警力的分布问题(知识材料)

警力的分布问题

摘要：为防止学校附近的突发事件，现在学校附近安排执勤点。为合理的安排警员，确保学生安全，建立以下模型：

针对问题一：求最少人员问题，根据图论思想，构造赋权图(),,G V E W = ，再利用Floyd 算法，求得任意两点间的最短距离。对于距离所有类学校及第二类学校分别满足小于200米和400米条件的标志点，引进0—1变量，建立优化模型，并利用Lingo 软件求得最少人数为20。

针对问题二：在问题一的基础上，根据Floyd 算法，获取任意两个标志点间的最短距离，并利用0—1变量建立优化模型，求得学校相应执勤点的位置为：()111122222222333,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B I S W Y F K N S B D G I N P R X B J P 。

针对问题三：执勤点可设在道路上任意一点，我们根据学校间的最短距离矩阵筛选出三类路径：（1）两学校间最短距离小于400米的路径（2）第一类学校与第二类学校间最短距离小于600米的路径（3）两个第二类学校间最短距离小于800米的路径，在满足题设条件下，得到最优人数仍为20，但执勤点的位置相对灵活。

关键字：警员配置，最短路径，图论, Floyd 算法

1 问题的重述

福建省南平市实验小学多名学生在校门口被犯罪分子砍杀，该恶性伤害事件引起了市委、市政府领导的高度重视，立即对市公安局、教育局、行政执法局等有关部门和单位召开加强校园周边特殊时段安全防范工作紧急会议，研究确定了在学校及其周边道路上设执勤点。我们研究一下问题：

（1） 如何配置警员，使总人数最少；

（2） 再问题一的基础上如何合理的安排执勤点位置；

（3） 若执勤点布置不限定在标志点，而是限定在道路上，重新配置警员并安排

执勤点位置，使总人数最少。

2 问题的分析

在现实生活中，经常会遇到优化问题，即寻求最优方案，使人员配置最优。对于本题，我们依次针对具体问题进行分析。

针对问题一：求最少警员的配置问题，属于优化问题，即从若干可能的安排或方案中寻求某种意义下的最优安排或方案。对于本问题，即寻求一种方案，当险情发生时，可以有警员在一分钟之内到达各类学校，对于第二类学校，可以在两分钟内有第二名警员到达，并且使警员总人数最少。为使目标最优化，可以根据各标志点的坐标，计算各标志点间的距离，分别找出距离第一类学校不超过200米的标志点，距离第二类学校不超过400米的标志点，求出到各个学校最短路径的标志点，从而在满足条件的基础上得到最少配置人员。

针对问题二：在问题一的基础上选择合适的标志点作为执勤位置，使在配置警员最小的情况下，可以对险情作出迅速反应，并及时处理。

针对问题三：把执勤点扩展到道路上，并非限定在标志点上，增加了执勤地点的灵活性，在处理模型时减少执勤点必须安排在标志点的限制，在此基础上重新分配警员，使能及时应对险情的情况下达到总人数最少，使得模型进一步优化。

3 条件的假设与符号的约定

3.1 条件假设

（1） 警员接到报警后可以快速反应以预定速度赶到现场，无任何交通阻塞现象；

（2） 各标志点的设置都十分合理，所给的坐标数据准确无误；

（3） 题目中根据学校人数划分的两类学校的方法很合理；

（4） 任意两种案件不可能在同一时间内发生。

3.2 符号的约定

ij a ：i v 到j v 的最短距离，1,

,95,1,,95i j ==； ij d ：i v 到j v 的距离，1,,95,1,,95i j ==；

ij e ：学校i u 到j u 的距离，,1,,19i j =；

i f ：表示第一类学校的标志点，1,

,13i =； i g ：表示第二类学校的标志点，1,

,6i =； ij p ：表示学校i u 到j u 的距离，,1,,19i j =；

ij q :表示第一类学校i f 到第二类学校j g 的距离,1,

,13,1,,6i j == ； ij r :表示第二类学校i f 到第二类学校j g 的距离，1,,6,1,,6i j ==；

i u :表示学校所在的标志点，1,

,19i =； i v ：各标志点的位置，1,,95i =；

ij w ：i v 到j v 的直达距离，若i v 到j v 不直达，则ij w 为∞，,1,

,95i j =。 4 模型的建立与求解

4.1 数据的处理

（1） 为保证建模的质量与系统分析的正确性，对原始数据必须进行预处理。根据两

点间的距离公式

:

d =（1）

把标志点的坐标转化为各标志点间的距离，形成矩阵()

9595ij D d ⨯=。 （2） 根据人数对学校的分类：

4.2 模型的建立

（1） 模型一

建立赋权图(),,G V E W =，其中{}1295,,

,V v v v =，邻接矩阵 1111(9595)

n m mn w w W w w ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 其中ij w 表示标志点i v 到j v 的直达距离，若不直达则ij w 为∞。

利用Floyd 算法，求得任意两标志点间的最短距离矩阵

1111

9595n m mn a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