粘弹性体

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
������
������ ������������������ {{ ������������������ (������) }} 可近似由 ������������������ (������) , (������ = 1,2, ⋯ , ������)
������ 1 2 ������ 的多项式函数 ������������������ (������������������ , ������������������ ⋯ , ������������������ ) 来加以表示。
第七章 粘弹性体
§7.1 引 言
给定阶跃应变
������
0
������ = ������
0
������(������)
弹性体和粘弹性体的应力响应 ������ 0 如下图:
是拉伸方向的对 数应变和对数应力 ������(������) 是Heaviside单位阶梯 函数
������
0
、������
0
������
0
(������)
������
0
(������)
������
0
(������)
������
0
������
0
������
0
(a)给定应变
������
(b) 弹性体
������
(c) 粘弹性体
������
给定阶跃应力 ������ 0 ������ = ������ 0 ������(������) 弹性体和粘弹性体的应变响应 ������ 0 如下图:
上式中若用积分核 ������������������������1 ������1 ⋯������������ ������������ 改写,则有
������ ������������������ ������ ������ ������
=
0 0

0
K PQ ������1 ������1 ⋯������k ������k ������, ������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ������������1 ������1 ������1 ������������2 ������2 ������2
0
0 =0 ������ ������������ ������ ,������ 0 ������ (������)d������ 0
������������
������ 时刻的弹性模量
类似地,当应变响应是应力历史的线性泛函时,由Riesz表示定理,可知 Boltzmann叠加原理成立
故有
������
������
0 ������0 ������ − ������ ������0 0 − ������ ������0 ������ − ������ d������ = 1 ������������ 当 ������ ≥ ������ 时,������0 (������ − ������) ≥ ������0 (������ − ������) ,可进一步得出
������ ������, ������ d������ = 1
在以上讨论中,可以看出 ������ ������, ������ 不仅与 ������ 有关,而且还与 ������ 有关,可用 来描述具有老化特性的粘弹性介质的力学行为。如果应力松弛函数具有时间 平移不变性,则 ������ ������, ������ 可以表示为 ������0 ������ − ������ ,它可用来描述无老化粘弹 性介质的力学行为。 对于无老化粘弹性介质,上式可改写为
������������ ������−������
������0 ������ − ������ ������0 ������ − ������ ≤ 1 且当 ������ = ������ 时,上式取等号


以上讨论表明了粘弹性介质中的应力 ( 应变 ) 响应 的应变 ( 应力 ) 历史相关性。这种相关性可通过应变 (应 力)历史的时间积分来加以描述,也可以通过其他途径 描述。 下面,将介绍几种在有限变形下的三维粘弹性本 构模型。主要有Green-Rivlin(格林-瑞利)多重积分型本 构理论,单积分型的本构关系,高聚物本构关系。 此外,还有粘弹性本构关系的内变量理论。
当应力响应是应变历史的线性泛函时,由Riesz表示定理,可知Boltzmann叠 加原理成立 故有
������
0
������ =
������ 0
������ ������, ������ d������
0
(������)
其中 ������ ������, ������ 称为松弛函数 对上式分部积分,并利用初始条件 ������ ������ 0 ������ = ������ ������, ������ ������ 0 ������ − 有 其中 ������ ������, ������ 为
������, ������
与蠕变函数 ������
d������ =
������, ������
的关系
������ ������������ ������ ,������ ������ ������������
������ 1 ������������ ������ ,������ ������ ������ ������ ,������ ������������
0
������ =
������ 0
������ ������, ������ d������
0
0
(������)
0 =0
其中 ������ ������, ������ 称为蠕变函数 对上式分部积分,并利用初始条件 ������

������
0Βιβλιοθήκη Baidu
������ = ������ ������, ������ ������
α ⋯ EM kkN k
t
t
������
=
0 0

