13.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开

设K1=| K1 |e jθ1，则K2=| K2 |e -jθ1
f (t) K1e(a j )t K2e(a j )t
注：K1、K2是共轭复数， | K1 |= | K2 |
f (t) K1e(a j )t K2e(a j )t | K1 | e e j1 (a j )t | K1 | e e j1 (a j )t | K1 | eat [e j(t1 ) e ] j(t1 )
2et cos(2t 45)
四、D(s)=0具有重根的情况
F(s) N(s) D(s)
D(s)应含(s-p1)n的因式
现设D(s)中含有(s-p1)3的因式， p1为D(s)=0的三重根， 其余为单根， F(s)可分解为
F (s)

K13 s p1

(s
K12 p1)2
Kie pit
相应的原函数为
f(t)= 3e-t +2te-t +0.5t2e-t -3 +t
s1 j 2

0.5
2e j 45
F(s)

s2
s
3 2s
5
p1=-1+j2 p2=-1-j2
N (s) K1 D'(s)
0.5 2e j45
s p1
K2 | K1 | e j1 0.5 2e j45
f (t) 2 | K1 | eat cos(t 1)

2 s3
s 1
=2
K13

1 2
d2 ds 2
1 s2
s 1

1 2
6 s4
s 1
=3
F (s)

1 s2 (s 1)3
下面计算K21和K22，首先以S2乘F(s)得
s2F
(s)

(s
1 1)3
Biblioteka Baidu(
K 21 )
K21

1 (s 1)3
s0
1
d1 K22 ds (s 1)3 s0 3
d ds
[(s

p1 )3
F
(s)]

2(s p1)K13 K12

d ds
(s

p1 )3
n i2
(s
Ki pi

)

K12

d ds
[(s

p1 )3
F (s)]s p1
3、K13的求法
用同样的方法可得
K13

1 2
d2 ds 2
[(s

p1 )3
F (s)]s p1

2s 1 s(s 2)(s 5)
D(s)=0的根为 p1=0 p2=-2
p3=-5
D’(s)=3s2+14s+10
K1
N (s) D'(s)
s p1

3s 2
2s 1 14s 10
s0
=0.1
同理求得： K2=0.5 K3=-0.6
f(t)= 0.1 + 0.5e-2t - 0.6e-5t
F (s) K13 K12 K11 K22 K21 s 1 (s 1)2 (s 1)3 s s2
所以
F (s)

s
3 1

(s
2 1) 2

(s
1 1)3

3 s

1 s2
f(t)=
K13e p1t

K12te p1t

1 2
K11t 2e p1t

n i2
F
(s)]s p1
……
K1q

(q
1 1)!
d q1 ds q 1
[(s

p1 ) q
F (s)]s p1
例：求F(s)的原函数
F(s) 1 s2 (s 1)3
解：D(s)=0的根为 p1=-1为三重根 p2=0为二重根
F (s)

K13 s 1
K12 (s 1)2

K11 (s 1)3
a1sm1 b1sn1
am bn
式中m和n为正整数，且n≥m。
分解定理
把F(s)分解成若干简单项之和， 而这些简单项可以在拉氏变换表中找到， 这种方法称为部分分式展开法，或称为分解 定理。 用部分分式展开有理分式F(s)时，需要把有 理分式化为真分式。 若n＞m，则为真分式。 若n=m，则
K1
(s
p1
)(
s
K
2
p2


Kn ) s pn
令s=p1，得 K1=[(s-p1)F(s)] s=p1
同理可求得K2、K3、…、Kn 确定待定系数的公式为
Ki=[(s-pi)F(s)] s=pi
f (t) L1[F (s)] L1[ K1 K2 ... Kn ]
如果D(s)=0有n个单根，设n个单根分别是 p1、p2、…、pn。
于是F(s)可以展开为
F (s) K1 K2 Kn
N (s)
s p1 s p2
s pn (s p1)(s p2 ) (s pn )
将上式两边都乘以(s-p1)，得
(s
p1)F(s)
F (s)

