高级数理逻辑课件CH06--模态逻辑形式系统

□(AB)(□A□B) 如何理解：□◇□A、◇□◇□A、◇□◇□□A、 ◇□◇◇□A、……

17/55
wenshli@
2．模态命题逻辑形式系统
模态命题演算是现代模态逻辑的基本内容之一。 是应用数理逻辑的方法研究模态命题逻辑的结果。 模态逻辑形式系统与FSPC类似。 模态逻辑形式系统根据对模态词的不同的解释形成不 同的形式系统，称为正规系统(Normal System)。 NSK 是最简单的正规系统。 NSKD NSKT NSKB NSK4 NSK5
增加“必然”算子☐/L、 “可能”算子/M 并允许它们把任何公式作为自变元。如： ☐(pq)（意思是：“必然 p或q”） ☐pq （意思是： “必然p 或 q”）
13/55
wenshli@
对模态系统的直观要求

如果☐和被解释为必然性和可能性算子，则下面的 等价式应该是有效的： ☐pp，p☐p 包含这些等价式的系统无须将☐和都作为初始符 号： 将☐作为初始符号，并定义 =☐ 这样的系统称为☐-基系统。 将作为初始符号，并定义 ☐= 这样的系统称为-基系统。

任何一个具有有效公式形式的命题不仅是真的，而且 是必然真的。 即：如果是一个有效的公式，那么不仅具有形式的 每个命题都是真的，而且具有形式☐的每个命题也 都是真的，而且，☐ 也是有效的。 因此，希望在一个模态逻辑中得到这样一个定理： 如果是有效的，那么☐也是有效的。 在一个公理化模态系统中，希望有这样一个规则： 如果是一个命题，那么☐也是一个命题。
都不能描述有时间、地点概念的变化。 ……

有些命题是否成立与其所在的时间和场合有关系。例 如：
A：“太阳系有八颗行星。” B：“汽车是一个必备的生活工具。” C：“1＋1＝2”

用模态逻辑来描述这样的时间与场合上的概念。
对于在某些场合成立的命题，规定为“可能真”的。 对于在所有场合都为真的命题，规定为“必然真”的。

18/55
wenshli@
NSK系统构成
NSK系统的构成：语言部分+推理部分 NSK系统语言部分

符号表：{P1,P2,…, ,,□,◇,(,) } 其中：Pi为原子命题，, 为联接词，□,◇为模态词， (,)为技术符号。 项集：空集。 公式集：公式递归定义如下： 1)Pi为公式(i=1,2,3,4,……) 2)如A,B为公式,那么(A),(AB),(□A),(◇A)都是公式 3)除由有限次使用1),2)得到公式外,没有别的东西是公式。 （说明： □,◇的优先级与的相同。 公式中括号的省略规则同前。）

wenshli@
例如：
□(AB)◇(AB), □A◇A◇A □(A1(A2(A3A4)))(□A1□(A2(A3A4))) (□A1(□A2□(A3A4))) (□A1(□A2(□A3□A4)))
20/55
NSK性质
性质1：如果公式A是NSK的定理，那么□A也式NSK的定理； 即如果├NSKA，则├NSK□A。 证明：∵├NSKA ∴ 存在A的证明序列 A1,A2,…,An(=A) 对证明序列的长度 l 归纳证明： 当l =1时，A为公理，根据A4，□A也是公理，├NSK□A成立。 假设l <n时，命题成立。 当l =n时，设An是由Ai和Aj根据分离规则得到的，i,j<n， 不妨设Aj=AiAn 根据归纳假设，有 □(AiAn)和 □Ai 都是定理。 根据公理K，□(AiAn)□Ai□An, 所以，□Ai□An是定理。 根据分离规则有：□Ai□An,□Ai├□An，即├NSK□An成立。 因此，命题成立。
wenshli@
14/55
对模态系统的直观要求（续1）

