中欧航空工程师学院-有限元大作业

有限元作业报告

含中心圆孔有限宽平板的理论应力集中系数与孔径/板宽的变化关系

2017年11月

目录

1.绪论 (3)

2.软件介绍 (4)

3.基于理论的求解 (5)

4.基于PATRAN的问题研究 (6)

5.收获与感悟 (8)

1. 绪论

薄板结构被广泛地应用于船舶、航空、土木等各种工程结构中。在服役过程中这类结构会受到作用于板面内或面外的各种载荷作用，可能由于强度、稳定性等问题而发生破坏。由于需减轻重量，设置人员通道，设备通道等各种实际需求，不可避免地需要在这些板结构上开孔。而由于这些开孔的存在，使得开孔板在外载荷作用下，孔边出现很高的应力值，可导致材料进入屈服或产生裂纹，从而引起结构的破坏；同时由于开孔的存在，影响了板的稳定性，这些问题使得结构的安全性能受到极大的威胁。

开孔板在受面内载荷作用时，由于开孔截面处截面积急剧变化、开孔形状存在尖角等原因，使得应力流线在这些部位高度密集，从而产生了应力集中现象。由于孔边的应力水平较高，开孔构件在承受较小载荷时，孔边应力集中区域很可能已经产生塑性变形。尤其是当零件受周期性变化的应力或受冲击载荷作用时，应力集中对零件的强度有严重影响，往往是零件破坏的根源。因此，开孔构件的应力集中问题是工程设计中的关键问题之一。

工程上通常定义孔边最大应力与板件远场应力之比为应力集中系数，用以表征应力集中的程度。应力集中系数与孔的形状有关。一般而言，圆孔的应力集中程度相对较低，在结构设计中应对其优先考虑。因此，研究带有圆孔的平板应力集中问题具有一定的工程应用价值。

本文利用有限元软件PATRAN，对受单轴均布拉伸载荷作用下的有限宽中心圆孔板进行有限元分析，并研究不同板宽对孔边应力集中系数的影响。

2. 软件介绍

Patran是世界上使用最广泛的有限元分析（FEA）前/后处理软件，可为多个解算器提供实体建模、网格划分、分析设置及后处理，其中包括MSC Nastran、Marc、Abaqus、LS-DYNA、ANSYS 及Pam-Crash。

Patran提供了丰富的工具集，能够简化分析模型的创建，可用于线性、非线性、显式动力学、热学及其他有限元仿真。Patran不仅具有使工程师可轻松处理CAD 中的间隙和裂缝的几何清理工具，还提供了从头创建模型的实体建模工具，使任何人都可以方便地创建有限元模型。Patran可以通过全自动网格划分过程、也能够提供更多控制的手工方法或者这两者的组合，可轻松地在曲面和实体上创建网格。最后，该解决方案内置了用于最流行的有限元解算器的载荷、边界条件及分析设置，能最大限度地减少输入文件的编辑工作。

3. 基于理论的求解

圆孔应力集中问题的力学模型如图1所示: 一个x方向承受均布载荷q的板宽为L的正方形平板，板中有半径为r的小圆孔，平板厚度远小于其宽度。

图1带圆孔平板力学模型

由于小圆孔的存在，平板内的应力分布必然会受到影响，但根据圣维南原理，这种影响仅局限于孔的附近区域，在距离孔边的较远处，此影响显著减小。故在经典弹性力学理论中，当平板宽度远远大于小孔半径时，可得如下解答：

σρ=q

2

1−

r2

ρ2

+

q

2

cos2φ1−

r2

ρ2

1−3

r2

ρ2

σφ=q

1+

r2

−

q

cos2φ1+3

r4

τρφ=τφρ=−q

sin2φ1−

r2

2

1+3

r2

2

(1)

沿着y轴，即当φ=90°时，环向正应力为：

σφ=q1+1r2

+

3r4

(2)

其应力分布如图 1 所示，可知最大环向正应力于孔边处取得，即当ρ＝r时，(σφ)max=3q，且σφ随着远离孔边而急剧趋近于q。如前所述，则比值

σφ

max=K (3)

称为应力集中系数( stress concentration factor) ，本文K =3。

4. 基于PATRAN的问题研究

在工程实际中，有限板宽下的孔口应力集中问题可借助有限元软件PATRAN 得到近似解答。平板材料采用高纯度镍，其弹性模量E = 207 000 MPa，泊松比υ=0.312。对于图1 所示的力学模型，考虑到平板厚度远远小于板宽，故可将其视为平面应力问题。而基于结构和载荷的对称性，只需取模型的1/4进行分析。边界条件设定为: x =0，u x =0; y = 0，u y = 0。平板右端所受均布载荷q = 2 MPa。由于孔边附近会出现应力集中，为了保证计算精度，对靠近孔边的局部区域需细化网格，如图2所示。

图2孔边附近细化网格

（ξ＞为方便研究，不妨定义一个描述板宽与孔径相对尺度的特征参数ξ=L

d

1）。这样，研究应力集中程度与板宽的关系就相当于探讨应力集中系数K与ξ之间的关系。现将圆孔直径d固定为2mm，有规律地变化ξ值，并通过PARANT 软件平台分析对应于不同ξ值的平板应力分布情况。读取x方向上的应力最大值

求得相对应的K值，并将其与解析解比较，计算其相(σφ)max，由公式K=σx max

q

×100%。数值实验共计20组，每组实验均已进行了严格的对误差：δ=|K−3|

3

收敛性检验，具体情况见表1。根据表1，可拟合出ξ -K关系曲线如图3 所示。

ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

K 6.4431 4.1736 3.6149 3.3916 3.2774 3.2099 3.1621 3.1339 3.1137 3.0986 δ114.77 39.119 20.496 13.053 9.2141 6.9978 5.4041 4.4627 3.7907 3.2866 ξ12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

K 3.0854 3.0780 3.0730 3.0651 3.0630 3.0591 3.0535 3.0488 3.0466 3.0446 δ 2.8469 2.6007 2.4345 2.1704 2.1000 1.9713 1.7845 1.6279 1.5535 1.4853

表1 ξ-K关系表

图3 ξ -K 关系曲线

分析表1和图3可知:当ξ≤8时，孔边应力的分布情况受到边界条件的影响，相对误差较大(最大已超过114.77%)。此时，由于开孔而减少的截面尺寸等因素也会对应力值产生较大影响，已不能称其为“小孔口问题”，但K会随着ξ的增大而迅速减小。当ξ≥9 时，随着ξ的继续增大，K继续缓慢减小直至趋近于解析值3。若按照工程中常用的相对误差小于5%的标准考虑，则此时有限宽带孔平板的孔边应力集中问题可作为无限宽带孔平板近似处理。