大学文科数学及试题答案

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东莞理工学院（本科）清考试卷参考答案
2010 --2011 学年第 二 学期
《 大学文科数学 》清考试卷参考答案
开课单位： 数学教研室 考试形式：闭、开卷，允许带 入场
一、选择填空题 （共 70 分 每空2 分）
1、设函数()ln(1)f x x =
-，则函数()f x 的定义域为（ C ）;
A) (1,2) , B) [1,2] , C) (1,2] , D) [1,2). 2、设()()2
,cos f x x x x ϕ==，则()()2
lim x f x B π
ϕ→
=⎡⎤⎣⎦;
A) 2
cos
4
π , B) 0 , C)
1
2
, D) 1. 3、设()()2
,sin f x x x x ϕ==,
(){}(
);f x C ϕ'=⎡⎤⎣⎦
A) sin 2x , B) 2sin x , C) 2
2cos x x , D) 2
cos x .
4、极限23
11
lim ()34
x x B x x →-=+-;
A)
12, B) 1
3
, C) 0 , D) 1. 5.极限33
31
lim ()21
x x x B x x →∞-+=+-.
A) 1, B) 32, C) 0, D) 23
.
6.下列命题中正确的是( A );
A) 1lim sin
1x x x →∞=, B) 01
lim sin 1x x x
→= ,
C) 1lim sin 0x x x →∞=, D) 0sin lim 0x x
x
→=.
7、若函数()11x
f x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，则()()lim x f x B
→+∞
=;
A) 1, B) e , C)
1
e
, D) 0. 8、若函数()11x
f x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，则()()0lim x f x A
+
→=;
A) 1 , B) e , C)
1
e
, D) 0. 9、设()3f x x ax b =++，且()13f =，()0
lim 2x f x →=，则()D ;
A) 2,0a b ==, B) 2,1a b =-=, C) 2,1a b ==-, D) 0,2a b ==. 10、设1()1x
f x x
-=
+，则(0)()f A
'=; A) 2-, B) 1-, C) 0, D) 2.
11、曲线2
1y x =-+单调上升区间为( A );
A) (,0]-∞, B) (,1]-∞, C) [0,)+∞, D) [1,)+∞. 12、曲线2
y x =在点(1,1)的切线方程为 ( C );
A) 1(1)y x -=--, B) 1
1(1)2
y x -=
- , C) 12(1)y x -=-, D) 11y x -=- .
13、若()5
51f x x x =+-，则(5)
()f
x =( D );
A) 0, B) 12, C) 24, D) 120.
14、当(
)x B
=时，函数3()32f x x x =-+取得极大值，该极大值等于4；
A) 1, B) 1-, C) 0, D) 3.
15.当1x =时，函数3
()31f x x x =-+取得极小值，该极小值等于( B ).
A) 0, B) 1-, C) 2-, D) 3-.
16、设函数()2sin ,0,
3,0.x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩ 则()(
)0
f x dx C
π
=⎰;
A) 0, B) 1, C) 2 , D) 3.
17、设函数()2sin ,0,
3,0.x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩ 则()(
)01
f x dx C
-=⎰;
A) 1-, B) 0, C) 1, D) 2-.
18、设函数()sin ,0,
2,0.x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩ 则()(
)1
f x dx D
π-=⎰;
A) 0, B) 1, C) 2, D) 3. 19
、积分
()20
1
1dx B
x =+;
A)
2π, B) 3π, C) 4π, D) 6
π. 20.积分
()(
)0
2cos x x dx A
π
-=⎰;
A) 2
π, B) 2
1π- , C) 2
2π-, D) 2π. 21、积分(
)0cos x xdx C
π
=⎰
;
A) 0, B) 1-, C) 2-, D) 3-. 22、积分(
)1
21
;x e
dx C
+=⎰
A) 2
(1)e e -, B) 3
e ,
C)
21(1)2
e e -, D) 312e .
23、若1
1x
ke dx =⎰
，则数(
);k B
=
A) 1, B)
11e -, C) 1e , D) 1
1
e +.
