人教数学旋转的专项培优练习题(含答案)及详细答案

为 4，则 PN 的最大值为 2，然后可确定△ PMN 的周长的最大值．
详解：（1）如图 1．
∵ △ ABC 为等边三角形，∴ AB=AC，∠ ABC=∠ ACB=60°．
∵ AD=AE，∴ BD=CE．
∵ 点 M、N、P 分别是 BE、CD、BC 的中点，
∴ PM∥ CE，PM= 1 CE，PN∥ AD，PN= 1 BD，
∴ ∠ MPN=60°，∴ △ PMN 为等边三角形．
（3）∵ PN= 1 BD，∴ 当 BD 的值最大时，PN 的值最大． 2
∵ AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点 B、A、D 共线时取等号） ∴ BD 的最大值为 1+3=4，∴ PN 的最大值为 2，∴ △ PMN 的周长的最大值为 6．
m 即可解决问题；
（3）如图③中，当点 D 在线段 BK 上时，△ DEK 的面积最小，当点 D 在 BA 的延长线上
时，△ D′E′K 的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；
【详解】
（1）如图①中，
∵ A（5，0），B（0，3），
∴ OA=5，OB=3， ∵ 四边形 AOBC 是矩形， ∴ AC=OB=3，OA=BC=5，∠ OBC=∠ C=90°， ∵ 矩形 ADEF 是由矩形 AOBC 旋转得到， ∴ AD=AO=5，
【答案】（1）证明见解析；（2）△ PDQ 是等腰直角三角形；理由见解析（3）成立；理 由见解析. 【解析】 试题分析：（1）由正方形的性质得出 AB=BC=CD=AD，∠ B=∠ ADF=90°， ∠ BCA=∠ DCA=45°，由 BE=DF，得出 CE=CF，△ CEF 是等腰直角三角形，即可得出结论； （2）由直角三角形斜边上的中线的性质得出 PD= AF，PQ= AF，得出 PD=PQ，再证明 ∠ DPQ=90°，即可得出结论；
∴
17
m=
，
5
∴ BH= 17 ， 5
∴ H（ 17 ，3）． 5
（3）如图③中，当点 D 在线段 BK 上时，△ DEK 的面积最小，最小值= 1 •DE•DK= 1 ×3×
2
2
（5- 34 ）= 30 3 34 ，
2
4
当点 D 在 BA 的延长线上时，△ D′E′K 的面积最大，最大面积= 1 ×D′E′×KD′= 1 ×3×
△ CAE，则 BD=CE，∠ ABD=∠ ACE，与（1）一样可得 PM=PN，∠ BPM=∠ BCE，
∠ CPN=∠ CBD，则计算出∠ BPM+∠ CPN=120°，从而得到∠ MPN=60°，于是可判断△ PMN 为
等边三角形．
（3）利用 AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点 B、A、D 共线时取等号）得到 BD 的最大值
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系中，四边形 AOBC 是矩形，点 O（0，0），点 A（5，0），点 B（0， 3）．以点 A 为中心，顺时针旋转矩形 AOBC，得到矩形 ADEF，点 O，B，C 的对应点分别 为 D，E，F． （1）如图①，当点 D 落在 BC 边上时，求点 D 的坐标； （2）如图②，当点 D 落在线段 BE 上时，AD 与 BC 交于点 H． ①求证△ ADB≌ △ AOB； ②求点 H 的坐标． （3）记 K 为矩形 AOBC 对角线的交点，S 为△ KDE 的面积，求 S 的取值范围（直接写出结 果即可）．
分析：（1）延长 ED 交 AG 于点 H，证明
≌
，根据等量代换证明结论；
（2）根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到
，分两种情况
求出 的度数；
（3）根据正方形的性质分别求出 OA 和 OF 的长，根据旋转变换的性质求出 AF′长的最大值
和此时 的度数．
详解： 如图 1，延长 ED 交 AG 于点 H，
∴ OB＝4 2 ， ∴ OM＝4 2 ﹣x，
∵ OM2+BN2＝MN2．
∴ (4 2 ﹣x)2+x2＝(2x)2， 解得 x＝﹣2 2 +2 6 或﹣2 2 ﹣2 6 (舍弃) ∴ MN＝﹣4 2 +4 6 ．
【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性 质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问 题，属于中考压轴题．
2
2
∴ PM=PN，∠ BPM=∠ BCA=60°，∠ CPN=∠ CBA=60°，
∴ ∠ MPN=60°，∴ △ PMN 为等边三角形；
故答案为等边三角形；
（2）△ PMN 的形状不发生改变，仍然为等边三角形．理由如下：
连接 CE、BD，如图 2．
∵ AB=AC，AE=AD，∠ BAC=∠ DAE=60°，
点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点，
，
，
在
和
中，
，
≌
，
，
，
，
，
即
；
在旋转过程中，
成为直角有两种情况：
Ⅰ 由 增大到 过程中，当 ，
