧用 了向量加 减 法的几何 意 义计 算线段 的 长 度， 把 复 杂 的 平 面 几 何 图形 简单 化 ， 可 见 其 简便 之 处．
要 把 握 题 目的特 点 寻 找 简便 的 方 法 ， 而 本 题 就 是 巧 用 向 量 解
题 的 简便 方 法．
故 ＰＱ － ． ｒ 平 面 ＤＣ Ｑ ．
又 Ｐ Ｑ ／ ／ 平面 Ｐ Ｑｃ ， 所以平面 Ｐ Ｑ ｃ 上平面 Ｄ ｃ Ｑ ．
点评 ： 利 用 口＿ ＿ ＿ ６ ㈢ 口・ｂ 一 ０来 证 明 两 直 线 垂 直 ， 只 要 证
又 ａ・ ６ 一Ｃ Ｏ Ｓ 口 Ｃ Ｏ ｓ 口 ＋ｓ ｉ ｎ ａ ｓ ｉ ｎ ｐ ， 则 问题 得 证 ．
点评 ： 本 题 巧 用 向 量 的 知识 解 答 ， 使 过 程 简便 许 多．
二、 巧 用 向量 解 圆 锥 曲线 题
圆锥 曲线 是 高考 重 点 考 查 的 内 容 ． 考 查 的 内 容 包 括 圆 锥
一ｃ ， 求 ｉ ｎ 一６ ＋ ｃ． 解： 作 ＤＣ的延 长 线 ， 截 ＭＣ＝Ｃ Ｄ＝ １ ， 连接 Ｂ Ｍ．
又 ‘ ． 。 ・ ．源自．向量 本 身 具有 数 与 形 的 双 重 性 ， 而 函数、 解 析几 何 、 空 间几 何
都 具 有形 的结 构 ， 因 此 可 巧 用 向量 解 答 这 方 面 的 题 目 ； 又 因 为
依 题 意 有 Ｑ（ １ ， １ ， Ｏ ） ， Ｃ （ Ｏ ， ０ ， １ ） ， Ｐ（ ０ ， ２ ， Ｏ ） ．
ａ ＞ ０， ６ ＞ ０， ａ ≠ｂ ． ≠０ ． Ｃ Ｏ Ｓ 口 ≠ １ ． （ ｎ ＋ｂ ）・（ ａ ＋ｂ ） ＞ （ ０ 。 ＋ｂ 。 ） 。 ．
作 用．
分析： 由等 式 右 边 联 想 到 向量 的数 量 积 ．
解 ： 令 ｎ 一（ Ｃ Ｏ Ｓ ｑ ， ｓ ｉ ｎ ａ ） ， ６ 一（ ｃ ｏ ｓ ｌ ｆ ， ｓ ｉ ） ，
则ｌ 口 ｌ —ｌ ， ｌ ｂ ｌ 一１ ， 且易知 ｎ 与ｂ的夹角为Ｊ ９ 一ａ ， 则 ｎ・ ６ 一ｌ ｎ ｌ ｌ ｂ ｌ ｃ ｏ ｓ （ ｐ －ａ ） 一ｃ ｏ ｓ （ ｐ －￣ ） ，
曲线 的 概念 和性 质 ， 直 线 与 圆 锥 曲线 的 位 置 关 系 等 ， 很 多 时候 需 要 巧 用 向 量 的 知识 来 简便 解 题 ． 例 ２ 证 明： 等 轴 双 曲 线 上 任 一 点 到 中 心 的 距 离 是 它 到 两 焦 点 距 离 的 等 比中项 ．
例 ４ 设 ０ ≠ｂ ， ｎ ＞０ ， ６ ＞０ ， 求证 ：
（ ｎ ＋ｂ ） （ ａ 。 ＋ｂ ） ＞（ １ ２ 。 ＋ｂ 。 ） ．
例 １ （ ２ Ｏ ｌ １年 辽 宁 理 １ ８ ）四 边 形 ＡＢ Ｃ Ｄ 为正方形，
证明 ： 构 造 向量 一（ ｎ ｚ ， ｂ 。 ） ， ＝（ ｎ ， ６ ） ， 则： （ 。 ＋６ ３ ） ２ 一（ ． ） ｚ —ｌ ｌ ｚ ．Ｉ Ｉ ｚ． ｃ （ ） ｓ 。 ０