24.曲线2
,y x y x ==围成的平面图形的面积的( C );
A) 12, B) 13, C) 16, D) 112
.
25、设矩阵101011001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，110011000B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭， 则AB A
⎛
⎫
⎪=
⎪ ⎪⎝
⎭
; A) 110011000-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭, B)
112011002--⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭, C) 100110010⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
, D)
100110212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭
. 26. 设矩阵101011001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，110011000B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭， 则T T
B A C
⎛⎫
⎪=
⎪ ⎪⎝
⎭
; A) 110011000-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭, B)
112011002--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭, C) 100110010⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
, D)
100110212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭
.
27、设矩阵11201100A λ-⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭，当(
)D
λ=时，2A =；
A) 2-, B) 1-, C) 1, D) 2.
28.设矩阵121021021A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则()(
);r A =
A) 0, B) 1, C) 2, D) 3.
A) 6-, B) 6, C) 24, D) 24-.
30.设矩阵11001002A λ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，123x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，001b ⎛⎫ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
. 则当()C
λ≠时，线性方程组
Ax b =有唯一解;
A) 2-, B) 1-, C) 0, D) 1.
31、设向量12,x x 是线性方程组Ax b =的两个解，则(
)D
是线性方程组Ax b =的解;
A) 12x x +, B) 12x x -, C) 122x x +, D) 122x x -. 32、设向量12,x x 是线性方程组Ax b =的两个解，则(
)A
是线性方程组0Ax =的解;
A) 12,x x - B) 12,x x + C) 122,x x + D) 122.x x -
33、设矩阵1
10011001A λ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，当(
)D
λ≠时，矩阵A 可逆；
A) 2,- B) 1,- C) 0, D) 1. 34、设矩阵1237M ⎛⎫=
⎪⎝⎭,1
.M A -⎛⎫
= ⎪⎝⎭ A) 72,31-⎛⎫
⎪-⎝⎭
B)
73,21-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
C) 73,21⎛⎫
⎪⎝⎭ D) 12.37-⎛⎫
⎪-⎝⎭
35.设矩阵100020003M ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
,则()1
.M B -=
A) 300020,001⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
B)
10
001/20,001/3⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
C) 100020,003-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
D)
1
0001/20.001/3-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
二、填空题 （共 30 分 每空3 分）
1.设函数()1
arctan 2f x x
=+，则函数()f x 的定义域为()\{2}x R ∈-; 2. 若函数ln 55x
x x
y x e ==，则()
5(1ln )x y x x '=+;
3. 若函数()1x f x e +=，则()()
()1n x f x e +=;
4. 极限2
01cos 1
lim
(
)2
x x
x →-=;
5. 极限sin lim (
1)x x x
x
→+∞+=;
6.不定积分
2
1ln 1(1ln )2x dx x C x +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
⎰; 7. 定积分
()11
22x dx -=⎰
;
8.设矩阵1101A ⎛⎫=
⎪⎝⎭,则1001100;01A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
9.行列式()123
2
3112
321
=-;
10.齐次线性方程组12323320,0.x x x x x +-=⎧⎪⎨⎪-=⎩的通解为12311;1x x c x -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
南京晓庄学院大学文科数学课程考试试卷
2010 – 2011
学年度第 一 学期 院（系） 级 共 页 教研室主任审核签名： 院（系）领导审核签名： 命题教师： 数信院公共教研室 校对人：
班级 姓名 学号 得分
一、选择题（每小题3分，共15分） 1.下列函数为初等函数的是( B ) (B). y =
(C).⎪⎩⎪
⎨⎧=≠--=1
11
12x x x x y (D).⎩⎨⎧≥<+=0
01x x x x
y
2.当x →0时，与sin x 等价的无穷小是( A )
(A) 2
x x + (B) x x sin x 2
3.设)0(f '存在，则0
(0)()
lim
x f f x x
→--＝( D )
(A) )0(f '- (B) )0(2f '- (C) )0(2f ' (D) )0(f ' 4. 物体在某时刻的瞬时速度，等于物体运动在该时刻的（ D ） (A)函数值 (B)极限 (C) 积分 (D)导数 5.若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（ C ） (A) x cos 1+
(B) sin x x + (C) sin x x - (D)x cos 1-
二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设函数
cos , 0() ,0
x x f x x a x <⎧=⎨-≥⎩在0x =点连续，则=a ____1-_____.
