非线性动力学分析方法

第一章非线性动力学分析方法（6学时）
一、教学目标
1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念；
2、掌握线性稳定性的分析方法；
3、掌握奇点的分类及判别条件；
4、理解结构稳定性及分支现象；
5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。

二、教学重点
1、线性稳定性的分析方法；
2、奇点的判别。

三、教学难点
线性稳定性的分析方法
四、教学方法
讲授并适当运用课件辅助教学
五、教学建议
学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。

六、教学过程
本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。

相空间和稳定性
一、动力系统
在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。

再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。

然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。

研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。

假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。

有时，每个状态变量不但是时
间t 的函数而且也是空间位置r
的函数。

如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。

这里假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的方程组为常微分方程组。

),,,(2111
n X X X f dt
dX ),,,(2122
n X X X f dt
dX (1.1.1)
…
),,,(21n n n
X X X f dt
dX 其中 代表某一控制参数。

对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)一般是 i X 的非线性函数，这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。

由于 i f 不明显地依赖时间t ，故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。

若 i f 明显地依赖时间t ，则称方程组为非自治动力系统。

非自治动力系统可化为自治动力系统。

对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。

例如:)cos(t A x x
令y x
，t z ，上式化为
.
cos , z
z A x y y x 上式则是一个三维自治动力系统。

又如： ).,,(),,,(t v u g v
t v u f u
令t w ，则化为
.
1),,,(),,,(w w v u g v w v u f u
它就是三微自治动力系统.
对于常微分方程来说，只要给定初始条件方程就能求解。

对于偏微分方程，不但要给定初始条件而且还要给定边界条件方程才能求解。

能严格求出解析解的非线性微分方程组是极少的，大多数只能求数值解或近似解析解。

二、相空间
由n 个状态变量 i X ＝(X 1，X 2，…X n )描述的系统，可以用这n 个状态变量为坐标轴支起一个n 维空间，这个n 维空间就称为系统的相空间。

在t 时刻，每个状态变量都有一个确定的值，这些值决定了相空间的一个点，这个点称为系统状态的代表点(相点)，即它代表了系统t 时刻的状态。

随着时间的流逝，代表点在相空间划出一条曲线，这样曲线称为相轨道或轨线。

它代表了系统状态的演化过程。

三、稳定性
把方程组(1.1.1)简写如下
),,,(21n i i
X X X f dt
dX ， i ＝l ，2，…n (1.1.2) 设方程组(1.1.2)在初始条件00)(i i X t X 下的解为)(t X i ，如果用与原来略有差别的初始条件i i i X t X 00)(，i 是一个小扰动，就会得到方程组的新解)(t X i 。

如果对于任意给定的 ＞0，存在 ＞0，并且 i ，当0t t 时也满足 )()(t X t X i i ，i ＝l ，2，…n
(1.1.3)
则称方程组(1.1.2)的解)(t X i 是稳定的，否则它就是不稳定的。

这样定义的稳定性称为Lyapunov 稳定性。

如果)(t X i 是稳定的，并且满足极限条件 0)()(lim
t X t X i i t ，i ＝l ，2，…n
(1.1.4)
则称)(t X i 是惭近稳定的。

上述抽象的数学定义可以直观理解为：方程组对于不同的初始条件有不同的解，如果原初始条件)(0t X i 和受扰动后的初始条件)(0t X i 之差限定在一定的范围内，即
)()(00t X t X i i ，未扰动解)(t X i 和扰动解)(t X i 之差也不超出一定的范围，即 )()(t X t X i i ，则末扰动解)(t X i 就是稳定的；如果)(t X i 渐渐趋近于)(t X i ，最终变得和)(t X i 一致，则称)(t X i 是渐近稳定的；如果)(t X i 与)(t X i 之差不存在一个有限范围，即)(t X i 远离)(t X i ，则称)(t X i 是不稳定的。

由上述Lyapunov 稳定性的定义可以看到，要对动力系统的解的稳定性做出判断，必须对动力学方程组求解，然而对于非线性动力系统是很难获得解析解的，即使获得近似解析解也是如此。

