浅谈数学中的对称美及其应用
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遍 的应 用 ， 利 用 对 称 的 思 想 来 解 决 数 学 问 题 可 以 起 到 事 半
设 函 数 解 析 式 ＝ √ 南 十 Ｖ 十 Ｚ ， 证 明 ＋ 业 Ｏ ｙ ２ ＋
２ ：０．
分析 ： 先是关 于 对于 求导得 出 பைடு நூலகம்， 然后再对 于 求
功倍 的效果 ， 对称美更是数学美 中不可忽视的一部分． 数 学 中对 称 美 的 基本 内容 及 表 现 形 式 对称 性在数学中也是 普遍 存在 的 ， 数 学 美是 现实 空 间
【 摘要 】本文主要讨论 在 数 学现象 中的对 称美 ， 比如 ： 数字， 图形和公 式的对称 美等 ， 及其 在数 学中的应用 以及作
用， 对 称 也 是 连 接 代 数 与 几何 的 关 键 ， 使代 数与几何 达到 了 完美 的统一． 通过 学 习数 学 中的对称美 ， 可以增强发 散性 思
维， 并且开拓在解决 数学问题 中的基本思路 与方法．
（ 一 ）对称性在微分学中的应用
【 关键词 】对称美 ； 几何 ； 代数 ； 发散性思维
对称 ， 是指 图形或物 体对 某个 点 、 直线 或平 面而 言 ， 在 大小 、 形状和排列上具有一一 的对应关 系 ， 其最 直观 的表现 就 是 图 形 的部 分 重 叠 或 重 合 Ｊ ． 对 称 性 在 数 学 中有 非 常 普
Ｄ是关 于 轴对称 的， 而且ｌ 厂 （ ， Ｙ ） 在 Ｄ上也是连续 的， 则（ １ ）
若 ，一 Ｙ ）＝ 一 ， Ｙ ） ， 则有 ｊ ， Ｙ ） ｄ ｏ ＂ ＝０ ； （ ２ ） 若
＿ 厂 （ ， 一 Ｙ ）＝ 厂 ＿ （ ， Ｙ ） ， 则有Ｊ 『 ， （ ， Ｙ ） ｄ ＂＝２ ｏ 『 Ｊ ， （ ， Ｙ ） ｄ ｏ ＂ ，
等方 面． 如果一个整 数 ， 它 的每一位 数字都是 关于 左右对称 的， 那么称 这个数 是对称数 ， 也 可 以 称 这 个 数 为 回 文 数 ．比 如１ ２ １ ， １ ２ ３ ２ １ ， １ ２ ３ ４ ３ ２ １ 等等 ； 由于图形 的对称 美 ， 代 数学 才 得以发展和进步 ， 更 是成为一 门学科． 若一个 图形 的对称 轴 越多 ， 那么这个 图形 就越完整 ， 越 完美 ； 在一些 数学公 式 中 ， 对称美也是无处 不在 的．比如 ， 加 法和 乘法 的交换 律 、 分 配 律， ａ－ Ｉ － ｂ＝ｂ＋ａ ， ａ ｂ＝ｂ ａ ． （ ａ＋ｂ ） ｃ＝ａ ｘ ｃ＋ｂ×Ｃ 等． 代数 中的平方差公式 ａ 一６ ＝ （ ａ—ｂ ） （ ｎ＋ｂ ） ， 完 全 平 方 和公 式 （ ａ＋ｂ ） ＝ａ ＋ ２ ａ ｂ ＋ｂ 等； 且有结构 的对称美 ， 如二项式定
三、 结 论
对称不仅 给人 以直观美 的享 受 ， 更 是 一种 重要 的数 学 思想 ， 数学思维模式和方法 Ｊ ． 在数 学解题过 程 中利用 对称
关系， 也 是 常 用 的一 种 解 题 技 巧 ． 用 对 称 的 思 想 和 思 维 解 题， 可以使问题简单 、 明了化 ， 可 以将 抽象 问题具体 化 ， 从而 降低解题 的难度 ， 达到事半功倍 的效果 ， 更重要 的是可 以培 养学生 的发 散性 思维 ， 展现数学 中的 自然美 ， 加 深学生 对数
一
、
导 得出 ， 同 理 得出 和 等 ， 因 为 ， Ｙ ， ｚ 是 关 于自 变 量对 ｏ ｙ ｄ
称 的， 所 以 只 需算 出 一 个 即 可 证 明． （ 二 ）对称性在积分学中的应用 对称性在积分学 中有 着重 要的应用 ， 且有 如下结 论 ： 命 题一 ： 设＿ 厂 （ ） 在［ 一ａ ， ａ ］ 上连续 ， （ １ ） 若＿ 厂 （ 一 ）＝－ ｆ （ ） ， 则
●
专 题 研 究
． －
秘 稚 。
浅
◎ 董 晓 萌 李
孝 鳓
殉 （ 渭南师范学院
篆履羹麈