2. 设2
)(x x f =, 则[()]f f x '= ____2
2x _ ____ .
3．sin lim
x x
x
→+∞= 0
4. 曲线1
y x
=在点（1,1)处的法线方程为 y x =
5. (1cos )x dx -⎰
= sin x x c -+ . 三、计算题（每小题5分，共40分） 1. 求函数
()ln(21)f x x =-.
解：2
90x ->且210x ->,所以函数
()ln(21)f x x =-+
的定义域：
1
32
x << 2. 设ln(2)y x =-，求其反函数
解：由2y e x =-得 2y
x e =+所以函数ln(2)y x =-的反函数是：x
e y +=2，
(,)x ∈-∞+∞ 3.求极限20(1)
lim sin x x x e x
→-
解：20(1)lim sin x x x e x →-=001lim lim sin x x x x e x x →→-=01lim
11
x
x e →⋅= 4.求极限3
0tan lim
x x x
x →-
解： 3
0tan lim x x x
x →-=220sec 1lim 3x x x →-=222
22001cos sin 1lim lim 3cos 33x x x x x x x →→-== 5. 已知2
ln(1)ln y x x =+-，求dy
解：因为y '=2
211x x x
-+所以dy =22
1d (1)x x x x -+ 6.求2cos x
y e
x =的微分y '
解：y '
=222cos sin x x
e x e x -=2(2cos sin )x
e x x -
7. 求不定积分
21x
dx x -⎰
解：
21x dx x -⎰=211dx x
x ⎡⎤
-=⎢⎥⎣⎦⎰211d d x x x x -⎰⎰=1
ln x C x
--+ 8. 求定积分
21
ln e
x xdx ⎰
解：
2
1
ln e
x xdx ⎰
=3311ln 3
9e
x x x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ =31(21)9e +
四、综合应用题（每小题10分，共30分）
1. 证明方程012=-⋅x
x 至少有一个小于1的正实数根.
解：令()21x f x x =⋅-， ()010f =-< ,()110f =>, ()f x 闭区间[]0,1上连续， 由根的存在性定理，有()0,1ξ∈，使得()0f ξ= ,即012=-⋅x x 至少有一个小于1的
正实数根
2. 欲做一个体积为72立方厘米的带盖箱子，其底面长方形的两边成一比二的关系，怎样
做法所用的材料最省？
解：设底面长方形的两边的边长为x 厘米，x 2厘米，则高为236
2.72x
x x =厘米 表面积x x x x x x x x S 21642).36.2(2).36.(2).2.(2
2
2+=++= 求导 0216
82,
=-
=x
x S 所以在区间),0(+∞上只有唯一的驻点3=x
又因为在实际问题中存在最值，所以驻点3=x 就是所求的最值点。

即当底面边长为3厘米，6厘米，高为4厘米时所用的材料最省。

3. 求由曲线x
y 1
=
与直线24==x x y 及所围成的平面图形的面积. 解：由曲线x y 1
=与直线x y 4=得到交点)2,2
1(
所以所围成的平面图形的面积.S=dx x x )1
4(22
1⎰-
即.S=dx x x )14(22
1⎰-=2221)ln 2(x x -=
4ln 215-
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《 大学文科数学 》模拟卷一解答
一、填空题A （共70分 每空2分）
1、设函数(
)1
f x x
=
则函数()f x 的定义域为
（(0,)+∞），(1)(2).f =
2
、函数y =
可看成由(21)y u x ==-复合而成. 3、0
lim(1)(
1
)x x →-=-， 239
lim
(6)3
x x x →-=-，
22231lim ()21
2
x x x x →∞-+=+.