那么，我们能否象最小熵产生原理那样，不用对方程组具体求解就能对系统的稳定性作出判断。

Lyapunov 发展了这种判断方法，通常称为Lyapunov 第二方法。

这种方法主要是寻找(或构造)一个Lyapunov 函数，利用这个函数的性质对系统的稳定性作出判断。

线性稳定性分析
通过上节对稳定性的定义我们知道，要对非线性微分方程组的解的稳定性作出判断，最好是求出它的解析解。

然而，对于大多数非线性微分方程组很难得到它们的解析解，甚至求近似解析解都是不可能的。

虽然Lyapunov 方法避开了这一困难，但寻找一个Lyapunov 函数仍存在着相当的困难。

那么我们能否不去对非线性方程组去求解，而采取一种既简单又有效的方法对非线性方程组定态解的稳定性作出定性的判断。

这样的方法是存在的，那就是线性稳定性分析方法。

它的主要思想是，在非线性微分方程组定态解的小邻域，把非线性微分方程组线性化，用线性微分方程组来研究定态解对小扰动
的稳定性。

因为线性微分方程组是容易求解的，而且在定态解的小邻域，用线性微分方程组近似取代非线性微分方程组是合理，所以线性稳定性分析方法既简单又有效，是一种常用的稳定性分析方法。

首先通过一个简单的例子来了解线性稳定性分析的思路。

设有一非线性微分方程 )(12X f X dt
dX
(1.2.1)
在定态X 0，00
dt
dX ，有
01)(200 X X f
(1.2.2)
由此得到定态解
101 X ，102 X
(1.2.3)
设)(t x 是定态附近的小扰动，即
)()(0t x X t X
(1.2.4) 10
X x
(1.2.5)
把方程(1.2.4)代入方程，有
202
021x x X X dt
dx (1.2.6)
考虑到定态方程(1.2.2)，并忽略小扰动x 的二次项，得
x x X
f
x X dt dx 00)(2 (1.2.7)
其中
002)(
X X
f
（1.2.8）
是线性化系数。

方程(1.2.7)是非线性方程的线性化方程，容易求出它的解为
t e x t x 0)(
其中)0(0x x 是初始扰动。

讨论：定态解的稳定性取决于 的符号。

（1）如果 <0，定态解附近的扰动会随时间指数衰减，最后回到该定态，说明这个定态是稳定的；（2）如果 >0，定态附近的扰动会随时间指数增加，最后离开这个定态，表明该定态是不稳定的。

对于定态101 X ，0220 X ，01X 是稳定的；
对于定态102 X ，0220 X ，02X 是不稳定的。

图 方程(1.2.2)的定态解的稳定性
我们可以很容易求得方程(1.2.1)的精确解析解(为一双曲函数)
)()(k t th t X
)0(1X th k ，1)0( X (1.2.9)
对于不同的初始条件)0(X ，可以得到一系列的)(t X 曲线，它们随时间的演化行为如图所示，曲线族趋于X 01＝1，离开X 02＝-1。

这证明我们采用线化方程得到的定性结论是正确的。

上述例子虽然简单，但具有一般性，数学家对此作了证明，并形成线性稳定性定理。

设有非线性方程组
),(j i i
X f dt
dX ，n j i ,,2,1, (1.2.10)
并设)(t x i 是定态解 0i X 附近的小扰动，即
)()(0t x X t X i i i
10
i i
X x ，n i ,,2,1 (1.2.11)
非线性方程组(1.2.10)在定态解 0i X 附近的线性化方程为
n
j j j
i i x x f dt dx 10)(
(1.2.12)
定理 如果线性化方程组(1.2.12)的零解(021 n x x x )是渐近稳定的，则非线性方程组的定态解 0i X 也是渐近稳定的；如果零解是不稳定的，则定态解 0i X 也是不稳定的。

线性稳定性定理保证了利用线性的方法来研究非线性方程定态解稳定性的有效性。

利用线性稳定性定理来研究非线性方程定态解稳定性的过程称为线性稳定性分析。

这种
分析方法在处理实际问题中经常被用到。

值得提及的是，线性稳定性定理只是对线性化方程的零解是渐近稳定的或是不稳定的情形给出了结论，而对于零解是Lyapunov 稳定的并不是浙近稳定的情形没有给出任何信息。