数理学 院， 陕 西 渭 南 ７ １ ４ ０ ９ ９ ） 想； 对称性在数学几何 中的体现最为直 观 ， 例 如 圆， 球， 抛 物 线， 双 曲线 ， 都 是有着 很直观 的对称 性 ， 运 用 对 称 的 思 想 更 是 可 以 直 观 地 得 出结 论 或 者 结 果 ； 对 称 在 微 积 分 解 题 过 程 中的应用 ， 通过具体 的问题来说 明．
统一 ， 把 各 种 数 学 概 念 和理 论 联 系 起 来 ． 对 称 性 在 数 学 中 的 具体表现 为 ： 数字 的对称 ， 图形 的对 称 ， 形 式或结 构 的对称 等等． 因而 ， 对 称 美 成 为 数 学 美 中必 不 可 少 的 一 部 分 ， 对称
２ Ｊ ． 厂 （ ） ｄ ｘ ． 命题二： 如果有一个积分区域 Ｄ， 并且这个区域
有ｆ Ｉ 厂 （ ） ｄ ｘ＝ ０ ； （ ２ ） 若＿ 厂 （ 一 ）＝ ， （ ） ， 则有ｆ
） ｄ ｘ＝
数学 的方 法技 巧 ， 以及数学在 生活实 际中的作用 和应用． 其 中对称美 ， 却是最 简洁 、 最 能给予 人美 感 的一种体 现形 式 ， 它展 现了数学中的部 分与 部分 、 部 分 与整体 之 间的联 系 和
自然美 的一种体现 ， 是一种特 殊的美 ， 也具有 其他科 学不具 有 的抽 象 美 ， 更 是 ～ 种 科 学 美 Ｊ ． 数学的美是一种天生 的、 协 调 的美 ， 也是 一种 抽象 的、 严谨 的美． 这些 数 学美 的特征 ： 奇 偶性 、 单 调性 、 奇 异 性等 等， 体 现在数学语言 ， 数学理论知识 ， 数学 的定理公 理公 式 ，
其 中Ｄ。 是 Ｄ中对应于 Ｙ≥０的部分 ， 即 Ｄ。＝｛ （ ， Ｙ ）∈
Ｄ Ｙ≥ ０｝ Ｉ ．
性更 是数 学中的一种 重要 思想 和方法 ， 所 以对称 美普 遍存 在于数学科学中 ， 甚 至在其 他 自然科学 及人 文科 学 中也处
处 蕴 含 着 对 称 的 美 及 对 称 的重 要 作 用 ． 数学中的对 称 美 的主要 表 现 形 式体 现 在 图形 的对称 美， 数字 的对 称美 ， 公 式 的对称美 ， 以及形 式或 结构 的对称
设 函 数 解 析 式 ＝ √ 南 十 Ｖ 十 Ｚ ， 证 明 ＋ 业 Ｏ ｙ ２ ＋
２ ：０．
分析 ： 先是关 于 对于 求导得 出 பைடு நூலகம்， 然后再对 于 求
功倍 的效果 ， 对称美更是数学美 中不可忽视的一部分． 数 学 中对 称 美 的 基本 内容 及 表 现 形 式 对称 性在数学中也是 普遍 存在 的 ， 数 学 美是 现实 空 间
【 摘要 】本文主要讨论 在 数 学现象 中的对 称美 ， 比如 ： 数字， 图形和公 式的对称 美等 ， 及其 在数 学中的应用 以及作
用， 对 称 也 是 连 接 代 数 与 几何 的 关 键 ， 使代 数与几何 达到 了 完美 的统一． 通过 学 习数 学 中的对称美 ， 可以增强发 散性 思
维， 并且开拓在解决 数学问题 中的基本思路 与方法．
（ 一 ）对称性在微分学中的应用
【 关键词 】对称美 ； 几何 ； 代数 ； 发散性思维
对称 ， 是指 图形或物 体对 某个 点 、 直线 或平 面而 言 ， 在 大小 、 形状和排列上具有一一 的对应关 系 ， 其最 直观 的表现 就 是 图 形 的部 分 重 叠 或 重 合 Ｊ ． 对 称 性 在 数 学 中有 非 常 普
Ｄ是关 于 轴对称 的， 而且ｌ 厂 （ ， Ｙ ） 在 Ｄ上也是连续 的， 则（ １ ）
若 ，一 Ｙ ）＝ 一 ， Ｙ ） ， 则有 ｊ ， Ｙ ） ｄ ｏ ＂ ＝０ ； （ ２ ） 若
＿ 厂 （ ， 一 Ｙ ）＝ 厂 ＿ （ ， Ｙ ） ， 则有Ｊ 『 ， （ ， Ｙ ） ｄ ＂＝２ ｏ 『 Ｊ ， （ ， Ｙ ） ｄ ｏ ＂ ，
