薄壁构件
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N1
c1 σI a1 σII
A
Ⅰd A
A
My dA Iz
τ'
c a dx c1
x
τ
b a1 A﹡ N2
M Iz
A
M yd A Sz Iz
N1 c a
N2
A
Ⅱ
M dM dA S
Iz
Z
S z y d A
A
b d x
c1 N1 c dx c1 σI a b a1 σII a1
2
FS b h d h13 h13 [ h1 ( )] Iz 2 2 4 12
FS b hh1 dh13 FS [ ] Iz Iz 2 12 Iz
δ
槽钢的惯性矩
h h´ h1 d
Fs
b hh1 dh Iz 2 12
3 1
b´ b
dh13 b 3 b h2 dh13 b 3 h 2 Iz [ b ( ) ] 2 12 2 12 6 2 12
3 0
I z I z
Fw FS
翼缘上切应力的合力
FS S FS h FS h ( x) (x ) x I zb I z 2 2I z
z
δ x
1 Ff ( x) dx max b 2 0 FS 2 b h 4I z
max
FS b h dh ( ) dI z 2 8
2 1
y h h´ h1 d Fs
z
b´ b
h1 y FS S z FS h1 h ( y) [b d ( y )( y 2 )] Izd dI z 2 2 2 FS b h d h12 [ ( y 2 )] dI z 2 2 4
FS S I zb
z
1,max
FS hb 2I z
δ x
h
h´
h1 d
Fs
z
b´ b
FS S z FS FS h h ( x) (x ) x I zb I z 2 2I z
线性分布
FS b h ( y) dI z 2
δ
max
A﹡
∑Fx = 0, －N1＋N2－τ′bdx =0
x
N2
M M dM Sz S z bdx 0 Iz Iz
τ'
c a
τ
S z d M bI z d x
FS S z I zb
FS S z I zb
δ x h h´
h1 d
Fs
z
b´ b
薄壁构件的约束扭转
杆件受外力作用发生扭转时，由于支座的阻碍，或外力作用方式，或 其他原因，使其截面不能自由翘曲，这种形式的扭转称为约束扭转。 截面不能自由扭转，各截面的凸凹程度不同，任意两截面间的纵 向纤维将发生拉伸或压缩变形，则产生法向内力，杆件发生弯曲， 故又称弯曲扭转。
薄壁构件的约束扭转
薄壁构件的约束扭转
最大切应力 R
t T
max
T T = 2 A0t 2t R 2
4 A02 G 4( R 2 ) 2 G 4t ( R 2 ) 2 GI t G = = =2 R 3Gt ds 2 R 2 R ts t
单位扭转角
T T = 3 GI t 2 R Gt
t2 t1 t1
1-3 开口薄壁截面梁的切应力 弯曲中心
Shear flow (剪力流）
r τ
τ1
FS
τ1
y
z
δ
狭长矩形截面梁弯曲切应力公式推导
m
A
n n dx n
F
C
m m
M FS
B z a1 x c1
M+dM c FS a dx y
a1 σII
σ σ I τ
τ'
c a
τ
m
dx
n
Normal forces representing the resultant of the normal stress on the area are given by
二次曲线分布
腹板上切应力的合力
FS b h d h12 Fw ( y ) d dy [ ( y 2 )] d dy 2 2 4 h1 h1 dI z
2
h1 2
h1 2
FS Iz
h1 2
2
b h d h12 2 [ ( y h 2 2 4 )] dy 1
由
T ds r rds
流量
0
C
rds 2 A
中心线围成图形的面 积
截面上的最大切应力：
T 2 A0
max
max
T 2 A0 min
T
•闭口薄壁构件的自由扭转——扭转刚度
•扭转刚度
4GAo 2 GI p ds s
• 算例
《应用弹性力学》，《薄壁构件》， 《The Theory of Thin walled Bars》
作业：
1-7 1-8 1-9
• 矩形截面杆的自由扭转
• 开口薄壁构件的自由扭转
变形协调：
... n 1 2
Ti C GIpi
T= Ti
1 3 截面的总惯性矩： I= I i hi i 3