这在下节会给予讨论。

奇点分类和极限环
现在我们考虑只有两个状态变量(X ，Y)的非线性动力系统，即
)
,(),(21Y X f dt
dY Y X f dt
dX
(1.3.1)
现在相空间变为分别以X 和Y 为坐标轴的二维相平面。

如果方程(1.3.1)的解存在且唯一，那么它的解在相平面上就表现为一条线。

轨线的斜率是
)
0(,),(),()0(,),(),(2
21112f Y X f Y X f dY
dX f Y X f Y X f dX dY (1.3.2)
只要),(1Y X f 和),(2Y X f 不同时为零且连续可微，轨线的斜率就是唯一的，它意味着轨线不相交。

如果轨线在相平面中某一点相交，则这一点的斜率就不是唯一的。

换句话说，数学上的解的存在与唯一性定理要求相空间中的轨线不能相交。

如果),(1Y X f 和),(2Y X f 同时为零，即
0),(0
),(0
02001Y X f Y X f (1.3.3)
则有
0 dX dY (1.3.4)
这表明轨线的斜率不唯一。

我们把在相平面中使),(1Y X f 和),(2Y X f 同时等于零的点),(00Y X 称为奇点。

在相平面上除奇点之外的所有其他点都叫做正则点。

根据方程(1.3.3)我们知道，奇点就是非线性方程组的定态解。

因此，我们通过研究相空间中奇点的稳定性就可以知道定态解的稳定性。

只要我们弄清楚奇点附近轨线的分布及其流向，就能对奇点的稳定性作出判断。

为此我们设x(t)和y(t)是奇点),(00Y X 附近的小扰动，即
)()(0t x X t X )()(0t y Y t Y
(1.3.5)
10 X x ，10
Y y
把非线性方程组(1.3.1)的右边在奇点),(00Y X 附近按Taytor 级数展开，并保留线性项，有
y Y f x X f Y X f dt dx 0101001)()(),( ，y Y
f x X f Y X f dt dy 0202002)()(),( (1.3.6)
根据定态方程(1.3.3)，方程式变为
y a x a dt dx 1211 ，y a x a dt
dx
1211 (1.3.7)
其中
01120111)(,)(
Y f a X f a ，022120221)(,)(Y
f
a X f a (1.3.8)
下标0表示在定态取值。

方程(1.3.7)可以方便地写为矩阵形式
y x a a a a y x dt d 22211211 (1.3.9)
由方程(1.3.9)的线性结构，它允许有如下的形式解
t e x x 0 ，t e y y 0
(1.3.10)
这样的解称为简正模。

把方程(1.3.10)代入可以得到对 (00,y x )为一阶的齐次代数方程组
0022211211
00y x a a a a y x (1.3.11)
这个方程组具有非零解的条件为
02221
1211
a a a a
(1.3.12)
即
02 T
(1.3.13)
其中
2211a a T ，21122211a a a a
(1.3.14)
方程(1.3.13)称为线性化方程组的特征方程， 称为线性化方程组的特征值。

特征方程(1.3.13)是一个一元二次方程，它允许有两个不同的特征根1 和2 ，即
)4(2
1
22,1
T T (1.3.15)
这时线性化方程组(1.3.9)有两组如下形式的线性无关解
t e x x 101 ，
t e x x 202 ，t e y y 202
(1.3.16)
其中 0101y x 和
0202y x 分别是方程组(1.3.11)系数矩阵(ij a )的特征值1 和2 对应的特征向
量。

这样，线性化方程组的一般解应是两个线性无关解的线性组合，即
t e x c x 1011 t e x c 2022 t e y c y 1011 t e y c 2022
(1.3.17)
其中1c 和2c 由初始条件确定。

从方程(1.3.15)可以看到，特征值i (i ＝1，2)可能为复数，而奇点(X 0，Y 0)的稳定性只取决于特征值实部i Re 的符号。

由此可以根据方程直观地得到如下稳定性判据： (a)如果两个0Re i (i ＝l ，2)，则奇点(X 0，Y 0)是渐近稳定的； (b)如果至少有一个0Re ( ＝1或2)，则奇点(X 0，Y 0)是不稳定的； (c)如果至少有一个0Re ( ＝1或2)，而另一个0Re ( ＝2或1)，则奇点(X 0，Y 0)是Lyapunov 稳定的，而不是渐近稳定的。

