矩阵第五章 特征值的估计与广义逆矩阵

根据结论：首项系数不为零的n次多项式的n个根都是其系数的连续函数，矩阵的特征值是连续依赖于矩阵元素的。因此 的特征值 是连续依赖于u的。考虑 的情形。此时 是 的特征值， 是 的特征值。因此 在复平面上画出的曲线必然以 为起点，以 为终点。
设 的一个连通部分是由其k个盖尔圆构成的，记做D。因此 的k个特征值必在其中。如果D中没有 的k个特征值，则至少有一个 ，使得点 连续地变动到点 ，且 在D之外。由于 是A的特征值，因而必定在A的另一个连通部分 之中。
第五章特征值的估计与广义逆矩阵
注：先讲第三节可正好与第四章给出的“矩阵范数与谱半径的关系”联系起来。
§3谱半径的估计
定理1 ，则对于任一种矩阵范数，有 。
推论1） ；
2） ；
3） ，其中 为矩阵 的最大特征值。
定理2若A为正规矩阵，则 。
证明：因为A为正规矩阵，所以存在酉矩阵P，使得
，故有 ，从而
。于是 。□
一条连续曲线 的起点在D中，而终点在 中，这条曲线必然有一部分既不在D中，也不在 中，也不在A的其它连通部分之中。也就是说，存在 ，使得 不在A的所有盖尔圆之中。但因 是 的特征值，因而必定在盖尔圆
的并集之中。注意到 包含在 之中，所以产生矛盾。
同样可以证明，A在D中特征值的个数也不能多于k个。因此A在D中特征值的个数只能是k个。□
例1的第二种解法：
解：
，
所以
。
于是。故§源自 圆盘定理（定理1任一 阶复矩阵 的特征值都在复平面上 个圆盘（盖尔圆） 的并集内。其中 （第 行除对角线元素外各元素的模之和）。
证明：设 ，写成分量形式即为：
，
或为
。
设 为 的各分量中绝对值最大的一个，则 。将等式 两端同除以 并取绝对值得
。□
注1：圆盘 称为盖尔（Gersgorin）圆。由定理1的证明过程知，对于A的任一特征值 ，总存在盖尔圆 ，使得 。定理1只是说明了A的特征值落在A的 个盖尔圆的并集内，并没有指出特征值的具体分布情况。
二、 的{1}-广义逆的存在性及求法
定理2设 ，则存在 ， ，使得 。则 的所有{1}-广义逆的集合为
。（2）
证明：
于是，有
，
即（2）式成立。
注1：任一矩阵A的{1}-广义逆存在，且一般不唯一。
注2：当A是可逆矩阵时，有 。事实上，此时
。
例1已知 ，试求表示成（2）形式的{1}-广义逆矩阵G。
解：
三、相容方程组的解
，
其中 。
注：教材中并没给出推论2的证明，可视情况处理。
证明：设 是A的属于特征值 的单位特征向量。则有 以及 。于是
注意到 是纯虚数，上式两端取模即得
，
其中 。
注意到对于任意m个实数 ，有
，
所以有
。
又由 ，
可得
因此有 。□
例1估计下面矩阵的特征值的界限：
。
解题思路：利用推论1，根据A、B、C的表达式估计特征值的模及实部、虚部的界限；若A是实矩阵，则根据推论2，利用C的表达式估计虚部的界限。由于A是反对称矩阵，所以 。
。
所以 的特征值为： 。所以 的奇异值为 。并且 对应于 和 的标准正交特征向量组为： 。于是，令
。
因此，
。
令 ，则 为标准正交组。令
。
由此，我们得到 的奇异值分解为：
。
（2）求 。
方法2满秩分解法
定理2设 ， 是 的一个满秩分解，则
。
证明：代入M－P条件中直接验证即可。
推论：（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 。
§1特征值的界的估计
引理任一给定的复数矩阵 都可以表示成一个Hermite矩阵 和一个反Hermite矩阵 之和，其中 。
定理1若复矩阵 的谱为 ，则有不等式
，
等号当且仅当A为正规矩阵时成立。
证明：由Schur定理，存在酉矩阵U及上三角矩阵
，