等方 面． 如果一个整 数 ， 它 的每一位 数字都是 关于 左右对称 的， 那么称 这个数 是对称数 ， 也 可 以 称 这 个 数 为 回 文 数 ．比 如１ ２ １ ， １ ２ ３ ２ １ ， １ ２ ３ ４ ３ ２ １ 等等 ； 由于图形 的对称 美 ， 代 数学 才 得以发展和进步 ， 更 是成为一 门学科． 若一个 图形 的对称 轴 越多 ， 那么这个 图形 就越完整 ， 越 完美 ； 在一些 数学公 式 中 ， 对称美也是无处 不在 的．比如 ， 加 法和 乘法 的交换 律 、 分 配 律， ａ－ Ｉ － ｂ＝ｂ＋ａ ， ａ ｂ＝ｂ ａ ． （ ａ＋ｂ ） ｃ＝ａ ｘ ｃ＋ｂ×Ｃ 等． 代数 中的平方差公式 ａ 一６ ＝ （ ａ—ｂ ） （ ｎ＋ｂ ） ， 完 全 平 方 和公 式 （ ａ＋ｂ ） ＝ａ ＋ ２ ａ ｂ ＋ｂ 等； 且有结构 的对称美 ， 如二项式定
三、 结 论
对称不仅 给人 以直观美 的享 受 ， 更 是 一种 重要 的数 学 思想 ， 数学思维模式和方法 Ｊ ． 在数 学解题过 程 中利用 对称
关系， 也 是 常 用 的一 种 解 题 技 巧 ． 用 对 称 的 思 想 和 思 维 解 题， 可以使问题简单 、 明了化 ， 可 以将 抽象 问题具体 化 ， 从而 降低解题 的难度 ， 达到事半功倍 的效果 ， 更重要 的是可 以培 养学生 的发 散性 思维 ， 展现数学 中的 自然美 ， 加 深学生 对数
一
、
导 得出 ， 同 理 得出 和 等 ， 因 为 ， Ｙ ， ｚ 是 关 于自 变 量对 ｏ ｙ ｄ
称 的， 所 以 只 需算 出 一 个 即 可 证 明． （ 二 ）对称性在积分学中的应用 对称性在积分学 中有 着重 要的应用 ， 且有 如下结 论 ： 命 题一 ： 设＿ 厂 （ ） 在［ 一ａ ， ａ ］ 上连续 ， （ １ ） 若＿ 厂 （ 一 ）＝－ ｆ （ ） ， 则
●
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◎ 董 晓 萌 李
孝 鳓
殉 （ 渭南师范学院
篆履羹麈
数理学 院， 陕 西 渭 南 ７ １ ４ ０ ９ ９ ） 想； 对称性在数学几何 中的体现最为直 观 ， 例 如 圆， 球， 抛 物 线， 双 曲线 ， 都 是有着 很直观 的对称 性 ， 运 用 对 称 的 思 想 更 是 可 以 直 观 地 得 出结 论 或 者 结 果 ； 对 称 在 微 积 分 解 题 过 程 中的应用 ， 通过具体 的问题来说 明．
统一 ， 把 各 种 数 学 概 念 和理 论 联 系 起 来 ． 对 称 性 在 数 学 中 的 具体表现 为 ： 数字 的对称 ， 图形 的对 称 ， 形 式或结 构 的对称 等等． 因而 ， 对 称 美 成 为 数 学 美 中必 不 可 少 的 一 部 分 ， 对称
２ Ｊ ． 厂 （ ） ｄ ｘ ． 命题二： 如果有一个积分区域 Ｄ， 并且这个区域
有ｆ Ｉ 厂 （ ） ｄ ｘ＝ ０ ； （ ２ ） 若＿ 厂 （ 一 ）＝ ， （ ） ， 则有ｆ
） ｄ ｘ＝
数学 的方 法技 巧 ， 以及数学在 生活实 际中的作用 和应用． 其 中对称美 ， 却是最 简洁 、 最 能给予 人美 感 的一种体 现形 式 ， 它展 现了数学中的部 分与 部分 、 部 分 与整体 之 间的联 系 和
自然美 的一种体现 ， 是一种特 殊的美 ， 也具有 其他科 学不具 有 的抽 象 美 ， 更 是 ～ 种 科 学 美 Ｊ ． 数学的美是一种天生 的、 协 调 的美 ， 也是 一种 抽象 的、 严谨 的美． 这些 数 学美 的特征 ： 奇 偶性 、 单 调性 、 奇 异 性等 等， 体 现在数学语言 ， 数学理论知识 ， 数学 的定理公 理公 式 ，
其 中Ｄ。 是 Ｄ中对应于 Ｙ≥０的部分 ， 即 Ｄ。＝｛ （ ， Ｙ ）∈
Ｄ Ｙ≥ ０｝ Ｉ ．
性更 是数 学中的一种 重要 思想 和方法 ， 所 以对称 美普 遍存 在于数学科学中 ， 甚 至在其 他 自然科学 及人 文科 学 中也处
处 蕴 含 着 对 称 的 美 及 对 称 的重 要 作 用 ． 数学中的对 称 美 的主要 表 现 形 式体 现 在 图形 的对称 美， 数字 的对 称美 ， 公 式 的对称美 ， 以及形 式或 结构 的对称