K13 s p1

(s
K12 p1)2

(s
K11 p1)3

n i2
(s
Ki pi )
f(t)=
K13e p1t

K12te p1t

1 2
K11t 2e p1t

n i2
Kie pit
注意：因子 t，t2，t3…(p294的表13-1)
4、 D(s)=0具有q阶重根，其余为单根的分解式
F (s)

K1q s p1

K1(q1) (s p1)2


K11 (s p1)q

n i2
Ki (s pi )
式中 K11 = ( s-p1 )qF(s)|s = p1
K12
d ds
[(s

p1 ) q
F
(s)]s
p1
K13

1 2
d2 ds 2
[(s

p1 ) q
三、D(s)=0的具有共轭复根的情况 F (s) N (s)
共轭复根： p1=a+jω p2=a-jω
D(s)
K1=[(s- a-jω)F(s)]s= a+jω
N(s) D' (s) sa j
K2=[(s- a+jω)F(s)]s= a-jω
N(s) D' (s) sa j
s pi
确定了待定系数后，相应的原函数为（即拉氏反变换）
f
(t)

L1[F (s)]
n i 1
Kie pit

n i 1
N ( pi ) e pit D'( pi )
例：求F(s)的原函数
F(s)
s3
2s 1 7s2 10s
解：
F(s)
s3
2s 1 7s2 10s

K 22 s

K 21 s2
首先以(s+1)3乘以F(s)得
(s
1)3 F(s)

1 s2
(
K11)
K11 =
(
s-p1 )3F(s)|s = p1

1 s2
s 1
=1
F (s)

1 s2 (s 1)3
K12

d ds
[(s

p1)3 F (s)]s p1

d ds
1 s2
s 1
F(s) A N0(s) D(s)
F(s)

N (s) D(s)

a0sm a1sm1 b0sn b1sn1
am bn
用部分分式展开真分式时，
需要对分母多项式作因式分解，
求出D(s)=0的根。
D(s)=0的根可以是
单根
共轭复根
重根
三种情况分别进行分析。
二、D(s)=0 具有单根的情况

K11 (s p1)3

n i2
Ki (s pi )
1、K11的求法
F (s)

K13 s p1

K12 (s p1)2

(s
K11 p1)3

n i2
(s
Ki pi )
上式两边都乘以(s-p1)3 ，则K11被单独分离出来
(s p1)3 F (s)
(s p1)2 K13 (s p1)K12
2 | K1 | eat cos(t 1)
例：求F(s)的原函数
F(s)

s2
s
3 2s
5
解：D(s)=0的根为
s2+2s+5=0
s2+2s+1+4=0
(s+1)2+4=0
p1=-1+j2 p2=-1-j2
K1

N (s) D' (s)
s p1

s3 2s 2
=0.5-j0.5
§13. 3 拉普拉斯反变换的部分分 式展开
对函数f(t) 进行拉氏变换为:
L[ f (t)] f (t)estdt F(s) 0
拉普拉斯反变换：即由F(S)求其原函数f(t)
f (t) 1
c
j
F
(s)est
ds
2 j c j
用符号L-1 [ ]表示对复变函数作拉氏反变换：

K11

(s

p1 )3
n i2
(s
Ki pi
)
K11 = ( s-p1 )3F(s)|s = p1
2、K12的求法 (s p1)3 F (s) (s p1)2 K13 (s p1)K12 K11

(s

p1 )3
n i2
(s
Ki pi
)
上式两边对s求导 ，则K12被分离出来
L1[F(s)] 1
c
j
F
( s)e
st
ds
2 j c j
简单：查拉氏变换表
涉及到复变函数的积分，较复杂
复杂：部分分式展开法
一、部分分式展开法
电路响应的象函数通常可表示为两个实系数的s 的多项式之比，即s的一个有理分式
F(s)
N (s) D(s)

a0 s m b0 s n
S P1 S P2
s pn
n
Kie pit i 1
Ki=[(s-pi)F(s)] s=pi
lim Ki
sPi
(s pi )N (s) D(S)
lim
(s pi )N(s) N (s) N ( pi )
s pi
D(s)
D( pi )
N (s) 待定系数的另一个公式为: Ki D'(s)