高中数学必修1集合与函数概念

2.求函数y ax 1在[0,2]上的最值.
当a 0时, y的最大值为2a 1,最小值为1;当a 0时, y的最大值为1, 最小值为2a 1 :当a 0时, y 1
3.求函数y 3 | x 1 |的单调增区间. [1, )
4.若奇函数f ( x)是定义在[1,1]上的减函数,且f (1 a) f (1 a2 ) 0,
明单调性：单调性的证明其本质在于比较大小，在证明是应用定义来证明， 同时如果有奇偶性单调性的证明可以省略一半，可以先通过草图大概判断然 后用定义证明，注意证明时需注意特定的区间
证明奇偶性：奇偶性的证明首先关注定义域是否关于原点对称，然后化简， 再次判断。单调性奇偶性都明确了，画草图就方便了。主要利用这两点解不 等式的时候要关注定义。 难点：研究哪个区间就在哪个区间上取值，分段函数分段解决
px2 2 px2 2


3x q 3x q
2x2 2 (2) f ( x)
3x
q0
f (2) 4 p 2 5 p 2 63
设x1 x2 1 则x1 x2 0, x1 x2 1
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f ( x1 )
f ( x2 )
2
(
x
2 1
解 :由条件知f(x)在(0,+)上是减函数
而2a2 a 1 2(a 1 )2 8 0, 3a2 2a 1 3(a 1 )2 1 0
47
33
由f (2a2 a 1) f (3a2 2a 1) 2a2 a 1 3a2 2a 1
11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义， 通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.
12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了 解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合 语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教 材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解 并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，
思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的
思维能力. 6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 . 7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了

1

3 x1
x22

1 )
x2

2 3 ( x1 x2 )
x1 x2 1 x1 x2
0
f ( x1 ) f ( x2 )
即函数f ( x)在( , 1)上是增函数.
例4 若函数f ( x)是定义在R上的偶函数,且在(-,0)上是增函数,并且 f (2a2 a 1) f (3a2 2a 1),求实数a的取值范围.
解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法 .
9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择； 会用描点法画一些简单函数的图象.
10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
【问题思想方法整理】 分类讨论、数形结合的思想： 1.设集合,求实数组成的集合.
2.若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围. 3.的解集为空集，求实数的取值范围. 4.已知函数若函数在定义域上是减函数，求的取值范围. 函数与方程、化归与转化的思想： 1.已知函数上有意义，求实数的取值范围. 2.已知函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 3.已知函数其中,为常数，则方程的解集为 . 4.已知函数满足只有唯一的实数解，试求函数的解析式. 【问题类型整理】 含绝对值的问题 1.已知为常数，函数在区间上的最大值为2，则 . 2.已知函数在上具有单调性，求的取值范围. 定义的应用问题 判断函数在区间上的单调性，并给出证明 . 若都是奇函数，且上有最大值8，则在上有最 值为 . 定义在上的函数是奇函数，并且在上是增函数，求满足条件的 实数的取值范围. 判断函数的奇偶性. 若的定义域为，则函数的定于域为 .
3. 教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿 到以后的数学学习中.
4. 在例题和习题的编排中，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活中和数 学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的. 在教学中，一定要循序渐进，从繁到难，逐步渗透这方 面的训练 .
求a的取值范围.
1a 2
5.若函数f ( x) 1 x2 13 在区间[a, b]上的最小值为2a,最大值为2b, 22
求区间[a,b].
解 : (1)若0 a b 则f ( x)在[a, b]上单调递减 f (a) 2b, f (b) 2a