截面上的最大切应力： max,i = Ti = TLeabharlann Baidu i T i Wpi I pi Ip
最大切应力
b
max
T T = 2 A0tmin 2abtmin
t2
a
4 Ao 2 4(ab) 2 2(ab) 2 It = = ds 2a 2b a b s ( t2 + t1 ) t2 + t1
t2
t3
t1 t2 d
R
R2 2 4(2Rd + ) 4 Ao 2 2 It = ds 2 R 2d R s ( t1 + t2 + t3 )
b
Fs d
z
Ff
Fs
Fw Ff
Fw
M
e
弯曲中心位置
FS M F f h b2 h2 4I z
M b2 h2 e Fs 4I z
Fs Fs
e
e
Fs
弯曲中心位置
横截面上有一个对称轴，则弯曲中心在该对称轴上； 横截面上有两个对称轴，则弯曲中心为两个对称轴的交点； 点对称截面，则弯曲中心与形心重合； 狭长矩形组成的截面，切应力平行于长边，弯曲中心在两个 中线的交点上。
T max = max Ip T max 1 3 3hi i
• 开口薄壁构件的自由扭转切应力分布
T
T
T max = max Ip
T max 1 3 3hi i
壁厚最大的地方
• 闭口薄壁构件的自由扭转
闭口薄壁构件，切应力与周边 相切，沿壁厚均匀分布 T
r ds
例题1 试求下面对称截面弯曲中心A的位置
δ1 δ2
b1
A
b2 z
h1 h
例题2 试求半个薄壁圆环截面梁在受竖向荷载时，任意点切应
力及弯曲中心的位置。
例题3 开口薄壁圆环，平均半径为，截面内剪力竖直向下，
试求切应力在截面上的分布和弯曲中心位置。
1.4 开口薄壁截面梁约束扭转的概念
• 开口薄壁构件的自由扭转
• • • • • • • • • • 翼缘上产生弯曲正应力，形成弯矩； 翼缘上产生弯曲切应力，形成剪力； 自由扭转的切应力，形成扭矩； 超静定问题，求解麻烦； 距离约束越近，翘曲程度越小； 薄壁构件，特别是开口薄壁构件，约束扭转不可忽略； 实体构件，截面翘曲被约束只产生局部影响，除极短粗杆件外，影响较 小，可忽略。 开口截面受压时，往往产生弯扭组合形式的失稳，临界力小于弯曲失稳。 通常设置缀板或缀条提高开口薄壁截面杆件的抗扭刚度。 闭口截面受压时，其临界力受扭转变形影响较小。
c1 σI a1 σII
A
Ⅰd A
A
My dA Iz
τ'
c a dx c1
x
τ
b a1 A﹡ N2
M Iz
A
M yd A Sz Iz
N1 c a
N2
A
Ⅱ
M dM dA S
Iz
Z
S z y d A
A
b d x
c1 N1 c dx c1 σI a b a1 σII a1
2
FS b h d h13 h13 [ h1 ( )] Iz 2 2 4 12
FS b hh1 dh13 FS [ ] Iz Iz 2 12 Iz
δ
槽钢的惯性矩
h h´ h1 d
Fs
b hh1 dh Iz 2 12
3 1
b´ b
dh13 b 3 b h2 dh13 b 3 h 2 Iz [ b ( ) ] 2 12 2 12 6 2 12
3 0
I z I z
Fw FS
翼缘上切应力的合力
FS S FS h FS h ( x) (x ) x I zb I z 2 2I z
z
δ x
1 Ff ( x) dx max b 2 0 FS 2 b h 4I z
max
FS b h dh ( ) dI z 2 8
2 1
y h h´ h1 d Fs
z
b´ b
h1 y FS S z FS h1 h ( y) [b d ( y )( y 2 )] Izd dI z 2 2 2 FS b h d h12 [ ( y 2 )] dI z 2 2 4
FS S I zb
z
1,max
FS hb 2I z
δ x
h
h´
h1 d
Fs
z
b´ b
FS S z FS FS h h ( x) (x ) x I zb I z 2 2I z
线性分布
FS b h ( y) dI z 2
δ
max
A﹡
∑Fx = 0, －N1＋N2－τ′bdx =0
x
N2
M M dM Sz S z bdx 0 Iz Iz
τ'
c a
τ
S z d M bI z d x
FS S z I zb
FS S z I zb
δ x h h´
h1 d
Fs
z
b´ b
薄壁构件的约束扭转