4、1
1
x y x -=
+，当(1)x →-时为无穷大量，当(1)x →时为无穷小量 5、若函数()11x
f x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
， 则()()lim x f x e
→+∞
=，
若函数()1
sin g x x x
= , 则()0lim ()0
x g x →=.
6、设()2f x x ax b =++，且()11f =，()0
lim 1x f x →=， 则(
)(
)1
,1.a b =-=
7、设()ln f x x =，则1
()(
),
(1)(
1
)f x f x
''==.
8、曲线2y x =单调增加区间为（ [0,+∞) ），其在点(1,1)处的切线方程为（
210
x y --=）.
9、若()321f x x x =-+-，则=')0(f ( 2 ),''
(0)f =( 0 ).
10
、若ln 5x y e =+
，则()x y e '=+
，(().x dy e dx =
11、当(
)1x =-时，函数3()3f x x x =-取得极大值，该极大值为
(
)2
.
12
、3
22(
)3
x C =+， (
).x x e dx e C =+⎰
13、1
3
1(
)4
x dx =⎰，
(sin cos )(0).x x dx π
+=⎰
14、画出由3y x =，8y =与y 轴所围成的平面图形
（
）
它的面积是（
12
）.
15、设矩阵110011001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，113011002B -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
， 则
003(
002)003A B -⎛⎫
⎪-= ⎪ ⎪-⎝
⎭
，124(
01
2)002BA --⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝
⎭
.
16、已知100130132A ⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥
⎢⎥⎣⎦，则A =（ 6- ）， 3A =（ 162- ）. 17、若矩阵110
102
10000200
00A -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥-⎢
⎥⎣⎦，则()R A =（ 3 ）；若矩阵1002B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，则110(
)102B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
.
二、填空题B （共 30 分 每空3分）
1、设,0
()1,0
x e x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，则()0
lim x f x →=（ 1 ）.
2、21lim 1x
x x -→∞
⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
=(
21
e
). 3、2
cos 1
lim
x x x →- =( 12- ). 4、函数2()22f x x x =--在区间[]2,2-上的最小值为（ 3- ）．
5、设函数2e x y x =，则y '=（
2(2)x x x e +）.
6、积分21
1
(1)2
x xe dx e ⎛
⎫=-
⎪⎝⎭
⎰. 7、设函数()f x x = 则()(
)1
1
1
f x dx -=⎰.
8、已知25461321X -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则X =（22308-⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
）. 9、设123412341234101222
x x x x x x x x x x x x ⎧
⎪-+-=⎪
--+=⎨⎪⎪--+=-⎩ ，则方程组（ 有无穷多解 ）（填无解、
有惟一解、有无穷多解三者之一），有解时方程组的全部解为
11213242
12,12x c x c x c x c ⎛⎫
⎧=+ ⎪⎪ ⎪⎪
= ⎪
⎪⎨
⎪⎪ ⎪=+⎪ ⎪⎪ ⎪=⎩⎝
⎭
12其中c ,c 为任意实数.
二．设曲线
x x y sin 2+=，求dy 以及该曲线在3
π
=
x 处的切线方程。

(10
分)
三．讨论函数x x y -=3的单调区间、极值。

(10分)
四．计算下列积分：(一共30分，每小题5分) 1.
⎰-dx x 2
7)
3( 2.
