《等差数列的定义及通项公式》课件

2．(1)鞋的尺码，按照国家统一规定，有 22,22.5,23,23.5,24,24.5，…； (2)某月星期日的日期为2,9,16,23,30； (3)一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度(单位：cm)，为 89,83,77,71,65,59,53,47. 上面几个数列有什么共同的特点？
1．等差数列的定义 如果一个数列从第 二 项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个 常数 叫做 等差数列的公差，通常用字母d表示． 2．等差数列的递推公式与通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，填表： 递推公式 an－an－1 ＝d(n≥2) an＝ 通项公式 a1＋(n－1)d .
[题后感悟] 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基
本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不
明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注 意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
1.在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1和d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9； (3)已知a1＝1，d＝3，an＝2 005，求n.
解析： an＝23＋(n－1)d 23＋5d>0 a6>0 ∵ ，∴23＋6d<0 a7<0 d∈Z 23 23 <d<－ 6 ∴ 5 d∈Z ∴d＝－4.
答案： －4
4．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求a10.
解析： 方法一：设数列{an}的公差为 d，
2．已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和 n的等差中项是( )
A．2
C．6
B．3
D．9
解析： 依题意m＋2n＝8,2m＋n＝10. 故3m＋3n＝18，即m＋n＝6. 答案： B
3．已知等差数列{an}，a1＝23，公差d∈Z，如果a7是该数 列各项中第一个负数项，则d＝________.
在等差数列{an}中， (1)已知 a1＝6，d＝3，求 a8； (2)已知 a4＝10，a10＝4，求 a7 和 d； (3)已知 a2＝12，an＝－20，d＝－2，求 n； 1 (4)已知 a7＝2，d＝－2，求 a1.
利用等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d， an＝am＋(n－m)d及其变形公式求解．
(3)∵an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝2 005，
∴n＝669.
已知数列{an}满足 a1＝4，an＝4－ (n>1)，记 bn an－1 1 ＝ . an－2 (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式．
4
由题目可获取以下主要信息：
①bn与an的关系，an与an－1的关系；
1 1 1 (2)由(1)知，bn＝ ＋(n－1)× ＝ n，8 分 2 2 2 1 1 2 ∵bn＝ ，∴an＝b ＋2＝n＋2.12 分 an－2 n
2.2 等差数列
第1课时
等差数列的定义及通项公式
1.理解等差数列的概念． 2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并 能运用.
1.对等差数列的概念，等差中项的考查是本课的热点． 2.本课内容常与函数，不等式结合命题．
3.多以选择题和填空题的形式考查.
1．汉朝的天文著作《周髀算经》中有一记载：在平地 上立八尺高的周髀(即表竿)，日中测影，在二十四节气中： 1 冬至影长 1 丈 3 尺 5 寸，以后每一节气影长递减 9 寸 9 分； 6 夏至影长最短，仅长 1 尺 6 寸，以后每一节气影长递增 9 寸 1 96分．如果把这些影长记录下来就构成一个数列． 该数列有什么规律呢？
a1＋4d＝11 由题意知 a1＋7d＝5 a1＝19 ，解得 d＝－2
，
故 an＝1wenku.baidu.com＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21. ∴a10＝－2×10＋21＝1.
方法二：∵an＝am＋(n－m)d， an－am ∴d＝ ， n－m a8－a5 5－11 ∴d＝ ＝ 3 ＝－2， 8－5 a10＝a8＋2d＝5＋2×(－2)＝1.
[解题过程]
(1)∵a1＝6，d＝3，∴an＝6＋3(n－1)＝3n＋3.
∴a8＝3×8＋3＝27. a10－a4 －6 (2)∵a4＝10，a10＝4，∴d＝ ＝ 6 ＝－1， 10－4 ∴an＝a4＋(n－4)×(－1)＝－n＋14， ∴a7＝－7＋14＝7. (3)∵a2＝12，d＝－2，∴a1＝a2－d＝12－(－2)＝14， ∴an＝14－2(n－1)＝16－2n＝－20，∴n＝18. 1 25 (4)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝ ，∴a1＝ . 2 2
解析：
a1＋5－1d＝－1 (1)由题意知： a1＋8－1d＝2
，
a1＝－5 解得 d＝1
.
a1＋a6＝2a1＋5d＝12 (2)由题意知： a4＝a1＋3d＝7 a1＝1 解得 d＝2
，
.
∴a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17.
②若bn＋1－bn为常数，则{bn}是等差数列．
解答本题可运用整体代换法判断．
[规范作答]
1 1 (1)证明：∵bn＋1－bn＝ － an＋1－2 an－2
1 1 an 1 ＝ － ＝ － 4 an－2 2an－2 an－2 4－ －2 an an－2 1 ＝ ＝2，4 分 2an－2 1 1 又∵b1＝ ＝ ， a1－2 2 1 1 ∴数列{bn}是首项为2，公差为2的等差数列.6 分
3.等差中项
在由三个数a，A，b组成的等差数列中， A 叫做a与b的等 差中项．这三个数满足关系式a＋b＝ 2A .
1 ．已知等差数列 11,13,15 ， … ，那么数列的第 1 000 项为 ( ) A．2 007 C．2 009 B．2 008 D．2 011
解析： a1＝11，d＝2，∴an＝11＋(n－1)×2＝2n＋9， a1 000＝2×1 000＋9＝2 009，故选C. 答案： C