我们称这种情况为临界稳定性。

所谓奇点就是行为异常的点。

虽然这样的点在相空间的分布是极为稀少的，但它们却是人们关注的热点。

通常按奇点的性质把它分为四类：结点；鞍点；焦点；中心点。

现在分别对它们加以介绍。

(1)结点
当042 T 和0 时，对应的奇点称为结点。

此时两个特征根不但都是实的，而且同号(T 21 , 21 )，即
)4(21
21
T T 和T 同号 )4(2
1
22 T T 也和T 同号
因此，可以根据T 的符号来判断结点的稳定性： T ＜0，渐近稳定结点 T ＞0，不稳定结点
例 若线性化方程(1.3.7)中的02112 a a ，02211 a a a ，则042 T ，
02 a ，奇点(X 0，Y 0)为结点。

这时方程变为
ax dt dx
ay dt
dy
(1.3.18)
它们的解为 at e x x 0
at e y y 0
(1.3.19)
在结点附近轨线的斜率
x y dx dy =常数 (1.3.20)
对于不同的初始条件(00,y x )，会有不同的常数，也就有不同的斜率。

同时，因为T ＝a 2，所以结点的稳定性取决于a 的符号，0 a 对应于渐近稳定结点，0 a 对应不稳定结点。

这些可用图来表示。

图显示另一种结点附近的轨线分布及其流向的状况。

从这些图我们看到，稳定结点是相平面的汇，不稳定结点是相平面的源。

(a)
(b)
图 渐近稳定星形结点(a) 不稳定星形结点(b)
(a)
(b)
图 渐近稳定星形结点(a) 不稳定星形结点(b)
(2)鞍点
当042 T 和0 时，相应的奇点称为鞍点。

这种情形的特征根总是异号的实根，(T 21 , 21 )即
0)4(21
21
T T 0)4(2
1
22 T T
无论T>0或T<0
所以鞍点总是不稳定的。

例 若方程(1.3.7)中的02112 a a ，011 a ，022 a ，则0)(4222112 a a T ，
02211 a a ，奇点(X 0，Y 0)为鞍点。

这时线性化方程取形式
x a dt dx
11 y a dt
dy
22 (1.3.21)
它的形式解为
t a e x x 110 t a e y y 220
(1.3.22)
鞍点附近轨线的斜率不但与初始条件(00,y x )有关，而且还与线性化系数11a 和22a 有关，即
110
22x a y a dx dy (1.3.23)
其中已忽略了因子exp[t a a )(1122 )，因它不影响我们要讨论的结论。

根据斜率在不同象限的符号，可以得到如图所示的轨线分布形式。

由于它与马鞍曲面在平面上的投影相类似，故得鞍点这个名字。

图 鞍点附近轨线的分布情形及流向
(3)焦点
当042 T ，0 T 时，对应的奇点称为焦点。

这时特征根为两个共扼复根。

i 1
(1.3.24)
其中
2T
， 242
1T (1.3.25)
分别是共轭复根的实部和虚部。

焦点的稳定性取决于实部 的符号。

T ＜0，渐近稳定焦点 T ＞0，不稳定焦点
复根的虚部 是周期振荡的频率。

例 当01221 b a a ，a a a 2211时，有04422 b T ，02 a T 则奇点(X 0，Y 0)为焦点。

这时线生化方程(1.3.7)变为
by ax dt dx
ay bx dt
dy
(1.3.26)
令
iy x z (1.3.27)
方程（1.3.26）变为
z bi a dt
dz
)( (1.3.28)
它的解为
t ib a e z z )(0 )sin (cos )(00bt i bt e iy x at
(1.3.29)
其中利用了公式
sin cos i e i
(1.3.30)
0x 和0y 是初始条件。

通过令方程(1.3.29)两边的实部和虚部相等，得
)sin cos (00bt y bt x e x at )cos sin (00bt y bt x e y at
(1.3.31)
令
cos 0q x sin 0q y
(1.3.32)
得
)cos( bt qe x at
)sin( bt qe y at
(1.3.33)
由此得到焦点附近的轨线方程 at e q y x r 22222
(1.3.34)
这是一个螺线方程，q 与初始条件有关，a 的符号决定着螺线的旋转方向。