⎰+-dx x 1
231
3. ⎰dx x
x
ln ln 4. ⎰-602)1(dx x 5. ⎰dx x
x
ln ln 6. ⎰
-6
2)1(dx x
五．试计算301.8的近似值。

(10分)
六．试求曲线2x y =与2
8x y -=所围成的平面图形的面积。

(10分)
《微积分（1）》练习题
一．单项选择题
1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()()()0000
lim
x f x x f x x f x '=∆-∆-→∆ B ．()()()0000lim x f x
x f x x f x '-=∆-∆-→∆
C ．()()()0000
2lim
x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()00002
1
2lim x f h x f h x f h '=-+→
2．下列极限不存在的有（ ）
A ．201
sin lim x
x x → B ．12lim 2+-+∞→x x x x
C ． x
x e
1
lim → D ．()
x
x x
x +-∞
→6
3
2
21
3lim
3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ）
A ．x e 22--
B ．x e 2-
C ．x e 24-
D ． x xe 22--
4．函数⎪⎩
⎪
⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（ ）间断点。

A ．跳跃间断点；
B ．无穷间断点；
C ．可去间断点；
D ．振荡间断点
5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ） A ． 当()()0<b f a f 时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0=ξf ； B ． 对任何()b a ,∈ξ，有()()[]0lim =-→ξξ
f x f x ；
C ． 当()()b f a f =时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0='ξf ；
D ．至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -'=-ξ；
6． 已知()x f 的导数在a x =处连续，若()1lim
-=-'→a
x x f a
x ，则下列结论成立的有（ ） A ．a x =是()x f 的极小值点； B ．a x =是()x f 的极大值点； C ．()()a f a ,是曲线()x f y =的拐点；
D ．a x =不是()x f 的极值点，()()a f a ,也不是曲线()x f y =的拐点； 二．填空： 1．设⎪⎭
⎫
⎝⎛=x f y 1arcsin
，f 可微，则()='x y 2．若32325-+-=x x x y ，则()=6y
3．过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线，则切线方程为
4．曲线()2142
-+=
x
x y 的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为 5．设x x f +='1)(ln ，则()='x f ()=x f
三．计算题：
（1）321lim 221-+-→x x x x （2）3
2lim +∞→⎪⎭
⎫
⎝⎛-x x x x
（3）x
x x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]221ln x y -= 求dy
（5）053=-+x y e
xy
求
=x dx
dy
四．试确定a ，b ，使函数()()⎩
⎨⎧<-≥+++=0,10
,2sin 1x e x a x b x f ax
在0=x 处连续且可导。

五．试证明不等式：当1>x 时，()
e xe 2
1
e x e x x
+<<⋅
六．设()()()()a x a
x a f x f x F >--=
,，其中()x f 在[)+∞,a 上连续，()x f ''在()+∞,a 内
存在且大于零，求证()x F 在()+∞,a 内单调递增。

《微积分》练习题参考答案
七．单项选择题 1．（ B ）2．（ C ）3．（ A ）4．（ C ） 5．（ B ）6．（ B ） 八．填空：（每小题3分，共15分） 1． ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
'--
x f x x 1arcsin 11
2
2． ()06=y 3． 12+=x y 4． 2-=y ， 0=x
5． ()x e x f +='1，()c e x x f x ++=
三,计算题：（1）321lim 221-+-→x x x x （2）3
2lim +∞
→⎪⎭
⎫
⎝⎛-x x x x
2
1222lim 3
21lim
122
1=+=-+-→→x x x x x x x ()2
62lim 3223
)21(lim 2lim -+-+⎪⎭
⎫
⎝⎛-•-∞→+∞
→==-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∞→e e x
x x x x x x x x x x x （3）x x x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]2
21ln x y -= 求dy
3
1
3lim 3sin )1ln(lim 2
020=
⋅=+→→x x x x x x x x ()[]()()[]dx x x dx x x dy 2121ln 4221121ln 2---=-⋅-⋅-= （5）053=-+x y e
xy
求
=x dx
dy
()xy
xy
xy xe y ye y y y y x y e +-='⇒=-'+'+2
235053
又10-=⇒
=y x
2351
02
=+-='-===y x xy
xy x xe y ye y
