[自主探究 能力建构] 自主探究,建构新知

1案例背景? 高考是知识和能力的双重较量，更是意志和品质的双重竞争．如何提高高考复习的效率和质量，历来为广大教师和考生所关注．新课程积极倡导合作学习与探究性学习的学习方式，其核心目的就是让学生的主体地位在更高的层次和更广阔的空间获得凸现．数学课堂探究式教学，就是教师通过各种课堂教学组织形式，把学生在学习过程中的发现、探索、研究等认识活动，更多地成为学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程的一种教学方法．数学探究式教学可以调动学生的学习主动性与积极性，让学生初步体验数学发现和创造的历程，培养学生的创新意识．?

函数是高中数学的主线，是高考考查的主要内容之一．导数进入新教材后,函数研究的范围随之扩大了,三次函数正成为命题中的新亮点．三次函数的导数为二次函数，对于二次函数学生已有较为全面、系统、深刻的认识．然而，三次多项式函数虽然同样初等，但是诸多问题的研究与探讨学生均显力不从心．?

本文是笔者在执教省重点中学高三文科班“导数的应用”第二节复习课上，由一个学生“意外插话”引起的一次没有准备的探究活动．?

2案例过程?

（2007年高考湖南文第21题）已知函数?

f(x)=13x?3+12ax?2+bx在区间［－1，1)，(1，3］内各有一个极值点．?

（Ⅰ）求a?2－4b的最大值；?

（Ⅱ）当a?2－4b=8时，设函数y=f(x)在点A(1，f(1))处的切线为l，若l在点A处穿过函数y=f(x)的图像（即动点在点A附近沿曲线?

y=f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f(x)的表达式．?

师这是一道曾经难倒许多英雄的高考压轴题，当时大部分考生都末能完善解决，今天就让我们一起来挑战这道难题，看看能否给予解决！?

师默读问题，你能从本题中获取到哪些信息？是否梳理了题目的条件与结论？ ?

学生陷入深思中．我环绕教室一周，发现学生A已快速地完成了问题（Ⅰ），我就叫她上来板演，这个题目的（Ⅰ）比较容易理解，学生A的解法我很满意．但对问题（Ⅱ）学生们显得无从下手．?

生老师，问题（Ⅱ）我们都看不懂题意，“穿过”是怎么回事？说明了什么？?

为了引导学生，我作出了草图（图1），结合图像，此时学生才豁然开朗……?

师由于切线ly=(1+a+b)x－23－12a在点A(1，f(1))处穿过y=f(x)的图像，所以切线l 与y=f(x)的图像只有一个公共A．g(x)=f(x)－［(1+a+b)x－23－12a］在x=1两边附近的函

数值异号，且x=1不是g(x)的极值点．?

当我讲解好题目得出表达式f(x)=13x?3－x?2－x，正准备讲解下一个例题……?

突然，学生B连手都不举在下面激动的大喊一声老师，这个A点是不是图像的对称点啊？?

学生B是一个“捣蛋鬼”，总爱给老师找点“麻烦”的学生，被他缠住可够受的啦．?

由于还要继续讲授下面的内容，完成教学任务，更由于这是我课前没预料的，怕出乱子，我真想敷衍一下．但新课程理念告诫我“教师是学生亲密的伙伴，对学生在学习活动中的表现应给予充分的理解与尊重．”更何况我经常鼓励学生要勇于探索，大胆创新．?

师（顿了顿）学生B真是一个爱思考的学生，他为何会做出这样一个猜想，让我们共同来听一听，好吗？?

学生B（有点不好意思）我刚才对题（II）也很模糊，就从最特殊的三次函数y=x?3的图像入手研究，发现在对称点O(0,0)处的切线y=0满足题意．再观察你画的图像，我猜想一般的三次函数好像也这样，不过我没有证明出来．（教室里传来一阵哄笑……）?

我眼睛一亮，不得不被学生B的这种善于观察，敢于猜想的精神所折服．?

师同学们，其实世界上有很多伟大的发现和创造都是科学家们先通过猜想得到启发，然后再进行科学论证得到的．学生B的这种勇于提问，敢于猜想的学习精神是值得我和大家学习的，我们为他鼓掌！”（教室里响起热烈的掌声）?

此时，我心中已有底，但不露声色，我要让学生自己去发现．?

师这是一个值得研究的问题，f(x)=13x?3－x?2－x是关于点A(1,－53)对称吗？如何证明？?

学生有的陷入了沉思，有的进行激烈的讨论．这时数学科代表C举手站起来，说出了思路．?

学生Cy=f(x)关于点P(m,n)的充要条件是f(m－x)+f(m+x)=2n.?

师太好了，同学C抓住了问题的要害，为我们指明了方向.?

接下来，学生们很快就得出了答案?

f(1－x)+f(1+x)=13(1－x)?3－(1－x)?2－(1－x)+13(1+x)?3－(1+x)?2－(1+x)=?－103=2×（－53）;?

即得证f(x)=13x?3－x?2－x是关于点A(1,－53)对称！?

这时,意想不到的事情又发生了, 兴奋不已的“捣蛋鬼”学生B又站了起来．?

学生B老师, 像三次函数y=x?3,y=2x?3－x等都是奇函数，他们的图像都存在对称中心（0，0），而f(x)=13x?3－x?2－x虽不是奇函数,但也存在对称中心,是不是任何一个三次函数都存在对称中心呢? ”?

“三次函数的图像都存在对称中心?”同学们若有所悟,教室里就像炸开了锅,又讨论起来了.?

学生C（胸有成竹）老师，这个容易证明,就是把我们刚才证明的推广一下而已! 三次函数f(x)=ax?3+bx?2+cx+d的图像关于点P(m,f(m))成中心对称,只需满足f(m+x)+f(m－x)=2f(m)即可．?

学生C的板演?

f(m+x)=a(m+x)?3+b(m+x)?2+c(m+x)+d?

f(m－x)=a(m－x)?3+b(m－x)?2+c(m－x)+d?

得f(m+x)+f(m－x)=(6am+2b)x?2+2am?3+2bm?2+2cm+2d?

即f(m+x)+f(m－x)=(6am+2b)x?2+2f(m)，由于对于x∈R恒成立，所以有?

6am+2b=0，得m=－b3a．从而可证三次函数f(x)=ax?3+bx?2+cx+d的图像一定关于点P(－b3a,f(－b3a))点成中心对称！?

学生C怕大家有疑惑，下讲台时还特意补充了一句我已经验证了f(x)=13x?3－x?2－x 的对称中心A(1,－53)也是符合的！?

学生C:结合图像,我们也不难发现求 f(x)=13x?3－x?2－x的对称中心,可以先求出它的极大值点与极小值点,因为他们的对称点就是y=f(x)的对称中心!?

我为学生C的这种学习能力不禁拍案叫绝，也引来学生片片喝彩……?

师:同学C讲的太对了.我们同学今后有机会学高等代数时,会发现三次函数的对称点又名为“拐点”,我们也可通过二阶导数f""?(x)=0迅速求得拐点.?

至此，下课铃响了，还未等我总结，坐在前排的学生D在位置上腼腆地问“老师，三次函数f(x)=13x?3－x?2－x在其对称点A(1，f(1))处切线l与y=f(x)的图像只有一个公共点A，这个性质是否也能推广呢？”?

“三次函数的图像只有在对称点处的切线才与曲线只有一个公共点？”学生D的提问又使我们很吃惊．?