杆件受外力作用发生扭转时，由于支座的阻碍，或外力作用方式，或 其他原因，使其截面不能自由翘曲，这种形式的扭转称为约束扭转。 截面不能自由扭转，各截面的凸凹程度不同，任意两截面间的纵 向纤维将发生拉伸或压缩变形，则产生法向内力，杆件发生弯曲， 故又称弯曲扭转。
薄壁构件的约束扭转
薄壁构件的约束扭转
最大切应力 R
t T
max
T T = 2 A0t 2t R 2
4 A02 G 4( R 2 ) 2 G 4t ( R 2 ) 2 GI t G = = =2 R 3Gt ds 2 R 2 R ts t
单位扭转角
T T = 3 GI t 2 R Gt
t2 t1 t1
1-3 开口薄壁截面梁的切应力 弯曲中心
Shear flow (剪力流）
r τ
τ1
FS
τ1
y
z
δ
狭长矩形截面梁弯曲切应力公式推导
m
A
n n dx n
F
C
m m
M FS
B z a1 x c1
M+dM c FS a dx y
a1 σII
σ σ I τ
τ'
c a
τ
m
dx
n
Normal forces representing the resultant of the normal stress on the area are given by
二次曲线分布
腹板上切应力的合力
FS b h d h12 Fw ( y ) d dy [ ( y 2 )] d dy 2 2 4 h1 h1 dI z
2
h1 2
h1 2
FS Iz
h1 2
2
b h d h12 2 [ ( y h 2 2 4 )] dy 1
由
T ds r rds
流量
0
C
rds 2 A
中心线围成图形的面 积
截面上的最大切应力：
T 2 A0
max
max
T 2 A0 min
T
•闭口薄壁构件的自由扭转——扭转刚度
•扭转刚度
4GAo 2 GI p ds s
• 算例
《应用弹性力学》，《薄壁构件》， 《The Theory of Thin walled Bars》
作业：
1-7 1-8 1-9
• 矩形截面杆的自由扭转
• 开口薄壁构件的自由扭转
变形协调：
... n 1 2
Ti C GIpi
T= Ti
1 3 截面的总惯性矩： I= I i hi i 3
截面上的最大切应力： max,i = Ti = TLeabharlann Baidu i T i Wpi I pi Ip
最大切应力
b
max
T T = 2 A0tmin 2abtmin
t2
a
4 Ao 2 4(ab) 2 2(ab) 2 It = = ds 2a 2b a b s ( t2 + t1 ) t2 + t1
t2
t3
t1 t2 d
R
R2 2 4(2Rd + ) 4 Ao 2 2 It = ds 2 R 2d R s ( t1 + t2 + t3 )
b
Fs d
z
Ff
Fs
Fw Ff
Fw
M
e
弯曲中心位置
FS M F f h b2 h2 4I z
M b2 h2 e Fs 4I z
Fs Fs
e
e
Fs
弯曲中心位置
横截面上有一个对称轴，则弯曲中心在该对称轴上； 横截面上有两个对称轴，则弯曲中心为两个对称轴的交点； 点对称截面，则弯曲中心与形心重合； 狭长矩形组成的截面，切应力平行于长边，弯曲中心在两个 中线的交点上。
T max = max Ip T max 1 3 3hi i
• 开口薄壁构件的自由扭转切应力分布
T
T
T max = max Ip
T max 1 3 3hi i
壁厚最大的地方
• 闭口薄壁构件的自由扭转
闭口薄壁构件，切应力与周边 相切，沿壁厚均匀分布 T
r ds
例题1 试求下面对称截面弯曲中心A的位置
δ1 δ2
b1
A
b2 z
h1 h
例题2 试求半个薄壁圆环截面梁在受竖向荷载时，任意点切应
力及弯曲中心的位置。
例题3 开口薄壁圆环，平均半径为，截面内剪力竖直向下，
试求切应力在截面上的分布和弯曲中心位置。
1.4 开口薄壁截面梁约束扭转的概念
• 开口薄壁构件的自由扭转
• • • • • • • • • • 翼缘上产生弯曲正应力，形成弯矩； 翼缘上产生弯曲切应力，形成剪力； 自由扭转的切应力，形成扭矩； 超静定问题，求解麻烦； 距离约束越近，翘曲程度越小； 薄壁构件，特别是开口薄壁构件，约束扭转不可忽略； 实体构件，截面翘曲被约束只产生局部影响，除极短粗杆件外，影响较 小，可忽略。 开口截面受压时，往往产生弯扭组合形式的失稳，临界力小于弯曲失稳。 通常设置缀板或缀条提高开口薄壁截面杆件的抗扭刚度。 闭口截面受压时，其临界力受扭转变形影响较小。