（
九．试确定a ，b ，
使函数()()⎩
⎨⎧<-≥+++=0,10
,2sin 1x e x a x b x f ax
在0=x 处连续且可导。

（8分）
解：()()[]22sin 1lim 000
++=+++=++→b a a x b f x
()[]
01lim 000
=-=--→ax x e f ， 函数()x f 在0=x 处连续()()0000-=+f f
02=++b a ， （1）
()()[][]b x
a b a x b f x =++-+++='+
→+22sin 1lim 00
()[]a x
e x b a e
f ax x ax x =-=++--='→→--1
lim 21lim 000
函数()x f 在0=x 处可导()()00-+'='f f ，故b a = （2） 由（1）（2）知1-==b a
十．试证明不等式：当1>x 时，()
e xe 2
1
e x e x x
+<
<⋅ （8分） 证：（法一）设()t
e t
f = []x t ,1∈ 则由拉格朗日中值定理有
()()()111-<-=-<-x e x e e e x e x x ξ ()x ,1∈ξ
整理得：()
e xe 2
1
e x e x x
+<
<⋅ 法二：设()ex e x f x
-=
()()10>>-='x e e x f x 故()ex e x f x -=在1>x 时，为增函数，
()()01=>-=f ex e x f x ，即ex e x >
设()()
e xe e x
f x
x
+-
=2
1
()()
()()1012
1
21><-=+-
='x x e xe e e x f x x x x 故()()
e xe e x
f x
x
+-
=2
1在1>x 时，为减函数，
()()()0121=<+-=f xe e e x f x x x ，即()e xe 2
1
e x x +<
综上，()e xe 2
1e x e x
x +<<⋅
十一． 设()()()()a x a
x a f x f x F >--=
，其中()x f 在[)+∞,a 上连续，()x f ''在()+∞,a 内存在且大于零，求证()x F 在()+∞,a 内单调递增。

（5分） 证：()()()()()()2
)
(a x a f x f a x x f x F ----'=
' ()()()()()x a a x a x f a x x f <<--'--'=
ξξ2
)(
()()a x f x f -'-'=
ξ
()()()x a
x x f <<>--''=ηξξη0 故()x F 在()+∞,a 内单调递增。

一、选择题(每题2分)
1、设x ƒ()定义域为（1,2），则lg x ƒ()的定义域为（） A 、（0,lg2）
B 、（0，lg2]
C 、（10,100）
D 、（1,2）
2、x=-1是函数x ƒ()=()
22
1x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点
3、试求0x →
A 、-1
4
B 、0
C 、1
D 、∞ 4、若
1y x
x y
+=，求y '等于（） A 、
22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y
-- D 、22x y
x y +-
5、曲线2
21x
y x =
-的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3
6、下列函数中，那个不是映射（） A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、
__________
2、、2(1))lim ()1
x n x
f x f x nx →∞-=+设 （
，则 的间断点为__________
3、21lim
51x x bx a
x
→++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________
5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（，
）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）
1、2
2
1x y x =
+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim
β
βαα
=∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分） 1、1sin x
y x
=求函数 的导数
2、21
()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求
3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求
4、20tan sin lim
sin x x x
x x
→-求
5、
计算
6、2
1
lim(cos )x x x +
→计算 五、应用题
1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R
x x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利
润最大的情况下，总税额最大？（8分）
2、描绘函数21
y x x
=+的图形（12分）
六、证明题（每题6分）
1、用极限的定义证明：设01lim (),lim
()x x f x A f A x +→+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数
一、 选择题
1、C
2、C
3、A
4、B
5、D
6、B 二、填空题
1、0x =
2、6,7a b ==-
3、18
4、3
5、20x y +-= 三、判断题
1、√
2、×
3、√
4、×
5、× 四、计算题 1、
1sin
1
sin
1sin ln 1
sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )
x
x