如图2．5所示，0 a 螺线旋向焦点，它代表一种衰减振荡；0 a 螺线旋离焦点，它代表一种放大振荡。

图 渐近稳定焦点(a)和不稳定焦点(b)
(4)中心点
当042 T ，0 T 时，对应的奇点(X 0，Y 0)称为中心点。

此条件表明 必大于零，所以两个特征根是异号的纯虚数，即
i 1
i 2
(1.3.35)
这种奇点附近的轨线代表无阻尼振荡，因此这些轨线是一些闭合曲线，奇点被这些闭合曲线围绕在中间，所以把这种奇点称为中心点。

中心点附近的轨线既不无限地趋势于它也不无限地远离它，所以中心点是Lyapunov 稳定的，而不是渐近稳定的。

(如图所示)
图 围绕中心点的闭轨线
例 取02211 a a ，b a a 1221时，有0 T ，02 b ，则相应的奇点是中心点。

这时线性化方程(1.3.7)变为
by dt
dx
bx dt
dy
(1.3.36)
令
iy x z (1.3.37)
方程(1.3.36)变为
ibz dt
dz
(1.3.38)
其解为
ibt e z z 0 )sin (cos 0bt i bt z
(1.3.39)
其中
000iy x z
(1.3.40)
0x 和0y 是初始条件，如果令
cos 0q x sin 0q y
(1.3.41)
我们会得到 )cos( bt q x
)sin( bt q y
(1.3.42)
最后得到中心点附近的轨线方程为 222q y x
(1.3.43)
这是一个圆方程，圆的半径q 依赖于初始条件，初始条件稍有不同，轨线就会表现为一个新的圆。

中心点附近的轨线分布如图所示。

因此．中心点既不是相平面中的汇也不是它的源，而是一种中介情形，所以又把它叫做临界稳定性。

上述四种奇点称为简单奇点。

根据方程(1.3.15)，令 42T D
(1.3.44)
它们被总结归纳于图。

渐近稳定结点和渐近稳定焦点是相空间的汇，其周围的轨线都以它们为极限最后趋于它们，这些奇点好象是它们周围轨线的吸引中心，故把它们称为吸引子。

相应地把不稳定结点和不稳定焦点称为排斥子。

系统的演化一旦达到吸引子就不
会再运动，所以有时把吸引子又称为不动点。

吸引子只有在耗散系统中才可能出现，因为吸引子是衰减运动的极限状态，而耗散是衰减运动的原因。

在耗散系统中，二维相平面中的各种轨线最后都归并到零维的吸引子上，这称为相空间收缩。

相反，对于守恒系统相空间不会收缩，而保持相体积不变。

同时，我们也可以看出，耗散是维持系统稳定的因素。

图 四种简单奇点的分布
上述分析都是针对奇点附近的小邻域而言的，并用线性化方程得到奇点附近的轨线分布及其演化趋势，它们给奇点的性质提供了直观的图象。

然而，在远离奇点时线性近似不再适用，必须考虑完整的非线性方程，这时轨线的演化趋势不外乎如下几种情形；如果相平面只有一个吸引子，则相平面中所有轨线都流向于它；如果只有一个排斥子，则相平面中所有轨线都会从它出发流向无穷远；如果相平面中不但有吸引子而且还有排斥子，则大部分轨线会从排斥子出发流向吸引子，一小部分轨线可能自排斥子流向无穷远，最后一情形是，排斥子附近的轨线向四周流去，而远方的轨线向排斥子流来，两套流线必然在某个环形区域交锋，交锋的结果是在环形区域中出现一条闭合曲线，这条闭曲线是内外两套轨线演化的共同极限集，这条闭合曲线称为极限环。

