二重积分的概念课件

平面薄片的质量:
n
wenku.baidu.comM

lim
0
k
1

(
k
,
k
)
k
2.定义（二重积分）：
设z=f(x,y)在区域D上有界，则
①分割：用平面曲线网将D分成n个小区域
△1,△2, … ,△n 各个小区域的面积是 △1 ,△2 ,…,△n 各个小区域的直径是 d1,d2 ,…,dn ②近似：在各个小区域上任取一点 (i,i)△i ， 作乘积
二．二重积分的性质
⑴ a f (x, y)d a f (x, y)d
D
D
⑵ [ f (x, y) g(x, y)]d f (x, y)d g(x, y)d
D
D
D
⑶ f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d
D
D1
D2（D=D1+D2）
⑷ d （为D的面积）
D
⑸ 在D上,若恒有f(x,y)≤g(x,y)，则
f (x, y)d g(x, y)d
D
D
特别地，在D上若f(x,y)≤0 ( ≥0 ) 恒成立，
则
f (x, y)d 0 ( ≥0 )
D
⑹ f (x, y)d f (x, y) d
k 1
4)“取极限”
令


max(
1k n
k
)
n
M

lim
0
k
1

(
k
,
k
)
k
(k ,k )
x
k
两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “分割, 近似和,取极限”
(2) 所求量的结构式相同
曲顶柱体体积:
n
V

lim
0 k 1
f
(k , k ) k
③求和：
f(i,i)△i
n
f (i ,i )i
i 1
(i=1,2, … ,n)
④取极限：当n→∞且=max｛d1,d2,…,dn｝→0时，
n 极限
lim
0
i 1
f (i ,i )i
存在，则称此极限值为z=f(x,y)在D上的
二重积分，记为 f (x, y)d
i1
i1
n
④取极限：
V
lim d 0
i 1
f (i ,i ) i
其中d = max｛d1,d2,…,dn｝,用△i也示小区域的面积。
2．引例——平面薄片的质量
有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密
度为
计算该薄片的质量 M .
设D 的面积为 , 则
M
③ 函数f(x,y)在闭区域D上连续，则f(x,y)在D 上的二重积分必定存在。
⑤ n→∞(→0)时，积分和式极限存在，与对D 区域的分法无关，与(i,i)△i的取法无 关，仅与D和f(x,y)有关。
⑥ “△i的直径很小” 与 “△i的面积很小” 对 于 “近似” 有根本的区别，因此极限过程用 →0，而不能仅用n→∞来描述。
D
n
即
D
f (x, y)d
lim 0 i1
f (i ,i ) i
f(x,y) —— 被积函数 f(x,y)d —— 被积表达式
d —— 面积元素 D —— 积分区域
x,y —— 积分变量
n f (i ,—i )—积i 分和式
i1
[注记]：
① 在直角坐标系中，i≈(xi)(yi) 面积元素
（请回忆在§6—1解决计算曲边梯形面积的思想分析方法：……）
z
z=f(x,y)
z
z=f(x,y)
o
y
D
x
o
y
·D △i x (i,i)
曲顶柱体的体积V:
①分割：D = △1∪△2∪ … ∪△n V = △V1∪△V2∪ … ∪△Vn
(△i为△Vi窄条曲顶柱体的底；di为△i的直径。)
一. 二重积分的概念
1．引例——曲顶柱体的体积 曲顶柱体： △ 柱体的底是xoy面上的一有界闭区域D； △侧面是以D的边界曲线为准线而母线平
行于z轴的柱面；
△顶是曲面z=f(x,y)(f(x,y) ≥0),f在D
上连续。
区域的直径：闭区域上任意两点间距离的 最大值，称为闭区域的直径。
平顶(z=f(x,y)=常数)柱体的体积： 体积 = 高（z=常数）× 底面积（区域D的面积）
D
D
⑺ 在D上若m≤f(x,y)≤M ，为D的面积，则
m f (x, y)d M
D
⑻ 二重积分中值定理：
设f(x,y)∈C(D)，D为有界闭区域，为D的面积， 则至少 (,)∈D， 使
f (x, y)d f (,)
D
[例题解析]
例1 设
I1 (x2 y2 )3 d ,其中D1 {(x, y) | 1 x 1, 2 y 2}
D1
I2 (x2 y2 )3 d ,其中D2 {(x, y) | 0 x 1, 0 y 2}
D2
②近似：近似地将小曲顶视为平顶（满足条件：z=f(x,y) 连续，小区域△i的直径di很小），以点(i,i) △i的竖坐标f(i,i)为高，则得每个小 窄条曲顶柱体的体积近似值 △Vi≈f(i,i)△i (i=1,2, … ,n)
n
n
③求和： V Vi f (i ,i )i
d=dxdy,故二重积分又有形式 f (x, y)dxdy
D
② 由于二重积分的定义，曲顶柱体的体积是
V f (x, y)d
D
③ 二重积分的几何意义：
△当f(x,y)≥0时，二重积分的几何意义是：曲顶柱体的体积； △当f(x,y)≤0时，二重积分的几何意义是：曲顶柱体的体积的负值； △当f(x,y)在D上既有在若干分区域上取正值，也有在其余区域上取负值时 ，二重积分的几何意义是：xoy面上方的柱体体积为正、下方的为负时的柱 体体积的代数和。
若
非常数 , 仍可用
y D
“分割, ,近似和, 求 极限”
解决.
1)“分割”
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1, 2, , n ,
相应把薄片也分为小区域 .
2)“近似”
在每个 k 中任取一点 (k ,k ),则第 k 小块的质量
3)“近似和”
y
n
(k , k ) k