工程弹塑性力学第二章应力状态理论

Fz 0
Mx 0
My 0
Mz 0
25
z
z z dz z
zy zy dz z
yx
zx zx dz z
xy
x yz yz dy
y
xz xz dx
y
x xz
xy xy dx x
y y dy
yz
o
x x dx x
zx
yx yx dy y
y
y
zy
z
x
同理考虑 Fy 0 ，Fz 0 得
基于这样的理由，假想穿过物体作三组分别与3个坐标平 面平行的截面，在物体内部，它们把物体分割成无数个微 分平行六面体；在靠近物体的表面处，只要这三组平面取 得足够密，则不失一般性地被切割成微分四面体（见下 图）。
如果我们分别考虑物体内部任意一个微分平行六面体和表 面处任意一个微分四面体的平衡，可以导得平衡微分方程 和应力边界条件。
z
xy
x
xz xz dx
x
xz
yz yz dy y
yxdxdz (zx zx dz)dxdy zxy dx x
x x dx
y y dy
yx yx dy
y
y
Fxdxdydz 0
o
x
zx
y
zy
z
x 应满足平衡方程：
x
x
yx
y
zx
z
Fx
0
Fx 0
Fy 0
13
下标的含义：
正应力的下标表示作用面的方位和它的方向 切应力的下标第一个表示作用面的方位，第二 个下标表示它的方向
正负号的规定：
当微分面外法线指向与坐标轴正方向一致时， 应力分量沿正方向为正；当微分外法线指向与 坐标轴负方向一致，则应力分量以沿坐标轴负 方向为正。
14
正应力
物 体
内 集度 应
力
fz xzl yzm zn
27
2.5 转轴时应力分量的变换
当坐标系改变时, 同一点的各应力分量应作 如何改变
易证明, 如坐标系作平移变换, 同一点的各 应力分量是不会改变的, 因此只考虑转轴的 情形
第二章 应力状态理论
2.1 体力和面力 2.2 应力和一点的应力状态 2.3 与坐标倾斜的微分面上的应力 2.4 平衡微分方程 应力边界条件 2.5 转轴时应力分量的变换 2.6 主应力 应力张量不变量 ＊2.7 应力二次曲面 2.8 最大切应力
1
第二章 应力状态理论
•弹性力学所研究的都是超静定问题。要解决 超静定问题，必须考虑静力学、几何学和物理 学三方面的条件，缺一不可。
7
凡提到应力，应同时指明它是对物体内哪 一点并过该点的哪一个微分面来说的。
因为，通过物体内同一点可以作无数个方 位不同的微分面。显然，各微分面上的应 力一般说是不同的。
物体内同点各微分面上的应力情况，称为 一点的应力状态。
8
为了表示一点的应力状态，过物体内某一 点M分别作3个彼此垂直的微分面，使之与 坐标平面平行
yxSm
zxSn
1 3
FxSh
0
x
fvx xl yxm zxn
同理 fvy xyl ym zyn
fvz xzl yzm zn
19
2.4 平衡微分方程 应力边界条件
如果一物体在外力（包括体力和面力）作用下处于平衡状 态，则将其分割成若干个任意形状的单元体以后，每一个 单元体仍然是平衡的；反之，分割后每一个单元体的平衡， 也保证了整个物体的平衡。
20
B
B A
A
物体受外力作用处于平衡状态也保证了单元体的平衡 分别在物体内取任意一个平行六面体和表面处一个四面体分 析其平衡
21
22
23
24
z
考虑 Fx 0 ，有
z z dz
z zy zy dz
z
(x x dx)dydz xdydz (yx yx dy)dxdz
x
y
yx
y
zx zx dz
f y 分量
fz
5
2.2 应力和一点应力状态
1、内力：物体受外界作用，在物体内部不同部分之间产 生的相互作用力
v
F
z
内
z
内力
M
力
s
和
应
o
力
o y
x
x
M s
y
F
v
6
内力和应力
v
fvz
v
z
fv
S
fvy
投影于 坐标轴
fvx
M
v
F
fvx
lim s0 S
fv
fvy
fvz
o
投影于法
y
线和平面
v
v
x
正应力 切应力
此3个微分面分别把物体在M点的微分邻域 分割成前后、左右以及上下两部分（假定 取x轴垂直纸面而指向读者，z轴垂直向上）
我们只保留其表面外法线方向和坐标轴正 方向一致的那一部分（下图）
9
10
11
三个特殊面上的应力
z
xy
z
xy M
yx
o
o
x
y
x
z z
yz
zy M
x
o
zx
M
y
y x
x
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应力张量
(
x
ij ) yx
zx
xy y zy
xz
11
yz
z
21 31
12 22 32
13
23
33
为了表示一点的应力状态，过该点M作三个与坐标平面平 行的三个特殊微分面。分别将物体分成前后、上下、左右两 个部分，保留外法线方向与坐标轴正方向一致的部分，称为 M点的三个特殊微分面上的9个应力分量，即应力张量。
•本章的任务是要从静力学观点出发，分析一 点的应力状态，并建立连续介质力学普遍适用 的平衡微分方程和应力边界条件。
•在本章的推导中，将忽略物体的变形，显然 这对小变形物体来说是不会引起明显误差的。
2
2.1 体力和面力
作用在物体上的外力有两种类型，即体 力和面力。 1、体力：分布在物体内所有质点上的力 （重力、惯性力和电磁力等）
平衡微分方程，又称纳维方程
x
x
yx
y
zx
z
Fx
0
xy
x
y
y
zy
z
Fy
0
xz
x
yz
y
z
z
Fz
0
(2 5)
ij Fi 0
(2 5)
考虑 Mx 0 My 0 Mz 0
zy yz
xz zx
xy yx
切应力互等定理
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应力边界条件：表示物体在边界上应力与面力之 间的平衡关系。
fz
fy
fx
fx xl yxm zxn fy xyl ym zyn
力
剪应力
的 受 力
体 集度 体力矢量
外
力
力
面 集度 力
面力矢量
15
16
2.3 与坐标倾斜的微分面上的应力
17
18
z
c
Fv
f
vx
x
v
yx xy
Mbc面积 Sl Mac面积 Sm Mab面积 Sn
y
xz
M zx
fvy
yz zy fvz
b y
由平衡条件 Fx 0 ，得
a
z
fvxS
xSl
2、面力：作用在物体表面上的力（风力、 液体压力、物体间接触压力等）
3
4
体
力
和
体
力
矢
量
x
面 力 和 面 力 矢 量
x
z
v Fz
F
Fy Fx
M
y
投影于坐 标轴
Q lim F v0 v
Fx
Fy 体力分量 Fz
z
s f z
Fv
fy
M
fx
y
Q
lim Fv
s0 S
投影于 坐标轴
面 力 矢 量
fx 面力