非线性动力学分析方法

第一章非线性动力学分析方法（6学时）

一、教学目标

1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念；

2、掌握线性稳定性的分析方法；

3、掌握奇点的分类及判别条件；

4、理解结构稳定性及分支现象；

5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。

二、教学重点

1、线性稳定性的分析方法；

2、奇点的判别。

三、教学难点

线性稳定性的分析方法

四、教学方法

讲授并适当运用课件辅助教学

五、教学建议

学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。

六、教学过程

本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。

相空间和稳定性

一、动力系统

在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。

假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。有时，每个状态变量不但是时

间t 的函数而且也是空间位置r

的函数。如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。这里假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的方程组为常微分方程组。

),,,(2111

n X X X f dt

dX ),,,(2122

n X X X f dt

dX (1.1.1)

…

),,,(21n n n

X X X f dt

dX 其中 代表某一控制参数。对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)一般是 i X 的非线性函数，这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。由于 i f 不明显地依赖时间t ，故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。若 i f 明显地依赖时间t ，则称方程组为非自治动力系统。非自治动力系统可化为自治动力系统。

对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。

例如:)cos(t A x x

令y x

，t z ，上式化为

.

cos , z

z A x y y x 上式则是一个三维自治动力系统。

又如： ).,,(),,,(t v u g v

t v u f u

令t w ，则化为

.

1),,,(),,,(w w v u g v w v u f u

它就是三微自治动力系统.

对于常微分方程来说，只要给定初始条件方程就能求解。对于偏微分方程，不但要给定初始条件而且还要给定边界条件方程才能求解。

能严格求出解析解的非线性微分方程组是极少的，大多数只能求数值解或近似解析解。

二、相空间

由n 个状态变量 i X ＝(X 1，X 2，…X n )描述的系统，可以用这n 个状态变量为坐标轴支起一个n 维空间，这个n 维空间就称为系统的相空间。在t 时刻，每个状态变量都有一个确定的值，这些值决定了相空间的一个点，这个点称为系统状态的代表点(相点)，即它代表了系统t 时刻的状态。随着时间的流逝，代表点在相空间划出一条曲线，这样曲线称为相轨道或轨线。它代表了系统状态的演化过程。

三、稳定性

把方程组(1.1.1)简写如下

),,,(21n i i

X X X f dt

dX ， i ＝l ，2，…n (1.1.2) 设方程组(1.1.2)在初始条件00)(i i X t X 下的解为)(t X i ，如果用与原来略有差别的初始条件i i i X t X 00)(，i 是一个小扰动，就会得到方程组的新解)(t X i 。如果对于任意给定的 ＞0，存在 ＞0，并且 i ，当0t t 时也满足 )()(t X t X i i ，i ＝l ，2，…n

(1.1.3)

则称方程组(1.1.2)的解)(t X i 是稳定的，否则它就是不稳定的。这样定义的稳定性称为Lyapunov 稳定性。

如果)(t X i 是稳定的，并且满足极限条件 0)()(lim

t X t X i i t ，i ＝l ，2，…n

(1.1.4)

则称)(t X i 是惭近稳定的。

上述抽象的数学定义可以直观理解为：方程组对于不同的初始条件有不同的解，如果原初始条件)(0t X i 和受扰动后的初始条件)(0t X i 之差限定在一定的范围内，即

)()(00t X t X i i ，未扰动解)(t X i 和扰动解)(t X i 之差也不超出一定的范围，即 )()(t X t X i i ，则末扰动解)(t X i 就是稳定的；如果)(t X i 渐渐趋近于)(t X i ，最终变得和)(t X i 一致，则称)(t X i 是渐近稳定的；如果)(t X i 与)(t X i 之差不存在一个有限范围，即)(t X i 远离)(t X i ，则称)(t X i 是不稳定的。

由上述Lyapunov 稳定性的定义可以看到，要对动力系统的解的稳定性做出判断，必须对动力学方程组求解，然而对于非线性动力系统是很难获得解析解的，即使获得近似解析解也是如此。那么，我们能否象最小熵产生原理那样，不用对方程组具体求解就能对系统的稳定性作出判断。Lyapunov 发展了这种判断方法，通常称为Lyapunov 第二方法。这种方法主要是寻找(或构造)一个Lyapunov 函数，利用这个函数的性质对系统的稳定性作出判断。

线性稳定性分析

通过上节对稳定性的定义我们知道，要对非线性微分方程组的解的稳定性作出判断，最好是求出它的解析解。然而，对于大多数非线性微分方程组很难得到它们的解析解，甚至求近似解析解都是不可能的。虽然Lyapunov 方法避开了这一困难，但寻找一个Lyapunov 函数仍存在着相当的困难。那么我们能否不去对非线性方程组去求解，而采取一种既简单又有效的方法对非线性方程组定态解的稳定性作出定性的判断。这样的方法是存在的，那就是线性稳定性分析方法。它的主要思想是，在非线性微分方程组定态解的小邻域，把非线性微分方程组线性化，用线性微分方程组来研究定态解对小扰动