多元函数极值的充分条件
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多元函数极值的充分条件
马丽君
（集宁师范学院 数学系）
我们知道，一元函数()y f x =在点0x x =取得极值的充分条件是：函数()f x 在点0x 处具有一阶二阶连续导数，0x 是()f x 驻点，即0()0f x '=。若
0()0(0)f x ''><，则0x 为()f x 的极小值点（或极大值
点）
对于多元函数()
Y f X =，其中
12(,,,)n X x x x =，有与上面一元函数取得极值的充
分条件相对应的结论。
定义 1.设n 元函数()Y f X =，其中
12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则称1
2,,,T
n f f
f x x x ⎛⎫
∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭
为()f X 的梯度，记作gradf 。
引理 设n 元函数()f X ，其中
12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，
则()f X 在点00
0012(,,
,)n X x x x =取得极值的必要
条件
是
：
0112
(),,
,
0T
n n X X f f
f gradf X x x x ⨯=⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭
证明：引理成立是显然的，即极值点函数可导，则该点的偏导数等于零。
定义 2.设n 元函数()f X ，对各自变量具有二阶
连续偏导数，00
0012(,,
,)n X x x x =是()f X 的驻点，
现定义
()f X 在点0X 处的矩阵为：
2220002
112122220002021
22222
0002
1
2
()
()()()()
()()()()()f N n n n f X f X f X X X X X X f X f X f X H X X X X X X f X f X f X X X X X X ⎧⎫
∂∂∂⎪⎪
∂∂∂∂∂⎪
⎪⎪⎪
∂∂∂⎪
⎪
=∂∂∂∂∂⎨⎬
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
∂∂∂⎪
⎪∂∂∂∂∂⎩⎭
由
于
各
二
阶
偏
导
数
连
续
，
即
22(,1,2,,)i j j i
f f
i j n x x x x ∂∂==∂∂∂∂，
所以0()f H X 为实对称矩阵。
定理 设n 元函数()f X ，其中
12(,,,)n X x x x =，具有对各自变量的二阶连续偏导
数，00
0012(,,
,)n X x x x =是()f X 的驻点，则 （1） 当
0()
f H X 正
定
时
，
000012(,,
,)n X x x x =是()f X 的极小值
点；
（2） 当
0()
f H X 负定时，
000012(,,
,)n X x x x =是()f X 的极大值
点；
（3） 当
0()
f H X 不定时，
000012(,,
,)n X x x x =不是()f X 的极大
值点
证明：由()f X 在点0X 处的泰勒公式
00000112212
2200200000
1111222
112
2
000111220000221122
212()()()()()()()()()1()[()()()]2()()()()()()()(n n n n n n
f X f X f X f X X X X X X X f X f X f X X X X X X X X X X X X X f X X X X X X X f X f X X X X X X X X X X ∂∂=+-+-∂∂∂∂∂++-+-+--∂∂∂∂∂+
+--∂∂∂∂+--+-∂∂∂()02220002222000111
200022220202
121212
0)()()()()()()()()()()()]()()1
()2
n n n n n n n n n n n n n
T n n n n f n f X X X X X X X f X X X X X X X f X X X X X X X f X X X R X x x f X gradf X x x x x x x H X x ∂++--∂∂∂+
+--∂∂∂+--∂∂∂+
+-+∂∆⎡⎤⎢⎥∆⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦∆⎡⎤⎢∆⎢+
∆∆∆⎢⎢∆⎣n
R ⎥
⎥+⎥⎥⎦
是 其中0
(1,2,,)i i i X X X i n ∆=-=，n R 比X ∆高阶的无穷小
对于驻点0X ，由引理结果01()0n gradf X ⨯=，则上述泰勒展开式又可写为：
()1201201
()()()2
n f n
n x x f X f X x x x H X R x ∆⎡⎤⎢⎥
∆⎢⎥-=
∆∆∆+⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦
由此可见，当0()f H X 正定时，在点0X 的某去心邻域内就有0()()0f X f X ->， 即0()()f X f X >。
故00
0012(,,
,)n X x x x =为()f X 的极小值点。同
理可知：当
0()f H X 负定时，000
012(,,,)n X x x x =为的极大值点：对0()f H X 不定时情况，本文不再详细讨论。