机械优化设计第二章PPT课件

第三节 无约束优化问题的极值条件
即对
例2-3 求函数f(x1，x2)=x21+x22-4x1-2x2+5的极值。
第四节 凸集、凸函数与凸规划
根据函数极值条件所确定的极小 点x*，是指函数(x)在x*近的一切x 均满足不等式
f(x)＞f(x*) 所以称函数(x)在x*取得局部极小 值，称x*为局部极小点(有时在局 部极小值和局部极小点前还加上 “严格”二字，以区别于满足不 等式(x)≥f(x*)情况)。因此，根据 函数极值条件所确定的极小点只 是反映函数在x*附近的局部性质。
图2-7 下凸的一元函数
一、凸集
图2-8 凸集与非凸集
一、凸集 凸集具有以下性质： 若A是一个凸集，β是一个实数，a是凸集A中的动点，即a∈A，则 集合βA=｛x∶x=βa，a∈A｝还是凸集。当β=2时，如图2-9中的左 图所示。
图2-9 凸集的性质
二、凸函数
函数f(x)，如果在连结其凸集定义域内任意两点x1、x2的线段上，函 数值总小于或等于用f(x1)及f(x2)作线性内插所得的值，那么称f(x)为 凸函数。用数学语言表达为f〔αx1+(1-α)x2〕≤αf(x1)+(1-α)f(x2)(2-8) 其中0≤α≤1 若上两式均去掉等号，则f(x)称作严格凸函数。一元函数f(x)若在〔 a,b〕内为凸函数，其函数图像表现为在曲线上任意两点所连的直线 不会落在曲线弧线以下，如图2-10所示。
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
问答
问题提问与解答
HERE COMES THE QUESTION AND ANSWER SESSION
结束语
感谢参与本课程，也感激大家对我们工作的支 持与积极的参与。课程后会发放课程满意度评 估表，如果对我们课程或者工作有什么建议和
意见，也请写在上边
感谢观看
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
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第六节 不等式约束优化问题的极值条件
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
整体概述
概述一Байду номын сангаас
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概述二
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概述三
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第一节 多元函数的方向导数与梯度
一、方向导数 二、二元函数的梯度 三、多元函数的梯度
一、方向导数
一、方向导数
方向导数与偏导数之间的数量关系，可从下述 推导中求得
图2-1 二维空间中的方向
一、方向导数
图2-10 凸函数的定义
三、凸性条件
四、凸规划
第五节 等式约束优化问题的极值条件
第五节 等式约束优化问题的极值条件
第五节 等式约束优化问题的极值条件
二、 拉格朗日乘子法 拉格朗日乘子法是求解等式约束优化问题的另一种经典方法，它是通过增加变量将等式约 束优化问题变成无约束优化问题。所以又称作升维法。
二、二元函数的梯度
图2-3 梯度方向与等值线的关系
二、二元函数的梯度
三、多元函数的梯度
三、多元函数的梯度
第二节 多元函数的泰勒展开
第二节 多元函数的泰勒展开
例2-2 求二元函数
例2-2 求二元函数
图2-6 示例的函数图像
第三节 无约束优化问题的极值条件
无约束优化问题是使目标函数取得极小值，所谓极值条件就是指目标函数取得极 小值时极值点所应满足的条件。
图2-2 三维空间中的方向
二、二元函数的梯度
二、二元函数的梯度
例2-1 求二元函数f(x1，x2)=x21+x22-4x1-2x2+5在x0=〔0,0〕T处函数变化率最 大的方向和数值。 解 由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量p表示，函数变 化率最大和数值是梯度的模‖Δf(x0)‖。求f(x1，x2)在x0点处的梯度方向和数值， 计算如下
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第二章
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
多元函数的方向导数与梯度 多元函数的泰勒展开 无约束优化问题的极值条件 凸集、凸函数与凸规划 等式约束优化问题的极值条件
优化设计的数学基础 在前一章“优化设计概述”中，我们可以看到，机械 优化设计问题一般是非线性规划问题，实质上是多元非线性函数的极小化问题。 由此可见，机械优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的。无约束优化 问题就是数学上的无条件极值问题，而约束优化问题则是数学上的条件极值问 题。微分学中所研究的极值问题仅限于等式条件极值，很少涉及优化设计中经 常出现的不等式条件极值。为了便于学习以后各章所列举的优化方法，有必要 先对极值理论作概略地研究。本章重点讨论等式约束优化问题的极值条件和不 等式约束优化问题的极值条件
第五节 等式约束优化问题的极值条件
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
在工程上大多数优化问题都可表示为具有不等式约束条件的优 化问题。因此研究不等式约束极值条件是很有意义的。受到不等式 约束的多元函数极值的必要条件是著名的库恩-塔克(Kuhn-Tucker) 条件，它是非线性优化问题的重要理论。为了便于理解库恩-塔克条 件，我们首先分析一元函数在给定区间上的极值条件。