离散数学 集合证明PPT课件

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对偶(dual)原理
对偶式(dual): 一个集合关系式, 如果只 含有, ,~,, E,=, , 那么, 同时把与 互换, 把与E互换, 把与互换, 得到 的式子称为原式的对偶式.
对偶原理: 对偶式同真假. 或者说, 集合 恒等式的对偶式还是恒等式.
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A(BC)=(AB)(AC)
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零律(证明)
A =
证明: x, xA
xA x
(定义)
xA 0
(定义)
0
(命题逻辑零律)
A =
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排中律(证明)
A~A = E
证明: x, xA~A
xA x~A
(定义)
xA xA
(~定义)
xA xA
第4讲 集合恒等式
内容提要 1. 集合恒等式与对偶原理 2. 集合恒等式的证明 3. 集合列的极限 4. 集合论悖论与集合论公理
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集合恒等式(关于与)
等幂律(idempotent laws)
AA=A AA=A
交换律(commutative laws)
AB=BA AB=BA
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补交转换律
A-B = A~B 证明: x,
xA-B xA xB xA x~B x A~B A-B = A~B. #
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德●摩根律的相对形式
A-(BC)=(A-B)(A-C)
A-(BC)=(A-B)(A-C)
证明: A-(BC)
= A~(BC)
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集合恒等式(关于与、续)
结合律(associative laws)
(AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC)
分配律(distributive laws)
A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)
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集合恒等式(关于与 、续)
吸收律(absorption laws)
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对偶原理(举例、续)
ABA
ABA
A
E A
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集合恒等式证明(方法)
逻辑演算法: 利用逻辑等值式和推理规则
集合演算法: 利用集合恒等式和已知结论
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逻辑演算法(格式)
题目: A=B. 证明: x,
xA … (????) xB
A=B. #
题目: AB. 证明: x,
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集合恒等式(推广到集族)
分配律 B ( { A } S) S (B A )
德●摩B 根 律( { A } S) S (B A ) ~( {A } S) S(~ A )
~( {A } S) S(~ A ) B ( { A } S) S (B A ) B ( { A } S) S (B A )
(定义)
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(命题逻辑排中律)
A~A = E
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集合演算法(格式)
题目: A=B. 证明: A
=…(????) =B A=B. #
题目: AB. 证明: A
…(????) B AB. #
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吸收律(证明)
A(AB)=A
A
B
证明: A(AB)
= (AE)(AB) (同一律)
A(AB)=A A(AB)=A
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集合恒等式(关于~)
双重否定律(double complement law)
~~A=A
德●摩根律(DeMorgan’s laws)
~(AB)=~A~B ~(AB)=~A~B
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集合恒等式(关于与E)
零律(dominance laws)
对偶原理(举例)
分配律
A (B C) = (A B ) (A C ) A (B C) = (A B ) (A C )
排中律
A ~AΒιβλιοθήκη BaiduE
矛盾律
A ~A=
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对偶原理(举例、续)
零律 同一律
A E =E A=
A =A A E=A
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= A(EB)
(分配律)
= AE
(零律)
=A
(同一律)
A(AB)=A
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吸收律(证明、续)
A(AB) = A 证明: A(AB)
A
B
= (AA)(AB) (分配律)
= A(AB)
(等幂律)
=A
(吸收律第一式)
A(AB) = A
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集合演算法(格式,续)
题目: A=B. 证明: () …
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对称差的性质(证明2)
结合律: A(BC)=(AB)C
证明思路： 分解成
A
“基本单位”, 例如:
AE=E A=
同一律(identity laws)
A=A AE=A
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集合恒等式(关于,E)
排中律(excluded middle)
A~A = E
矛盾律(contradiction)
A~A =
全补律
~ = E ~E =
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集合恒等式(关于-)
补交转换律(difference as intersection) A-B=A~B
AB () …
AB A = B. # 说明: 分=成与
题目: AB. 证明: AB (或AB)
=…(????) = A (或B) AB. # 说明: 化成= AB=AAB AB=BAB
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集合恒等式证明(举例)
基本集合恒等式 对称差()的性质 集族({A}S)的性质 幂集(P( ))的性质
xA … (????) xB
AB. #
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分配律(证明)
A(BC)=(AB)(AC)
证明: x, xA(BC)
xA x(BC)
(定义)
xA (xB xC) (定义)
(xAxB)(xAxC) (命题逻辑分配律)
(xAB)(xAC)
(定义)
x(AB)(AC)
(定义)
(补交转换律)
= A(~B~C)
(德●摩根律)
= (AA)(~B~C) (等幂律)
= (A~B)(A~C) (交换律,结合律)
= (A-B)(B-A)
(补交转换律). #
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对称差的性质
1. 交换律: AB=BA 2. 结合律: A(BC)=(AB)C 3. 分配律: A(BC)=(AB)(AC) 4. A=A, AE=~A 5. AA=, A~A=E