模态算子不是真值函项。 在任一直观上似乎合理的模态系统中，☐p必定不与 p的任何真值函项等价。 对于p，只有四个性质不同的真值函项： f p f1 f2 f3 f4 p自身 0 0 0 1 1 p的否定 1 0 1 0 1 t
6/55
wenshli@
模态逻辑引入（续2）
模态命题：陈述事物情况的必然性或可能性的命题。 反映人们对客观事物认识的程度。 模态逻辑中，对必然和可能的描述：

可能A：◇A，命题A至少在一个可以实现的场合中成立。 必然A：□A，命题A在所有能够实现的场合中成立。
wenshli@
2/55
1．模态逻辑（Modal Logic）介绍
逻辑的一个分支，研究必然、可能及其相关概念的逻 辑性质。 模态词：表示事物的“势态”、人的“情态”、过程 的“变迁”的词，如“必然、可能”、“应该、允 许”、“知道、认可”、“一贯、偶然”等。 逻辑学中，有狭义模态和广义模态之分。 狭义模态：涉及必然性和偶然性的模态。 从某种观点来看，它们表达的是命题的真假强度，因 此，也称为真值模态。例如：
如：所有实数的平方都是非负的。 -3 是实数。 -3 的平方是非负的。

一阶谓词逻辑利用谓词、函词和量词来解决这样的问 题
x(R(x)P((x))) R(-3 )P((-3 ))
5/55
wenshli@
模态逻辑引入（续1）

命题逻辑和一阶谓词逻辑的不足：
10/55
基本模态概念（续2）

“模态”概念：
“必然性”、 “不可能性”、 “偶然性”、“可能性” 指的是逻辑上的必然性、不可能性、偶然性、可能性。 可以根据它们中的任何一个概念来解释其余三个概念。

“必然”的含义： 无论事物是怎样的、也无论世界是怎样的，这个命题 都不可能不真。
如命题：所有单身汉都是未婚的。 再如命题：没有物体的运动速度比光速更快。
wenshli@
下面所列出的公式是不是有效的？ ☐pp ☐pp ☐ppp ☐ppp
15/55
对模态系统的直观要求（续2）

☐pp 是有效的（尽管☐pp不是有效的）。
‘必然性公理’，简单地表达了必然真为真的原理。 一个类似的原理：真的是可能的。用公式 pp 表达。 这个公式同样被认为是有效的。

wenshli@
可能命题：“至少在一个可能世界中为真”的命题。
例如：“明天不下雨” 、“这个地区有石油”

偶然命题：“在一些可能世界中为真，在另外一些可 能世界中为假”的命题。
比如：“尼克松在1969年成为总统。” 偶然为真 “休伯特· 汉弗莱在1969年成为总统。” 偶然为假
场合与现实之间的关系
程序模块、时间段、地理位置等

在模态逻辑中，称这些不同的场合为可能世界。
8/55
基本模态概念
真命题，区分为必然真的命题和并非必然真的命题 假命题，区分为必然假的命题和并非必然假的命题 必然命题：必然真的命题，也称为必真命题。 不可能是假的命题。 不可能命题：必然假的命题。 可能命题：并非不可能的命题。 可能命题包括所有的真命题（必然命题和并非必然的 命题），即除不可能命题以外的所有命题。 偶然命题：既非必然又非不可能的命题。

wenshli@
9/55
基本模态概念（续1）

真命题：“在实际世界中为真”的命题。
例如：“尼克松在1969年成为总统。”
必然命题：“在所有可能世界中都为真”的命题。
例如： “所有单身汉都是未婚的。”

不可能命题：“不在可能世界中为真”的命题，也称 为“必然假命题”。
例如：张三 和 李四 同时比对方高。
19/55
wenshli@
NSK系统构成（续）

NSK系统推理部分
公理集：包含以下公理模式 A 1 : □ A ◇ A ◇ A □ A A2: □(AB)(□A□B) (公理K) A3：全部重言式 A4：□A (当A为公理)
推理规则模式（分离规则rmp）：AB, A┝ B