x x
x x
y x e
e x x x x x x x x x x x
'='='
⎡
⎤=-+⎢⎥⎣
⎦=-+（（
2、
22
()112(arctan )121arctan dy f x dx
x
x x dx x x xdx
='=+-++=
3、 解：
2
22
2)2)222302323(23)(23(22)(26)
(23x y xy y y x y
y x y y x y x y yy y x y
--'+'=-∴'=--'----'∴''=
-
4、
解：
2223000tan sin ,1cos 2
1tan (1cos )12lim lim sin 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x →→
→--∴==当时，原式=
5、
解：
652
3
22
22
2
61)6111611
6(1)166arctan 6arctan
x t dx t t
t t t t t t
t t C C
===
+=++-=+=-+=-+=-+⎰⎰
⎰
⎰令原式（
6、 解：
2
2
01
ln cos 0
1lim
ln cos 202
0001
2
lim 1lim ln cos ln cos lim 1
(sin )
cos lim 2tan 1
lim 22x x
x x x
x x x x x e e
x x
x
x x x x
x x e
+
+
→+++
+→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中：
原式
五、应用题
1、解：设每件商品征收的货物税为a ，利润为()L x
222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)
4
1
(502)
4
1
0250
2
25L x R x C x ax
x x x x ax x a x L x x a
a
L x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==
-=
'=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时，T 取得最大值
2、 解：
()(
)2
3
00,01
202201
D x y x x y x y x y x =-∞⋃+∞='=-
'==''=+
''==-，间断点为令则令则
渐进线：
3
2
lim
lim00
1
lim
x
x
x
y y
y x y
y x
y
x x
→∞
→
→∞
=∞∴
=∴=
+
==∞∴
无水平渐近线
是的铅直渐近线
无斜渐近线
图象
六、证明题
1、
证明：
lim()
0,0
()
111
1
()
1
lim()
x
x
f x A
M
x M f x A
x M M M x
f A
x
f A
x
ε
ε
ξ
ε
→∞
→∞
=
∴∀>∃>
>-<
><<>
∴-<
=
当时，有
取=，则当0时，有
即
2、 证明：
[]()1()0,1(0)10,(1)10
0,1()0,1()(1)0,(0,1)
()0,110,1x x
x f x xe f x f f e f e f x x e x f x xe ξξξξ=-=-<=->∈=='=+>∈∴-令在（）上连续由零点定理：至少存在一个（），使得即又
则在上单调递增
方程在（）内有且仅有一个实根
高等数学微积分公式大全
一、基本导数公式
⑴()0c '= ⑵1
x x
μ
μμ-= ⑶()sin cos x x '=
⑷()cos sin x x '=- ⑸()2
tan sec x x '= ⑹()2
cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅
⑼()x
x
e
e
'= ⑽()ln x
x
a
a
a '= ⑾()1
ln x x
'=
⑿(
)
1
log ln x
a
x a '=
⒀(
)arcsin x '= ⒁(
)arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=
+ ⒃()2
1arccot 1x x
'=-+⒄()1x '=
⒅
'
=
二、导数的四则运算法则
()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭
三、高阶导数的运算法则 （1）()()()
()
()
()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()
()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦
（3）()()()
()n n n
u ax b a u
ax b +=+⎡⎤⎣⎦
（4）()()()
()()()()0
n
n n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦
∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()
()
!n n
x n = （2）()
()
n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()
()
ln n x x n a a a =
(4)
()()
sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛
⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪
⎣⎦
⎝
⎭
(5)
()()
cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛
⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦
⎝
⎭
(6)
()
()
()
1
1!
1n n n
n a n ax b ax b +⋅⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭
+ (7)
()()
()
()()
1
1!
