人教A版 选修4-4 第二讲 第四节 渐开线与摆线教案设计

选修4_4坐标系与参数方程

渐开线与摆线

目的要求：了解平摆线和圆的渐开线的参数方程。有条件可以应用计算机展现心脏线、螺线、摆线、渐开线等，使学生感受这些曲线的数学美。

重点难点：曲线参数方程的推导；

教学过程：

一、探究

把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的

外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切

而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？

动点（笔尖）满足什么几何条件？设开始时绳子外端（笔尖）位于点A ，

ºϕ当外端展开到点M 时，因为绳子对圆心角的一段弧AB

，展开后成为切线，所以 º切线BM 的长就是AB 的长，这是动点（笔尖）满足的几何条件。

我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆。

二、渐开线的参数方程

以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标

系。

设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为（x ，y ）。显然，

点M 由角ϕ唯一确定。 B ϕϕϕ取为参数，则点的坐标为（rcos ,rsin ）,从而 (cos ,sin ),||.BM x r y r BM r ϕϕϕ=--=u u u u r u u u u r

1(cos ,sin )e OB ϕϕ=r u u u r 由于向量是与同方向的单位向量，

2(sin ,cos )e BM ϕϕ=-r u u u u r 因而向量是与向量同方向的单位向量。 2||(),BM r e ϕ=u u u u r r 所以即 ||(cos ,sin )(sin ,cos )BM x r y r r ϕϕϕϕϕ=--=-u u u u r

(cos sin )()(sin cos )

x r y r ϕϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩解得 是参数。

所以，圆渐开线的参数方程为⎩

⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x （ϕ为参数） 在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 x

y r E D

M A O B

三、摆线的参数方程

1、摆线的定义

思考：P41

如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？

上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？

同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。

»OA MA

OA r ϕ=线段的长等于的长，即 我们把点M 的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。

2、摆线的参数方程

根据点M 满足的几何条件，我们取定直线为X 轴，定点M 滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r 。

M x A B ϕ设开始时定点在原点，圆滚动了角后与轴相切于点，圆心在点。 M AB x C D 从点分别做，轴的垂线，垂足分别是，

(,),M x y M ϕ设点的坐标为取为参数，根据点满足的几何条件，有

sin ,x OD OA DA OA MC r r ϕϕ==-=-=-

cos y DM AC AB CB r r ϕ===-=-

所以，摆线的参数方程为：(sin ),()(1cos ).

x r y r ϕϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩为参数 x y

O D

A E

B M

C ϕO A B M

ϕ

思考：P42

在摆线的参数方程中，参数ϕ的取值范围是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？

四、典型示例

例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程

变式训练1 当2πϕ=，π时，求圆渐开线⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin sin cos y x 上对应点A 、B 坐标并求出A 、B 间的距离。

变式训练2 求圆的渐开线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)

cos (sin 2)sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐标。

例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程

变式训练3

求摆线⎩

⎨⎧-=-=t y t t x cos 1sin π20≤≤t 与直线1=y 的交点的直角坐标。 五、作业：课本：P42 1-4

六、其它曲线演示（几何画板课件）

阿基米德螺：

星形线：

x O y x 变幅摆线（旋轮线）O

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