0
������������ 1 (������1 )������������ 2 (������2 ) ⋯ ������������ ������ (������������ )������������1 ������1 (������1 )������������2 ������2 (������2 ) ⋯ ������������������ ������������ (������������ ) d������1 d������2 ⋯ d������������
当������ = ������ , 当������ ≠ ������ .
而 称为对应于 ������
������������������ =
������
(������ )
������ 0
������������������ (������)������
(������)dτ
(������) 的Fourier系数
������
0
(������)
������
0
(������)
������
0
������
0
(a) 给定阶跃应力
������
(b) 弹性体
������
������
0
(������)
������
0
(������)
������
0
������
0
(a) 粘弹性固体
������
(a) 粘弹性流体
������
对于粘弹性体,阶跃应变下的应力是时间的递减函数,这种现象 称为应力松弛。当时间趋于无穷大时,如果应力趋于大于零的有限值, 则材料性质更接近于固体,反之,如果应力很快趋于零,则材料性质 (0) 更接近于流体。如果在 ������ = ������1 时刻输入阶跃应变 ∆������1 的小量,作为 线性近似,应力响应可近似地写为
������������������ ������ =
其中 ������
������
������ ∞ ������ ������ ������ =1 ������������ ������
������
(������) 满足
< ������
������
, ������
������
>=
1, 0,
������
������ ������������ ������ ,������ ������ ������������
������ ������������ ������ ,������ ������ ������������
d������ d������
������ ������, ������ ������ ������, ������ −
������ ������, ������1 称为线性应力松弛模量。
������
0
������ = ������ ������, ������1 ∆������10 (������1 )
对于粘弹性体,阶跃应力下的应变是时间递增函数,这种现象称 为蠕变。当时间趋于无穷大时,如果应变的时间变化率趋于零,则材 料性质更接近于固体,反之,如果应变的时间变化率趋于大于零的有 限值,则材料性质更接近于流体。如果在 ������ = ������1 时刻输入阶跃 ∆������1(0) 的应力小量,作为线性近似,应力响应可近似地写为
§7.2 Green-Rivlin 多重积分型本构理论
������ ������ = ������ ������ ∙ (������ℜ0 {{ ������(������) }}) ∙ ������T ������
其中, ℜ0表示对应于初始时刻 ������0 的参考构形, ������ ������ = ������ ������, ������ − ������ 表示 ������ 时刻的工程应变, {{ ⋯ }} 表示泛函。在直角坐标系中,上式的分 量形式可写为 ������������������ ������ = ������������������ ������ ������������������ ������ (������������������ {{ ������������������ (������) }}) 如假定 ������������������ (������)是区间 0 ≤ ������ ≤ ������ 上的连续函数,则它可在某一选取的标准 正交完备基 ������ (������ ) (������) 上展开为
������ ������, ������1 称为线性蠕变柔度。
������
0
������ = ������ ������, ������1 ∆������1 0 (������1 )
线性应力松弛模量和线性蠕变柔度有如下关系式 1 ������ ������1 , ������1 = ������ ������1 , ������1
现假定由上得出的式 ������������������ ������ = ������������������ ������ ������������������ ������ (������������������ {{ ������������������ (������) }}) 中,������������������ 是 ������������������ (������) 的连续泛函,则利用连续泛函的Fr é chet展开,对应于给定的 标准正交完备基 ������
按照以上描述,有
������
������������������ {{ ������������������ ������ }} = lim
������→∞
������ ������������������ ������ =1
其中
������ ������������������
=
α α EM 11N 1 EM 22N 2
⋯ ������������������ ������������ (������������ )������������1 ������������2 ⋯ ������������������
假定材料性质具有时间平移不变性,考虑两个完全相同但在时间上滞后的变 ������ ������ 形梯度历史,可以得到 ������������������ ������ = ������ ′ ������������ ������ + ������ , (������ = 0,1,2 ⋯ )
0
������ −
其中 ������ ������, ������ = 1/������ ������, ������
������ ������������ ������ ,������ 0 ������������
������
0
(������)d������
讨论松弛函数 ������
������ ������, ������ ������ ������, ������ − ������ ������, ������ +
相关文档
最新文档