ln 1n n n n
a n ax
b ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦
+
五、微分公式与微分运算法则
⑴()0d c = ⑵()
1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()x x d e e dx = ⑽()
ln x x d a a adx = ⑾()1
ln d x dx x
= ⑿(
)1
log
ln x
a
d dx x a =
⒀()arcsin d x =
⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =
+ ⒃()2
1
arccot 1d x dx x
=-+ 六、微分运算法则
⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2
u vdu udv
d v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭
七、基本积分公式
⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμ
μ+=++⎰ ⑶ln dx
x c x
=+⎰ ⑷ln x
x
a a dx c a
=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰
⑻2
21sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼2
21csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰
⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾
arcsin x c =+
八、补充积分公式
tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰
22
11arctan x
dx c a x a a
=++⎰ 22
11ln 2x a
dx c x a a x a
-=+-+⎰
arcsin
x
c a
=+ ln x c =+
九、下列常用凑微分公式
十、分部积分法公式
⑴形如n ax x e dx ⎰
，令n
u x =，ax
dv e dx =
形如sin n x xdx ⎰令n
u x =，sin dv xdx =
形如cos n
x xdx ⎰
令n
u x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n
x xdx ⎰，令arctan u x =，n
dv x dx =
形如ln n
x xdx ⎰，令ln u x =，n
dv x dx =
⑶形如sin ax e xdx ⎰
，cos ax
e xdx ⎰
令,sin ,cos ax
u e x x =均可。

十一、第二换元积分法中的三角换元公式
sin x a t =
(2) tan x a t =
sec x a t =
【特殊角的三角函数值】 （1）sin00= （2）1sin
6
2π
=
（3
）sin 32π= （4）sin 12
π
=） （5）sin 0π=
（1）cos01= （2
）cos
6
2π
=
（3）1cos 32π= （4）cos 02π
=） （5）cos 1π=- （1）tan 00= （2
）tan
6
π
=
（3
）tan 3π=4）tan 2
π不存在 （5）tan 0π= （1）cot 0不存在 （2
）cot 6
π
= （3
）cot
3
π
=
（4）cot 02
π
=（5）cot π不存在
十二、重要公式
（1）0sin lim 1x x
x
→= （2）()1
0lim 1x x x e →+= （3
）)1n a o >=
（4
）1n = （5）limarctan 2
x x π
→∞
=
（6）lim tan 2
x arc x π
→-∞
=-
（7）limarccot 0x x →∞
= （8）lim arccot x x π→-∞
= （9）lim 0x
x e →-∞
=
（10）lim x x e →+∞
=∞ （11）0
lim 1x
x x +
→= （12）0
101101
lim
0n n n m m x m a n m
b a x a x a n m b x b x b n m
--→∞⎧=⎪⎪++
+⎪
=<⎨+++⎪
∞>⎪⎪⎩
（系数不为0的情况） 十三、下列常用等价无穷小关系（0x →）
sin x x tan x x arcsin x x arctan x
x 2
11cos 2
x
x - ()ln 1x x + 1x e x - 1ln x a x a - ()11x x ∂
+-∂
十四、三角函数公式 1.两角和公式
sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ sin()sin cos cos sin A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=- cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+
tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=
- tan tan tan()1tan tan A B A B A B
--=+ cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ⋅-+=+ cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ⋅+-=- 2.二倍角公式
sin 22sin cos A A A
=
2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=- 22tan tan 21tan A A A
=- 3.半角公式
sin 2A =
cos 2A =
sin tan
21cos A A A ==+
sin cot 21cos A A A ==- 4.和差化积公式
sin sin 2sin cos 22a b a b a b +-+=⋅ sin sin 2cos sin 22
a b a b a b +--=⋅ cos cos 2cos cos 22a b a b a b +-+=⋅ cos cos 2sin sin 22
a b a b a b +--=-⋅ ()sin tan tan cos cos a b a b a b
++=⋅ 5.积化和差公式
()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =-+--⎡⎤⎣⎦ ()()1cos cos cos cos 2a b a b a b =++-⎡⎤⎣
⎦ ()()1sin cos sin sin 2a b a b a b =++-⎡⎤⎣⎦ ()()1cos sin sin sin 2
a b a b a b =+--⎡⎤⎣⎦ 6.万能公式
22tan
2sin 1tan 2a a a =+ 2
2
1tan 2cos 1tan 2a a a -=+ 22tan 2tan 1tan 2
a a a =- 7.平方关系 22sin cos 1x x += 22sec n 1x ta x -= 22csc cot 1x x -=
8.倒数关系
tan cot 1x x ⋅= sec cos 1x x ⋅= c sin 1cs x x ⋅=
9.商数关系
sin tan cos x x x = cos cot sin x x x
= 十五、几种常见的微分方程
1.可分离变量的微分方程：()()dy f x g y dx
= ， ()()()()11220f x g y dx f x g y dy += 2.齐次微分方程：
dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
3.一阶线性非齐次微分方程：()()dy p x y Q x dx
+= 解为：
()()()p x dx p x dx y e Q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰。