高级数理逻辑课件CH06--模态逻辑形式系统
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□(AB)(□A□B) 如何理解:□◇□A、◇□◇□A、◇□◇□□A、 ◇□◇◇□A、……
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2.模态命题逻辑形式系统
模态命题演算是现代模态逻辑的基本内容之一。 是应用数理逻辑的方法研究模态命题逻辑的结果。 模态逻辑形式系统与FSPC类似。 模态逻辑形式系统根据对模态词的不同的解释形成不 同的形式系统,称为正规系统(Normal System)。 NSK 是最简单的正规系统。 NSKD NSKT NSKB NSK4 NSK5
增加“必然”算子☐/L、 “可能”算子/M 并允许它们把任何公式作为自变元。如: ☐(pq)(意思是:“必然 p或q”) ☐pq (意思是: “必然p 或 q”)
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对模态系统的直观要求
如果☐和被解释为必然性和可能性算子,则下面的 等价式应该是有效的: ☐pp,p☐p 包含这些等价式的系统无须将☐和都作为初始符 号: 将☐作为初始符号,并定义 =☐ 这样的系统称为☐-基系统。 将作为初始符号,并定义 ☐= 这样的系统称为-基系统。
任何一个具有有效公式形式的命题不仅是真的,而且 是必然真的。 即:如果是一个有效的公式,那么不仅具有形式的 每个命题都是真的,而且具有形式☐的每个命题也 都是真的,而且,☐ 也是有效的。 因此,希望在一个模态逻辑中得到这样一个定理: 如果是有效的,那么☐也是有效的。 在一个公理化模态系统中,希望有这样一个规则: 如果是一个命题,那么☐也是一个命题。
都不能描述有时间、地点概念的变化。 ……
有些命题是否成立与其所在的时间和场合有关系。例 如:
A:“太阳系有八颗行星。” B:“汽车是一个必备的生活工具。” C:“1+1=2”
用模态逻辑来描述这样的时间与场合上的概念。
对于在某些场合成立的命题,规定为“可能真”的。 对于在所有场合都为真的命题,规定为“必然真”的。
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NSK系统构成
NSK系统的构成:语言部分+推理部分 NSK系统语言部分
符号表:{P1,P2,…, ,,□,◇,(,) } 其中:Pi为原子命题,, 为联接词,□,◇为模态词, (,)为技术符号。 项集:空集。 公式集:公式递归定义如下: 1)Pi为公式(i=1,2,3,4,……) 2)如A,B为公式,那么(A),(AB),(□A),(◇A)都是公式 3)除由有限次使用1),2)得到公式外,没有别的东西是公式。 (说明: □,◇的优先级与的相同。 公式中括号的省略规则同前。)
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例如:
□(AB)◇(AB), □A◇A◇A □(A1(A2(A3A4)))(□A1□(A2(A3A4))) (□A1(□A2□(A3A4))) (□A1(□A2(□A3□A4)))
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NSK性质
性质1:如果公式A是NSK的定理,那么□A也式NSK的定理; 即如果├NSKA,则├NSK□A。 证明:∵├NSKA ∴ 存在A的证明序列 A1,A2,…,An(=A) 对证明序列的长度 l 归纳证明: 当l =1时,A为公理,根据A4,□A也是公理,├NSK□A成立。 假设l <n时,命题成立。 当l =n时,设An是由Ai和Aj根据分离规则得到的,i,j<n, 不妨设Aj=AiAn 根据归纳假设,有 □(AiAn)和 □Ai 都是定理。 根据公理K,□(AiAn)□Ai□An, 所以,□Ai□An是定理。 根据分离规则有:□Ai□An,□Ai├□An,即├NSK□An成立。 因此,命题成立。
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对模态系统的直观要求(续1)
模态算子不是真值函项。 在任一直观上似乎合理的模态系统中,☐p必定不与 p的任何真值函项等价。 对于p,只有四个性质不同的真值函项: f p f1 f2 f3 f4 p自身 0 0 0 1 1 p的否定 1 0 1 0 1 t
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模态逻辑引入(续2)
模态命题:陈述事物情况的必然性或可能性的命题。 反映人们对客观事物认识的程度。 模态逻辑中,对必然和可能的描述:
可能A:◇A,命题A至少在一个可以实现的场合中成立。 必然A:□A,命题A在所有能够实现的场合中成立。
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1.模态逻辑(Modal Logic)介绍
逻辑的一个分支,研究必然、可能及其相关概念的逻 辑性质。 模态词:表示事物的“势态”、人的“情态”、过程 的“变迁”的词,如“必然、可能”、“应该、允 许”、“知道、认可”、“一贯、偶然”等。 逻辑学中,有狭义模态和广义模态之分。 狭义模态:涉及必然性和偶然性的模态。 从某种观点来看,它们表达的是命题的真假强度,因 此,也称为真值模态。例如:
如:所有实数的平方都是非负的。 -3 是实数。 -3 的平方是非负的。
一阶谓词逻辑利用谓词、函词和量词来解决这样的问 题
x(R(x)P((x))) R(-3 )P((-3 ))
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模态逻辑引入(续1)
命题逻辑和一阶谓词逻辑的不足:
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基本模态概念(续2)
“模态”概念:
“必然性”、 “不可能性”、 “偶然性”、“可能性” 指的是逻辑上的必然性、不可能性、偶然性、可能性。 可以根据它们中的任何一个概念来解释其余三个概念。
“必然”的含义: 无论事物是怎样的、也无论世界是怎样的,这个命题 都不可能不真。
如命题:所有单身汉都是未婚的。 再如命题:没有物体的运动速度比光速更快。
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下面所列出的公式是不是有效的? ☐pp ☐pp ☐ppp ☐ppp
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对模态系统的直观要求(续2)
☐pp 是有效的(尽管☐pp不是有效的)。
‘必然性公理’,简单地表达了必然真为真的原理。 一个类似的原理:真的是可能的。用公式 pp 表达。 这个公式同样被认为是有效的。
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可能命题:“至少在一个可能世界中为真”的命题。
例如:“明天不下雨” 、“这个地区有石油”
偶然命题:“在一些可能世界中为真,在另外一些可 能世界中为假”的命题。
比如:“尼克松在1969年成为总统。” 偶然为真 “休伯特· 汉弗莱在1969年成为总统。” 偶然为假
场合与现实之间的关系
程序模块、时间段、地理位置等
在模态逻辑中,称这些不同的场合为可能世界。
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基本模态概念
真命题,区分为必然真的命题和并非必然真的命题 假命题,区分为必然假的命题和并非必然假的命题 必然命题:必然真的命题,也称为必真命题。 不可能是假的命题。 不可能命题:必然假的命题。 可能命题:并非不可能的命题。 可能命题包括所有的真命题(必然命题和并非必然的 命题),即除不可能命题以外的所有命题。 偶然命题:既非必然又非不可能的命题。
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基本模态概念(续1)
真命题:“在实际世界中为真”的命题。
例如:“尼克松在1969年成为总统。”
必然命题:“在所有可能世界中都为真”的命题。
例如: “所有单身汉都是未婚的。”
不可能命题:“不在可能世界中为真”的命题,也称 为“必然假命题”。
例如:张三 和 李四 同时比对方高。
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NSK系统构成(续)
NSK系统推理部分
公理集:包含以下公理模式 A 1 : □ A ◇ A ◇ A □ A A2: □(AB)(□A□B) (公理K) A3:全部重言式 A4:□A (当A为公理)
推理规则模式(分离规则rmp):AB, A┝ B
A假,可确定命题“必然A”是假的。 A真,可否确定“必然A”的真假? 不能。A真分为两种情况:A必然真和并非必然真。 对于前者:“必然A”真,对于后者:“必然A”假。
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“可能”:一元命题形成算子,不是真值函项算子。
A真,可确定命题“可能A”是真的。 A假,可否确定“可能A”的真假? 不能。A假分为A必然假和并非必然假。 对于前者,“可能A”假,对于后者,“可能A”真。
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“物体间存在着引力是必然的” “火星上可能有人”
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模态逻辑介绍(续)
广义模态:涉及命题本身所具有的非真值函项的种种 性质的模态。 广义模态词:
必然、可能——真理论模态逻辑 应该、允许、禁止——道义论模态逻辑 知道、相信、可接受可疑、可证——认识论模态逻辑 曾经、总是、将是——时序逻辑 一贯、偶然、经验的、有先例的——经验论模态逻辑 优先、中立等——价值论模态逻辑
第 6章
模态逻辑
LI Wensheng, SCST, BUPT
李文生 北京邮电大学 计算机学院 wenshli@ 010-62282929
本章内容
1 2 3 4 5 模态逻辑介绍 模态命题逻辑形式系统 NSK元理论 其他正规系统 模态词的归约
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“必然”和“可能”算子称作模态算子。
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基本模态概念(续4)
模态命题演算基于命题演算。 FSPC的公理、定理、推导规则等,在模态系统中仍 然有效,且其解释和以前一样,包括其初始变形规则, 如一致代入规则、分离规则和置换规则等。 模态算子不是真值函项算子。 意味着它们不可能由PC的算子(如、、及它们 的复合)来表示,因为PC的算子都是真值函项算子。 模态命题逻辑是对FSPC进行扩充得到的。 引入新的模态算子,并扩充了公式的种类。
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模态逻辑的实质
命题逻辑和一阶谓词逻辑的扩充
引入了两个模态词(必然/□ 、可能/◇)
场合之间的“可达”关系
场合从目前所处的场合是否可以实现(到达)。 模态词□:表示在当前场合可以达到的场合中都是成立的 模态词◇:表示在当前场合可以达到的场合中,至少有一 个是成立的
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NSK性质(续1)
性质2:设A1、A2、…、An和 A 均为NSK的公式, 如果├NSK(A1(A2(…(AkA))…)), 则├NSK(□A1(□A2(…(□Ak□A))…))成立。 即:设A1,A2,…,An和A均为NSK的公式, 如果├NSKA1A2…AkA, 则├NSK(□A1□A2…□Ak)□A成立。
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比如:
“子女赡养父母是应该的” “宇宙间存在着黑洞是可信的”
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模态逻辑引入
逻辑系统的发展
命题逻辑 一阶谓词逻辑,扩充命题逻辑系统的描述能力。 模态逻辑,扩充一阶谓词逻辑和命题逻辑的描述能力。
命题逻辑的不足:原子命题不能细化,不能完全描述 现实世界中的问题。
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模态逻辑的简单(语义)性质
直觉上的语义关系
□A ◇ A ◇A □ A □(AA) ◇A ◇ A (◇A和◇A可能同时成立 ) (□A□A) (□A和□A不可能同时成立) □AA A ◇A □A◇A □(AB) □A□B □A□B □(AB) ◇(AB) ◇A◇B ◇(AB) ◇A◇B
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“命题P是必然真的” 等价于 “P是假的是不可能 的”。 “P是可能真的” 等价于 “P是假的不是必然为真
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基本模态概念(续3)
由命题A可以形成命题:A是必然的,表述为:必然A。 当A是必然命题时,“必然A”为真;否则为假。 “必然”:一元命题形成算子,不是真值函项算子。