在
中，sin∠ AGO=
，
，
时，
， ，
，
即
；
Ⅱ 由 增大到 过程中，当
同理可求
，
．
综上所述，当 如图 3，
时，
或
时， ．
当旋转到 A、O、 在一条直线上时， 的长最大， 正方形 ABCD 的边长为 1，
（1）观察猜想：图 1 中，△ PMN 的形状是
；
（2）探究证明：把△ ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，△ PMN 的形状是否发生
改变？并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=1，AB=3，请直接写出△ PMN
的周长的最大值．
【答案】(1) 等边三角形；(2) △ PMN 的形状不发生改变，仍然为等边三角形,理由见解析；
(2)继续探究：除(1)外的其他情况，OM2+BN2＝MN2 的结论是否仍然成立？若成立，请证 明；若不成立，请说明理由．
(3)新题编制：若点 B 是 MN 的中点，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出 答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)． 【答案】(1)见解析；(2)结论仍然成立，理由见解析；(3)见解析. 【解析】 【分析】 （1）将△ ANB 绕点 A 顺时针旋转 90°得△ APO，连结 PM，则有 BN=OP．证明 △ APM≌ △ ANM，再利用勾股定理即可解决问题； （2）如图 2 中，当点 M，N 在 OB 的延长线上时结论仍然成立．证明方法类似（1）； （3）如图 3 中，若点 B 是 MN 的中点，求 MN 的长．利用（2）中结论，构建方程即可解 决问题． 【详解】 （1）如图 1 中，将△ ANB 绕点 A 顺时针旋转 90°得△ APO，连结 PM，则有 BN＝OP．
，如图 2． ①在旋转过程中，当∠ 是直角时，求 的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条 直角边所对的锐角为 30 度) ②若正方形 ABCD 的边长为 1，在旋转过程中，求 长的最大值和此时 的度数，直接写 出结果不必说明理由．
【答案】（1）DE⊥AG （2）①当∠ 【解析】
为直角时，α=30°或 150°.②315°
∵ 点 A(0，4)，B(4，4)， ∴ OA＝AB，∠ OAB＝90°， ∵ ∠ NAP＝∠ OAB＝90°，∠ MAN＝45°， ∴ ∠ MAN＝∠ MAP， ∵ MA＝MA，AN＝AP， ∴ △ MAN≌ △ MAP(SAS)． （2）如图 2 中，结论仍然成立． 理由：如图 2 中，将△ ANB 绕点 A 顺时针旋转 90°得△ APO，连结 PM，则有 BN＝OP．
2
2
（5+ 34 ）= 30 3 34 ．
2
4
综上所述， 30 3 34 ≤S≤ 30 3 34 ．
4
4
【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等
知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决
问题．
2．在平面直角坐标系中，已知点 A(0，4)，B(4，4)，点 M，N 是射线 OC 上两动点(OM＜ ON)，且运动过程中始终保持∠ MAN＝45°，小明用几何画板探究其中的线段关系． (1)探究发现：当点 M，N 均在线段 OB 上时(如图 1)，有 OM2+BN2＝MN2． 他的证明思路如下： 第一步：将△ ANB 绕点 A 顺时针旋转 90°得△ APO，连结 PM，则有 BN＝OP． 第二步：证明△ APM≌ △ ANM，得 MP＝MM． 第一步：证明∠ POM＝90°，得 OM2+OP2＝MP2． 最后得到 OM2+BN2＝MN2． 请你完成第二步三角形全等的证明．
3．如图 1，点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点. 分别延长 OD 到点 G，OC 到点 E，使 OG=2OD，OE=2OC，然后以 OG、OE 为邻边作正方形 OEFG，连接 AG，DE． (1)求证：DE⊥AG； (2)正方形 ABCD 固定，将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 角(0°< <360°)得到正方形
在 Rt△ ADC 中，CD= AD2 AC2 =4，
∴ BD=BC-CD=1， ∴ D（1，3）． （2）①如图②中，
由四边形 ADEF 是矩形，得到∠ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱDE=90°，
∵ 点 D 在线段 BE 上，
∴ ∠ ADB=90°，
由（1）可知，AD=AO，又 AB=AB，∠ AOB=90°，
∴ Rt△ ADB≌ Rt△ AOB（HL）．
， ，
， ，
，
，
此时
．
点睛：考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数，旋转变换的性
质的综合应用，有一定的综合性，注意分类讨论的思想.