使得 。注意到T的对角线上的元素都是A的特征值，所以
。
并且等号成立的充分必要条件是T为对角矩阵，即A为正规矩阵。
注意到在酉相似下，矩阵的F范数不变，所以 ，结论成立。□
推论1A、B、C如引理1中所述。则有下列各式成立：
(1) ；(2) ；(3) 。
证明：（1）由（1）式成立，得
。
（2）和（3）的证明：由 ， ，得
，
。
注意到T的对角线上的元素都是A的特征值，以及在酉相似下矩阵的F范数不变，我们有
□
推论2设 是n阶实矩阵，则
1、通解公式
定理3设 是 的一个{1}-广义逆，则当方程组 有解时，通解可以表示为
其中 是任意的 维列向量。
证明：（1）先证明齐次方程组
（3）
的通解为 。
由等式 ，得
。
即 是方程组（3）的解。为了说明方程组（3）的解都具有形式 ，只要说明 的秩是 即可。
事实上，因为
，
所以
，
于是
（）注意到若非齐次方程组有解，则 一定一个解。故得定理结论。
的解。
定理5设 是 的一个{1}-广义逆，并且有 ，则对于任给的m维列向量 ， 一定是方程组 的最小二乘解。
§5广义逆矩阵 （伪逆矩阵）
一、广义逆矩阵的一般定义
定义2设 ，若 ，满足Moore-Penrose方程
（1） ；（2） ；（3） ；（4）
的一部分或全部，则称G为A的广义逆矩阵。
注：（1）广义逆矩阵的类型共有 个。
注2：A的k个相交的盖尔圆的并集构成的连通区域，称为一个连通部分。
例1估计矩阵的特征值范围。
。
定理2矩阵A的任意一个由k个盖尔圆组成的连通部分里，有且只有A的k个特征值（当A的主对角线上有相同的元素时，则需按重复次数计算；有相同的特征值时，亦需按重复次数计算）。
证明：考虑带参数u的矩阵
。
则 ，且 的特征值即为各盖尔圆 的圆心。
例2讨论矩阵A的特征值的分布状况。
。
§4{1}-广义逆矩阵与线性方程组的解
一、{1}-广义逆矩阵的概念
定义1设 ，若存在 ，使得对于任意 维列向量 ，当线性方程组 有解时， 是该方程组的解，则称 是 的一个{1}-广义逆矩阵，记为 。
注：该定义是以线性方程组相容时解的表示为桥梁所构造。
定理1对给定的 ， 是 的一个{1}-广义逆的充要条件是：
（2）用 表示A的满足条件 的广义逆矩阵。如定理4中的广义逆矩阵属于 ，定理5中的广义逆矩阵属于 。
特别地，若 ，则记 ；若 ，则记 ，并称为M-P广义逆。
二、广义逆矩阵
定理1设 ，则A的M-P广义逆矩阵 存在而且唯一。
证明：（1）唯一性
设 满足四个Moore-Penrose方程，则
所以 。
（2）存在性
将矩阵 作奇异值分解： ，其中
，
，且 是 的奇异值， 是酉矩阵。
令
，
则直接验证可知 满足四个Moore-Penrose方程，即 。□
注：由上一节的定理4、5可得， 是方程组 的范数最小的最小二乘解，称为极小最小二乘解（最佳逼近解）。
三、 的求法
方法1、奇异值分解法
例1已知 ，求 。
解：(1)求 的奇异值分解：
2、最小范数解（最小模解）
对给定的相容线性方程组 ，在其所有的解中使得范数 最小的解，叫做该方程组的最小范数解。
定理4设 是 的一个{1}-广义逆，并且有 ，则只要方程组 相容， 就是它的最小范数解。
证明：设 相容，则其通解为 。于是
令 ，则有
同理可证 ，所以
。
四、不相容方程组的解——最小二乘解
不相容方程组 的最小二乘解是方程组
（1）
注：该定理说明了{1}-广义逆命名的缘由。
证明：充分性：设 是 的一个解，由 得： ，即有 。故 是该方程组的解，即 是 的一个{1}-广义逆。
必要性：设 是 的一个{1}-广义逆，则对于任意的 ， 是方程组 的解，即 。设 ，则有 ，故有 ，从而 。□
注： 表示 的像空间，即由 的列向量组张成的子空间。