A假，可确定命题“必然A”是假的。 A真，可否确定“必然A”的真假？ 不能。A真分为两种情况：A必然真和并非必然真。 对于前者：“必然A”真，对于后者：“必然A”假。

wenshli@
“可能”：一元命题形成算子，不是真值函项算子。
A真，可确定命题“可能A”是真的。 A假，可否确定“可能A”的真假？ 不能。A假分为A必然假和并非必然假。 对于前者，“可能A”假，对于后者，“可能A”真。

wenshli@
“物体间存在着引力是必然的” “火星上可能有人”
3/55
模态逻辑介绍（续）
广义模态：涉及命题本身所具有的非真值函项的种种 性质的模态。 广义模态词：

必然、可能——真理论模态逻辑 应该、允许、禁止——道义论模态逻辑 知道、相信、可接受可疑、可证——认识论模态逻辑 曾经、总是、将是——时序逻辑 一贯、偶然、经验的、有先例的——经验论模态逻辑 优先、中立等——价值论模态逻辑
第 6章
模态逻辑
LI Wensheng, SCST, BUPT
李文生 北京邮电大学 计算机学院 wenshli@ 010-62282929
本章内容
1 2 3 4 5 模态逻辑介绍 模态命题逻辑形式系统 NSK元理论 其他正规系统 模态词的归约
wenshli@

“必然”和“可能”算子称作模态算子。
12/55
基本模态概念（续4）

模态命题演算基于命题演算。 FSPC的公理、定理、推导规则等，在模态系统中仍 然有效，且其解释和以前一样，包括其初始变形规则， 如一致代入规则、分离规则和置换规则等。 模态算子不是真值函项算子。 意味着它们不可能由PC的算子（如、、及它们 的复合）来表示，因为PC的算子都是真值函项算子。 模态命题逻辑是对FSPC进行扩充得到的。 引入新的模态算子，并扩充了公式的种类。
7/55
模态逻辑的实质

命题逻辑和一阶谓词逻辑的扩充
引入了两个模态词(必然/□ 、可能/◇)

场合之间的“可达”关系
场合从目前所处的场合是否可以实现（到达）。 模态词□：表示在当前场合可以达到的场合中都是成立的 模态词◇：表示在当前场合可以达到的场合中，至少有一 个是成立的

wenshli@
21/55
wenshli@
NSK性质（续1）
性质2：设A1、A2、…、An和 A 均为NSK的公式， 如果├NSK(A1(A2(…(AkA))…))， 则├NSK(□A1(□A2(…(□Ak□A))…))成立。 即：设A1,A2,…,An和A均为NSK的公式， 如果├NSKA1A2…AkA， 则├NSK(□A1□A2…□Ak)□A成立。

wenshli@
比如：
“子女赡养父母是应该的” “宇宙间存在着黑洞是可信的”
4/55
模态逻辑引入

逻辑系统的发展
命题逻辑 一阶谓词逻辑，扩充命题逻辑系统的描述能力。 模态逻辑，扩充一阶谓词逻辑和命题逻辑的描述能力。

命题逻辑的不足：原子命题不能细化，不能完全描述 现实世界中的问题。
16/55
wenshli@
模态逻辑的简单(语义)性质

直觉上的语义关系
□A ◇ A ◇A □ A □(AA) ◇A ◇ A (◇A和◇A可能同时成立 ） (□A□A) (□A和□A不可能同时成立) □AA A ◇A □A◇A □(AB) □A□B □A□B □(AB) ◇(AB) ◇A◇B ◇(AB) ◇A◇B
wenshli@

“命题P是必然真的” 等价于 “P是假的是不可能 的”。 “P是可能真的” 等价于 “P是假的不是必然为真
11/55
基本模态概念（续3）
由命题A可以形成命题：A是必然的，表述为：必然A。 当A是必然命题时，“必然A”为真；否则为假。 “必然”：一元命题形成算子，不是真值函项算子。