罗尔定理

f ( x0 x) f ( x0 ) f ( )x,
其中为x0与x0 x 为之间的点.也可以记为
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x)x, 0 1
或
y f ( x0 x)x, 0 1,
因此又称 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续；
(2) 在开区间(a,b)内可导；
f (b) f (a) 则至少存在一点 (a, b)，使f ( ) . ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 ( x), 使 ( x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由 ' ( ) 0
f (b) f (a) f ( ) 0, ba
f ( b ) f ( a ) 从而有f ( ) ，或表示为 ba
f (b) f (a) f ( )(b a).
总结：拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，罗尔 定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。
如果f(x)在(a,b)内可导， x0 (a, b), x0 x (a, b), 则 在以 x0与x0 x为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日 中值定理，即
由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论： 推论1 若 f ( x)在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必
为某常数. 事实上，对于(a,b)内的任意两点 x1 , x2 ，由拉格朗
日中值定理可得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) 0,
f ( b ) f ( a ) 能导出 f ( ) 则问题可解决. ， ba
拉格朗日中值定理的几何意义： 如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直 于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 ( , f ( )), 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.
f (b) f (a) ( x a). 证 令 ( x) f ( x) f (a) ba
4.1 中值定理
一、罗尔定理
二、拉格朗日中值定理
三、柯西中值定理
二、罗尔定理
定理4.1 设函数f(x)满足
(1) 在闭区间[a,b]上连续,
(2) 在开区间(a,b)内可导,
(3) 在区间[a，b]的端点处函数 值相等，即 f(a)=f(b),
则至少存在一点 (a, b)，使f ' ( ) 0.
位于x1， x2之间，故有f(x1)= f(x2).由x1， x2的任意性
可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.
推论2 若在(a,b)内恒有 f ( x) g ( x) ，则有
f(x)=g(x)+C,
其中C为某常数. 事实上，由已知条件及导数运算性质可得
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) 0.
注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任 何一个条件，定理将不成立.
罗尔定理几何意义：
若曲线弧在[a,b]上为连续弧段，在(a,b)内曲线弧 上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两个 端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点， 过该点的切线必定平行于x轴.
例如f(x)=|x|在[－1,1]上连续，且f(－1)=f(1)=1,但 是|x|在(－1,1)内有不可导的点，本例不存在 (1,1), 使 f ' ( ) 0 . 又如f(x)=x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，但是
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格
朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗
日中值定理的推广.
f(0)=0，f(1)=1，本例不存在 (0,1) ，使 f ( ) 0 .
x, 0 x 1, 再如 f ( x) f(x) 在(0,1)内可导， 0, x 1, f(0)=0=f(1)，但是f(x)在[0,1]上不连续，本例不存在
(0,1), 使f ( ) 0.
由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.
四、柯西中值定理
定理4.3 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续，
(2)在开区间(a,b)内都可导，
(3)在开区间(a,b)内，g ( x) 0,
f ( ) f (b) f (a) 则至少存在一点 (a, b)，使 . g ( ) g (b) g (a)
由于f(x)在[a,b]上连续，因此 ( x) 在[a,b]上连续. 由于f(x)在(a,b)内可导，因此 ( x) 在(a,b)内可导. 又由于
(a) 0 (b),
因此 ( x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，所以至少
存在一点 (a, b)，使 ( ) 0 ，即
还需指出，罗尔定理的条件是充分条件，不是必 要条件.也就是说，定理的结论成立，函数未必满足定 理中的三个条件.即定理的逆命题不成立.
例如 f ( x) ( x 1) 2 在[0,3]上不满足罗尔定理的条
件 ( f (0) f (3)), 但是存在 1 (0,3) ，使 f (1) 0 .