计量经济学基础-序列相关

(
k
2 v
)
(1 2 )
k
2 v
(1 2 )
2 v
(1 2 )
为随机误差项的k阶自相关系数。
下面讨论一阶自相关检验
H0 : 0, H1 : 0
先用OLS估计得出残差：
et yt ˆ0 ˆ1 x1t ˆ2 x2t L ˆk xkt
根据et，Durbin和Watson构造了如下统计量：
k
2 v
2 v
1 2
由于现期的vt并不影响回归模型中随机误差项以前的各期值
t
，故
k
vt与 tk 不相关，即cov(vt , tk ) 0 ，因此可得 t 与前期各 tk 的协
方差：
cov( t , t1 )
cov( t1
vt , t1 )
D( t1)
2 v
1 2
cov( t , t2 ) cov( t1 vt , t2 )
无决定区
拒绝H0
0
dl
拒绝H0
不拒绝H0
du
2 4 du 4 dl
4
H0：无自相关
Durbin—Watson d 统计量
需要指出，尽管Dw检验在实践中应用十分普遍，但是其应用 的限制条件和局限性却不应被忽视。由上述内容可知，应用Dw检 验时应注意以下几点：
第一，Dw检验只适用于检验一阶自回归形式的序列相关，而 并不适用于检验高阶自回归形式或其它形式的序列相关。
再如：建立一个消费模型 Ct 0 1It t
其中C为总消费，I为总收入 此模型中将消费习惯等变量放入随机误差项之中，但消费习惯 等因素也往往具有连续性，不同样本点之间的数据中，这种习惯对 消费量的影响存在内在联系，从而导致序列相关。
第二节、序列相关的后果
1、当存在序列相关时，而采用OLS估计得到的参数估计量仍然是 无偏的，且是一致估计，但不具有有效性。因为在有效性的证明过
( X T1 X )1 X T1Y
此估计量是BLUE。
【注】 的估计：
一般，记 e%i yi yˆi
则 的估计矩阵为
ˆ
e%12 e%2e%1
e%1e%2 e%22
L L
L L L
e%ne%1
e%ne%2
L
ee%%12ee%%nn
L
e%n2
第五节、差分法
1、一阶差分法 设模型
yi 0 1 x1i 2 x2i L k xki i
1.建立并估计消费品的支出对货币收入的线性回归方程。
2.若下一年度居民货币收入为 28.5 亿元，预测购买消费品
支出的金额。
第3章
主要内容
序列相关
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
序列相关性 序列相关的后果 序列相关的检验 广义最小二乘法 差分法
第一节 序列相关性
对于模型
yi 0 1 x1i 2 x2i L k xki i , i 1, 2,L n
Qt
t1
vt , t1
t2
vt
,L
L
t vt vt1 2vt2L L kvtk
k0
表明随机误差项 t 可表示为独立同分布的随机误差序列vt，vt-1， vt-2，…的加权和。
E( t ) k E(vtk ) 0 k0
D(t )
(k
k0
)2
D(vt k
)
k0
2
i 1i1 2 i2 L l il vi , (1)
i l 1,l 2,L ,n
注意到：原模型为：
yi 0 1 x1i 2 x2i L k xki i
两边同乘 1 两边同乘 2
yi1 0 1 x1i1 2 x2i1 L k xki1 i1 yi2 0 1 x1i2 2 x2i2 L k xki2 i2
2
2
1
L L
n1 n2
1
2 v
2
设 DDT
经计算得
2 L L
1L LL
n3 L
n1
n2
n3
L 1
1 2
D1
0
L
0 0
0 0L 1 0L
1 L
L LL 0 0L 0 0L
0 0
0 0
0
0
L L
1
0 1
用D-1左乘 Y X ，得
D1Y D1 X D1
两边同乘 l
由此得：
yil 0 1 x1il 2 x2il L k xkil il
yi 1 yi1 L l yil 0(1 1 L l ) 1( x1i 1 x1i1 L l x1il )
(2)
2 ( x2i 1 x2i1 L l x2il )
L L L
cov( t1, t2 )
2 D( t2 )
2
2 v
1 2
cov( t , tk )
cov( t1
vt , tk )
k D( tk )
k
2 v
1 2
这些协方差分别称为的一阶自协方差，二阶自协方差，……，
k阶自协方差。
由此可得 t与前期 tk 的相关系数；
rk
cov( t , tk ) D( t ) D( tk )
yi yi yi1, x ji x ji x ji1
yi 1x1i 2x2i L kxki i i1
如果原模型存在一阶正相关 i i1 ui
ui不存在序列相关
则（2）满足OLS的模型假设，对（2）作最小二乘估计得到的估计
量是BLUE。
2、广义差分法 广义差分法是假定随机误差项存在：
程中用到了D( ) E( T ) 2I ，即同方差和不相关的假设。
2、变量的显著性检验失去意义
3、模型的预测失去意义
第三节、序列相关的检验
1、一阶自相关的D·W检验
一阶自相关可描述为：
t t1 vt
1
其中 t 为现期误差，t1 为前期误差，而vt是具有零均值和常数
方差的且无序列相关的正态随机误差。一般假设：
E( * *T ) E[(D1 )(D1 )T ] D1E( T )(D1 )T