极限环是一条孤立的闭合执线，也就是在它的周围不存在无限接近于它的另一条闭合轨线，这一点是和中心点周围的闭合轨线有着本质差别。

如果极限环内外的轨线都渐近地趋于它，则是渐近稳定极限环(图(a))，否则，是不稳定极限环(图(b))。

如果极限环内部(或外部)轨线渐近趋于它，而外部(或内部)轨线离开它，则称为半稳定极限环(图2．8(c))。

半稳定极限环也是不稳定极限环的一种。

图 极限环
(a)渐稳定极限环；(b)不稳定极限环；(c)半稳定极限环 例 设有一非线性系统
)](1[22y x x y dt dx
)](1[22y x y x dt
dy
(1.3.45)
不难看出奇点为相平面(x ，y)的原点(0，0)。

方程(1.3.45)在奇点附近的线性化方程为
y x dt dx
y x dt
dy
(1.3.46)
因为02 T ，0442 T ，所以该奇点(0，0)为一不稳定焦点，它附近的轨线为一外旋的螺线。

非线性方程(1.3.45)可以严格求解。

为此，令
cos r x
sin r y
(1.3.47)
对方程(1.3.45)的两边分别乘x 和y ，并利用式容易把它化为极坐标中的形式
)1(21222
r r dt
dr 1 dt
d
(1.3.48)
利用公式
2
22211
1)1(1r r r r
(1.3.49)
容易得到方程(1.3.48)的积分
t
ce
r 211
t
(1.3.50)
其中c 是由初始条件决定的积分常数。

因此
t
ce t x 21cos
t ce
t y 21sin (1.3.51)
由方程(1.3.50)可知，相平面中所有轨孰线的演化极限是半径
1)( t r
(1.3.52)
的单位圆。

如果0 c ，初始轨线在单位圆内，如果01 c ，初始轨线在单位圆外。

在 t 时，内外轨线都渐渐地进入单位圆(图2．9)。

这个单位圆就是一个渐近稳定的
极限环，因为它代表一种持续稳定的周期振荡，所以又把它称为周期吸引子。

自然界中无外源强迫的持续稳定周期振荡现象都对应一个渐近稳定的极限环。

从上面的例子我们看到．极限环不可能在线性系
图 方程(1.3.45)产生的极限环
统中产生，只可能在非线性系统中产生。

因此，自然界中的持续振荡是一非线性现象。

但是，并不是每个非线性系统都能产生极限环，即非线性是产生极限环的必要条件，并不是充分条件。

所以，判断一个非线性系统能否产生极限环十分重要。

如果能够得到非线性系统的解析解，就会很容易地作出判断。

然而，对于大多数非线性系统获得解析解是不可能的，所以采用定性的方法推断极限环是否存在及其在什么位置就成为必要的了。

由于非线性的复杂性，目前还没有一种普适的判断方法。

这里只对数学上的一些定性结论作以介绍。

(1)如果极限环内只有一个简单奇点，这个苛点绝对不是鞍点。

(2)如果极限环内有多个简单奇点，则一定有奇数个，并且鞍点的数目比其他奇点的数目少一个。

(3)Bendixson 否定判据：对于非线性系统(2．3．1)如果y
f x f 2
1在相平面区域D 内不变号，则系统(2．L1)在D 内无极限环。

根据Bendixson 否定判据可以直接证明线性系统不会产生极限环。

因为对于线性系统
y
f x f a a T
2
12211 (1.3.53)
它是不会变号的。

(4)如果系统(1.3.1)的轨线在相平面环形区域D 的边界上总是自外向内(图2．10)，又在D 内无奇点，则在D 内至少有一个渐近稳定的极限环。

图
图
(5)如果系统(1.3.1)的轨线在相平面区域D 的边界上总是自外向内，又在D 内除有不稳定焦点或不稳定结点之外无其他奇点，则在D 内至少有一个渐近稳定的极限环(图2．11)。