4．（12 分）如图 1，在等边△ ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AD=AE，连接 BE，
CD，点 M、N、P 分别是 BE、CD、BC 的中点．
∵ ∠ NAP＝∠ OAB＝90°，∠ MAN＝45°， ∴ ∠ MAN＝∠ MAP， ∵ MA＝MA，AN＝AP， ∴ △ MAN≌ △ MAP(SAS)，
∴ MN＝PM， ∵ ∠ ABN＝∠ AOP＝135°，∠ AOB＝45°， ∴ ∠ MOP＝90°， ∴ PM2＝OM2+OP2， ∴ OM2+BN2＝MN2； （3）如图 3 中，若点 B 是 MN 的中点，求 MN 的长． 设 MN＝2x，则 BM＝BN＝x， ∵ OA＝AB＝4，∠ OAB＝90°，
【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（ 17 ，3）；（3） 5
30 3 34 ≤S≤ 30 3 34 ．
4
4
【解析】
【分析】
（1）如图①，在 Rt△ ACD 中求出 CD 即可解决问题；
（2）①根据 HL 证明即可；
②，设 AH=BH=m，则 HC=BC-BH=5-m，在 Rt△ AHC 中，根据 AH2=HC2+AC2，构建方程求出
∴ 把△ ABD 绕点 A 逆时针旋转 60°可得到△ CAE，
∴ BD=CE，∠ ABD=∠ ACE，
与（1）一样可得 PM∥ CE，PM= 1 CE，PN∥ AD，PN= 1 BD，
2
2
∴ PM=PN，∠ BPM=∠ BCE，∠ CPN=∠ CBD，
∴ ∠ BPM+∠ CPN=∠ CBD+∠ CBD=∠ ABC﹣∠ ABD+∠ ACB+∠ ACE=60°+60°=120°，
点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线 段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和三角 形中位线性质． 5．如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC，CD 上，且 BE=DF，点 P 是 AF 的中 点，点 Q 是直线 AC 与 EF 的交点，连接 PQ，PD． （1）求证：AC 垂直平分 EF； （2）试判断△ PDQ 的形状，并加以证明； （3）如图 2，若将△ CEF 绕着点 C 旋转 180°，其余条件不变，则（2）中的结论还成立 吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）6
【解析】
分析：（1）如图 1，先根据等边三角形的性质得到 AB=AC，∠ ABC=∠ ACB=60°，则
BD=CE，再根据三角形中位线性质得 PM∥ CE，PM= 1 CE，PN∥ AD，PN= 1 BD，从而得到
2
2
PM=PN，∠ MPN=60°，从而可判断△ PMN 为等边三角形；
（2）连接 CE、BD，如图 2，先利用旋转的定义，把△ ABD 绕点 A 逆时针旋转 60°可得到
②如图②中，由△ ADB≌ △ AOB，得到∠ BAD=∠ BAO，
又在矩形 AOBC 中，OA∥ BC，
∴ ∠ CBA=∠ OAB，
∴ ∠ BAD=∠ CBA，
∴ BH=AH，设 AH=BH=m，则 HC=BC-BH=5-m，
在 Rt△ AHC 中，∵ AH2=HC2+AC2，
∴ m2=32+（5-m）2，