解:(1)不是函数.因为集合A中的元素0,在集合B中没有元素与之对应. (2)是函数.满足函数的概念.
例2 函数f(x)=-x2 6x 9在区间[a, b](a b 3)有最大值9, 最小值 7,求
a, b的值. 解:对称轴x=3
注意 : 开口方向,对称轴的位置
函数f ( x)在[a, b]上是增函数
a2 3a 0 0 a 3
1.下面四组中的函数f ( x)与g( x), 表示同一个函数的是(C)
A. f ( x) x, g( x) ( x )2
B. f (x) x, g(x) x2
C. f (x) x, g(x) 3 x3
D. f ( x) | x2 1 |, g( x) | x 1 |
(1)y=cf(x)(c 0),c 0时,单调性与f (x)相同,
c 0时,则相反
(2)f(x)恒正或恒负时, y 1 与 y=f(x)单调
性相反
f (x)
(3)在公共区域内,增+增=增,增-减=增,减+减= 减,减-增=减
(4) f (x) 0时, f (x) 与y=f(x)单调性相同
a2 6a 9 7



b2

6b

9

9
a b
a 2,b 0
例3 已知函数f ( x) px2 2 是奇函数,且f (2) 5
3x q
3
(1)求实数p, q的值.
(2)判断函数f ( x)在( , 1)上的单调性,并加以证明.
解:(1) 函数f(x)为奇函数 f ( x) f ( x)
1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念(1课时) 1.2.2 函数的表示方法(2课时)
1.3 函数的基本性质 1.3.1 函数的单调性与最大(小)值(2课
时) 1.3.2 奇偶性(1课时)
第一章复习与测试
一. 课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁
性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力 . 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调
1. 如何判断两个变量之间是否具有函数关系? 2. 通过实例说明,什么叫映射? 3. 函数有几种表示方法?图象表示法的优点是什么? 4. 如何判断一个函数的单调性? 5. 如何判断一个函数的奇偶性? 6. 如何求函数的最值?主要的方法是什么?
1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示(1课时) 1.1.2 集合间的基本关系(1课时) 1.1.3 集合的基本运算(1课时)
（7）从A到B的映射个数有 个
二、函数 函数的概念（三要素） 函数的表示法 函数的基本性质（单调性， 奇偶性） 主要思想方法：数形结合思想 分类讨论思想 函数与方程思想 化归与转化的 思想 主要难点：含参数的问题 定义：函数的定义 定义域的定义 单调性的定义及其证明 奇偶性的定义及 其证明 常见问题： 求定义域 难点：抽象函数的定义域（注：f后面的整体要在同一个范围，定 义域是自变量的取值范围，请同学们翻看全品和作业本对应的练习复习整理） 求值域 基本方法：换元法 配方法 图象法 单调性法 分离常数法 判别式法证
1）函数定义：给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f ,对于A
中的
, 在集合B中都有 的数 f (x) 与之对应, 那么就称
f:A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y= f (x)，x∈A.
其中,x叫做自变量, X的取值范围A叫做
函数值, 函数值y的集合叫做
.
, 与X的值对应的y值 叫做
5. 教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别 是人为的过于技巧化的训练不做提倡，教师要准确把握这方面的要求，防止拨高教学.
6. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析 法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作 用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法 .
（2）函数的三要素： ， ，
。
（3）区间的概念。
（4）函数的表示法： ， ，
。
（5）两个函数相同必须是它们的 和 分别完全相同
（6）映射的定义：设A、B是两个非空集合,如果按照某个对应关系f ,对
于A中的
, 在集合B中都有 的元素 f (x) 与之对应, 那么就
称f:A→B为集合A到集合B的一个映射。
1 2 1 2
a2 b2

13 2 13 2
(5)f(x)与f(x)+c(c为常数)单调性相同
1. 设A=[0,2], B=[1,2], 在下列各图 中, 能表示f:A→B的函数( D ).
y
y
2
A
2
0
2
y
x
2
0y
2
C
0
2x
0
B
x
2
D
x
2
例1 判断下列对应是否为从集合A到集合B的函数 (1) A=R,B=(0,+),x A,对应法则f:x |x| (2)A R, B { y | y R且y 1}, x A,对应法则f:x y=x2 2x 2
结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体
问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑
（2）最大（小）值：一般地,设函数y=f(x)的 定义域为I,如果存在实数M满足:
①对于任意的X∈I,都有f(x)≥M （ f(x)≤M ）;
②存在X0∈ I,使得y=f(x0)= M. 那么,我们称M为函数y=f(x)的最小值（最大
值）.
函数单调性的判断方法1.定义法.2.图象法
直接法:利用已知结论
再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括 的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.
2. 教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达 集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念. 教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发 挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。