由上述讨论我们看到，一个渐近稳定的极限环代表着一种稳定的周期行为。

所谓的时空有序结构实际上主要指在系统内部自发形成的在时间或空间上的周期行为。

要想知道形成时空有序结构的动力学条件，必须研究极限环的形成条件，这是下一节要讨论的主要内容之一。

结构稳定性与分支现象
前几节的讨论都未涉及非线性方程组包含的控制参数 对系统行为的影响，换言之，我们是在假定控制参数不变的前提下讨论了系统的稳定性问题。

然而，有时控制参数的一个微小变化都会对系统的行为引起质的跃变。

一个模型往往要包含若干参数，有的参数起关键作用，有的参数对系统行为没有实质性作用。

起关键作用的参数在其临界值附近的一个微小变化都会使系统的演化行为发生质的改变。

如在Benard 实验中的温差T 就是一控制参数，当它达到临界值c T 时，一个微小变化就会使液体由分子热运动的无序行为突然转变为自组织的有序行为。

因此，控制参数对系统稳定性的影响十分重要，它是本节要讨论的主要内容。

1、结构稳定性
考虑双变量的非线性动力系统
),,(1Y X f dt dX
),,(Y
2Y X f dt
d (1.4.1)
其中 代表某一控制参数，并且把它看作是可变的。

这样，方程(1.4.1)的定态解(X 0，Y 0)应是 的函数，即 ）（ 00X X
）
（ 00Y Y (1.4.2)
因为1f 和2f 是X 和Y 的非线性函数，所以定态解是多重的。

但由于 的变化可能使一些原来有物理意义的定态解失去物理意义，因此， 的变化可能会引起定态解的数目发生变化。

根据方程(1.3.8)可知，方程的线性化系数11a 、12a 、21a 和22a 是在定态取值，因此有
)(
)( (1.4.3)
这意味着 的变化不但会使相平面中奇点的数目发生变化，而且还会引起奇点稳定性的变化，即引起相平面中轨线分布的结构发生变化。

定义 如果控制参数 发生一微小变化，方程(1.4.1)的奇点数目及其稳定性不发生变化，则称系统是结构稳定的；否则，系统是结构不稳定的。

这样定义的稳定性称为结构稳定性。

2、分支过程
由上述分析可见，控制参数 固定，相空间中奇点的数目及其稳定性就是确定的。

因此，相空间轨线的流型结构(拓朴结构)也是确定的。

如果某一参数 发生一个小扰动，相空间轨线的流型结构未发生变化，我们称这样的参数为普通参数。

如果某一参数 在达到c 时，一个微小的扰动就会使相空间轨线的流型结构发生根本性的改变，这时我们称系统发生了分支现象， 称为分支参数， 称为分支点或临界点。

分支现象是参数 在分支点c 处引发的，要么它使一种奇点由稳定变为不稳定，要
么它使一种稳定奇点变为另一种不稳定奇点。

这两种作用都会使相空间轨线的流形结构发生质的改变。

因此，由稳定奇点变为不稳定奇点的条件就形成了确定分支点 的基本条件。

根据上节的讨论可知：在实特征根的情形，0 T 和0 对应渐近稳定结点，0 对应不稳定的鞍点，在复特征根的情形，0 T 对应渐近稳定焦点，0 T 对应不稳定焦点。

所以，确定奇点稳定性发生改变的分支点方程为
0)(0
)(c c T (1.4.4)
在详细研究分支点条件之前，先讨论一下分支过程。

在参数 达到分支点c 时原吸引子( c 时的渐近稳定奇点)失去稳定性，取而代之的不仅仅是不稳定奇点，而且还会产生出新的吸引子，如定态吸引子和周期吸引子等。

也就是说在分支点附近不稳定奇点和吸引子是成对出现的。

这些新产生出来的吸引子和不稳定奇点统称为方程（1.4.1）的新分支解。

如果新分支解出现在 c 区域就称为亚临界分支；如果它出现在 c 区域就称为超临界分支(图。

我们把新老分支解与分支参数 的关系图称为分支图。

图 分支图：超临界分支(a)和亚临界分支(b)
(实线：渐近稳定解，虚线：不稳定解)
上述是以分支点存在的前提下讨论的，但是满足条件(1.4.4)并不能完全断定c 就一定是分支点。

要能完全确定c 是分支点还需要一些补充条件。

首先讨论一下特征根为重根的情况。

为此，令
y Y Y x
X X 00
(1.4.5)
其中
y x z 是定态解(00,Y X )上的小扰动。

把方程(1.4.5)代入，得
),()(z h z I dt
dz
(1.4.6)
其中
22211211
)(a a a a
I (1.4.7)
是线性化系数矩阵，也可称为线性化算子，而),(z h 代表所有的非线性项。

线性化方程。