2018高中数学第1章坐标系13柱坐标系和球坐标系学案北师大版4-4!

1.3 柱坐标系和球坐标系

1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法.(重点)

2.理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.(重点)

3.体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别.(易错易混点)

教材整理1 柱坐标系和球坐标系 1.柱坐标系

如图1­3­1，建立空间直角坐标系O ­xyz .设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，

z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞

＜z ＜＋∞.

图1­3­1

特别地，

r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的圆柱面；

θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面；

z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的平面.

2.球坐标系

设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM →

与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，

x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP →

的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如图

1­3­2).这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r <＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.

图1­3­2

特别地，

r ＝常数，表示的是以原点为球心的球面；

φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面； θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同.( )

(2)在柱坐标系M (r ，θ，z )中，θ表示OM 与y 轴所成的角.( ) (3)球坐标中，r 表示OM 的长度.( )

【解析】 (1)√ 柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同. (2)× θ表示OM 与x 轴所成的角. (3)√ 球坐标中r 表示OM 的长度. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√

教材整理2 空间中点的坐标之间的变换公式

设空间一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，则

填空：

(1)柱坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1的直角坐标是________.

(2)球坐标⎝

⎛⎭⎪⎫4，π4，π6的直角坐标是________. 【解析】 (1)x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π

3

＝3，z ＝1.

所以⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，π3，1的直角坐标是(1，3，1).

(2)x ＝4×sin π4×cos π

6

＝6，

y ＝4×sin π4×sin π6

＝2， z ＝4cos π4

＝2 2.

∴⎝

⎛⎭⎪⎫4，π4，π6的直角坐标是(6，2，22).

【答案】 (1)(1, 3，1) (2)(6， 2，22)

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6，3；(2)⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，π4，5. 【精彩点拨】 柱坐标――→x ＝r cos θ

y ＝r sin

θz ＝z

直角坐标 【自主解答】 设点的直角坐标为(x ，y ，z ).

(1)∵(r ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，5π6，3，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝r cos θ＝2cos

5π

6

＝－3，y ＝r sin θ＝2sin 5π6

＝1，

z ＝3，

∴(－3，1,3)为所求.

(2)∵(r ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，π4，5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝r cos θ＝2cos π

4

＝1，

y ＝r sin θ＝

2sin π

4

＝1

，

z ＝5，

∴(1,1,5)为所求.

点(r ，θ，z )是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面xOy 内实际为极坐标系，且

r ≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上，z 为任意实数.化点的柱坐标(r ，θ，z )为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝r cos θ，y ＝r sin

θ，

z ＝z

转化为三角函数的求值与运算即得.

1.将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标.

(1)⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，π6，1；(2)(1，π，0).

【解】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )，

(1)∵(r ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，π6，1，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝r cos θ＝2cos π

6

＝3，

y ＝r sin θ＝2sin π6

＝1，z ＝1，

∴(3，1,1)为所求.

(2)∵(r ，θ，z )＝(1，π，0)，

∴⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝r cos θ＝cos π＝－1，y ＝r sin θ＝sin π＝0，z ＝0，

∴(－1,0,0)为所求.

(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34π，54π；(2)⎝

⎛⎭⎪⎫6，π3，π6.

【精彩点拨】 球坐标

――――――→

x ＝r sin φcos θ

y ＝r sin φsin θz ＝r cos φ

直角坐标

【自主解答】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )，

(1)∵(r ，φ，θ)＝⎝

⎛⎭⎪⎫2，3π4，5π4，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝r sin φcos θ＝2sin

3π4cos 5π

4

＝－1，y ＝r sin φsin θ＝2sin 3π4sin 5π

4

＝－1，

z ＝r cos φ＝2cos 3π4

＝－2，

∴(－1，－1，－2)为所求. (2)∵(r ，φ，θ)＝⎝

⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝r sin φcos θ＝6sin π

3cos π6＝

36

4

，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin π6＝324

，

z ＝r cos φ＝6cos π3＝62

，

∴⎝

⎛⎭⎪⎫

364

，32

4，62为所求.

首先要明确点的球坐标(r ，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz ，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ＜2π.