2D1(D1 )T 2D1(DDT )(D1 )T 2I
由此新模型具有同方差性和不相关性，而用OLS法得到的参数估计 量
ˆ ( X *T X * )1 X *TY *
( X T (D1 )T D1 X )1 X T (D1 )T D1Y
即
Y* X* *
Q E( * *T ) E(D1 T (D1 )T )
D1E( T )(D1 )T
D1
1wk.baidu.com
2 v
2
( D1 )T
2 v
1 2
D1DDT ( D1 )T
2 v
1 2
I
所以新模型具有同方差性和随机误差项的不相关性
于是对新的模型用OLS法，得到参数估计量
ˆ ( X *T X * )1 X *TY * ( X T (D1 )T D1 X )1 X T (D1 )T D1Y ( X T1 X )1 X T1Y
第二，Dw检验要求模型中包含常数项且解释变量中不含有滞 后因变量。若模型中不含常数项或解释变量中有滞后因变量，则 Dw检验将会失效。
第三，Dw检验中存在不能判定的区域。倘若Dw统计量的值 落入不能判定区域，则可通过增加样本容量以缩小此区域，从而 达到能做出接受或拒绝原假设的目的。
第四节、序列相关情形下的广义最小二乘法
经典回归分析的一个基本假设是模型的随机误差项之间互不
相关，即
cov(i , j ) 0, i j
如果出现 cov(i , j ) 0, (i j) ，即不同的样本点的随机误差项
之间不再是完全相互独立，而是存在某种相关性，则认为出现了序
列相关。
【注】由于E(i ) 0 ，则序列相关表现为E( i j ) 0, i j，又如果 仅存在 E(ii1 ) 0, i 1, 2,L n 1 ，则称为一阶序列相关或自相关
可以证明 ˆ 是BLUE。
2、一般情形
对于模型
Y X
如果存在序列相关，同时存在异方差，即有
E( ) 0
w11 w12 L
D(
T
)
E(
T
)
2
w21
w22
L
L L L
wn1
wn2
L
设 DDT ，用D-1左乘原模型，得
w1n
w2n
2
L
wnn
D1Y D1 X D1
Y* X* *
n
(et et1 )2
d t2 n
et2
t 1
称为D·W统计量。
记
e (e1,e2 ,L ,en )T
1 1 0 L
1
2
1 L
0 1 2 L
A
L
L
L
L
0 0 0 L
0
0
0L
0 0
0
0
0 0
L
L
2 1
1
1
则D·W统计量可表示为
d
eT Ae eT e
当样本容量较大时，有：
n
k ( xki 1 xki1 L l xkil ) vi
此模型叫做广义差分模型。 该模型不存在序列相关问题，可以采用OLS法。
本章结束
（GLS）
如果模型被检验存在序列相关，则需要用新的方法来估计模型
的参数，常用的方法是广义最小二乘法（GLS）法。
设模型：
Y X
1、一阶自相关的情况
Q (1, 2 ,L n )T
D(
)
E(
T
)
E
2 1
21
1 2
2 2
L L
L L L
n
1
n 2
L
1 2
n n
L
2 n
1
1
2 v
计量经济学基础
[习题]
某市居民货币收入 X 与他们购买消费品的支出 Y 的 10
年样本数据如下： 年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X（亿元） 10.7 11.8 12.3 14.7 15.4 17.6 19.1 21.9 25.4 15.8 Y（亿元） 9.2 10.1 11.2 13.3 14.1 16.6 18.2 20.1 23.2 14.6
d (et et1 )2 t2
n
et2
t 1
n
n
n
( et2
e2 t 1
2
etet1 )
t2
t2
t2
n
etet1
2 1
t2 n
et2
t 1
n
et2
t 1
用OLS估计残差 t 的一阶自相关系数作为的一阶自相关系数的
估计量
n
etet1
ˆ
t2 n
et2
t 1
从而对大样本而言，D·W统计量可近似地表示为：d 2(1 ˆ )
【注】产生序列相关的原因
在实际问题中，对于时间序列资料，由于经济发展的惯性等原 因，经济变量的前期水平往往会影响其后期水平，从而造成模型前 后期随机误差项的互相关。
如在建立生产函数模型
Qt f (Kt , Lt ,Tt ) t
Kt，Lt，Tt为t期的资本，劳动和技术，而政策变量没有包含其中， 但是它对Qt是有影响的。由于政策有一定的连续性，它对产出的影 响在不同的样本点当然具有内在的联系，这就容易导致序列相关。
Q 1 ˆ 1, 0 d 4
1．当 ˆ 0 时，有d=2，因此当d的值约为2时，便认为没有一阶
自相关
2．当 ˆ 1 时，有d=0，因此当d的值约为0时，便认为存在一阶正
自相关
3．当 ˆ 1 时，有d=4，因此当d的值约为4时，便认为存在一阶
负自相关 。
检验规则如下：
首先计算统计量d(或者近似值)，然后根据样本容量n及k查D·W 表得到临界值dl和du （1）若0<d<dl，拒绝H0，认为存在正自相关 （2）若dl<d<du，不能确定是否存在自相关 （3）弱du<d<4-du，接受H0，认为不存在自相关 （4）若4-du<d<4-dl，不能确定是否存在自相关 （5）若4- dl<d<4，拒绝，认为存在负自相关