数字信号处理的数学推导

DSP 课件中的数学推导及解释（v1.0）
陈明
1-1 离散时间信号-序列
第5页：对正弦信号()2sin(
)3
a x t t π
=采样，T=1ms 时，求序列
()()2sin()2sin(*0.1)2sin()3330
a x n x nT nT n n πππ
====
第19页：任何序列可以表示为单位冲激序列的移位加权和（即与()n δ的卷积和）。

解释：这个过程可以理解把任意序列分解成很多只包含一个非0序列值的序列之和，而每一个单独的序列可表示为()()x k n k δ-，所以总的序列为多个()()x k n k δ-之和。

第26页：数字角频率的单位为弧度/样本。

解释：复指数序列可以看成是由连续复指数信号采样得来，因此：
|j n j t j nT j Tn t nT e e e e ϖΩΩΩ====，可以看到数字角频率与模拟角频率的关系是：T ϖ=Ω，Ω
的单位为弧度/s ，T 的单位为s ，或理解为s/样本，因此ϖ的单位为弧度/样本。

第28页：复指数序列不一定是周期的。

解释：要想为周期序列，必须满足：()()x n x n N =+，则()j n
j n N j n j N e e e e ϖϖϖϖ+==，因此，
必须22,N k N k π
ϖπϖ
==
，与连续情况不同，这里要求N 为整数，这使得当ϖ取某些值
时，可能取不到整数的N ，只有当2π
ϖ
为有理数（包括整数）时，才会存在整数N ，序列才
是周期的。

1-2 线性移不变系统
第4页：要理解[]T 只是一个符号，不是一个具体的公式。

所以不能将()[()]y n T x n =中的变量n 简单替换为n-1，认为等式依然成立。

实际上，[(1)]T x n -的含义是输入序列先移位，然后再经过系统处理后的输出，(1)y n -的含义是输入序列先经过系统输出，然后再移位，两者是不一样的过程产生的输出，不要想当然认为一定相等。

第7页：判断下面系统是否是线性的 ●
()(2)y n x n =-：
121212[()()](2)(2)[()][()]T ax n bx n ax n bx n aT x n bT x n +=-+-=+
●
()()n
k y n x k =-∞
=
∑：
121
2
1
2
12[()()][()()]()()[()][()]
n n n
k k k T ax n bx n ax k bx k a x k b x k aT x n bT x n =-∞
=-∞
=-∞
+=
+=+=+∑∑∑
●
10()log [()]y n x n =：121012121011021212[()()]log [()()]
[()][()]log [()]log [()][()()][()][()]
T ax n bx n ax n bx n aT x n bT x n a x n b x n T ax n bx n aT x n bT x n +=++=++≠+
第10页：判断下面系统是否是移不变的 ●
()()
n
k y n x k =-∞
=
∑：
''=-'
[()]()
()()
()()
()[()]
n
n
n m
k k m
k k k m n m
k T x n m x k m x k x k y n m x k y n m T x n m -=-∞
=-∞
+=-∞
-=-∞
-=
-=
=
-=
-=-∑∑
∑∑令
注意上面的变量替换在后面的分析中经常遇到 ●
()()y n x Mn =：
令1()()x n x n m =-，则11[()][()]()()T x n m T x n x Mn x Mn m -===-
()(())()y n m x M n m x Mn Mm -=-=- ()[()],=1y n m T x n m M -≠-除非
第13页：用BIBO 稳定性定义分析累加器系统是否是稳定的 累加器系统：()()n
k y n x k =-∞=
∑，令输入序列为()()x n u n =，显然()1x n =<∞是有界的，
而0
()()()=+1n
n
k k y n x k u k n =-∞
==
=∑∑，当n →∞，()y n →∞是无界的。

所以累加器系统不
是稳定的。

目前已经证明了累加器系统是线性移不变因果不稳定系统。

第15页：求累加器系统的单位冲激响应 根据单位冲激响应的定义，0,0
()[()]()()1,0n
k n h n T n k u n n δδ=-∞
<⎧====⎨
≥⎩
∑
第16页：证明LTI 系统的输入与输出关系
()[()][()()]()[()]
()()
k k k y n T x n T x k n k x k T n k x k h n k δδ∞
∞
=-∞
=-∞
∞
=-∞
==-=
-=
-∑∑∑
第二个等号利用了任意序列可用单位冲激序列来表示，第三个等号利用了系统的线性，第四
个等号利用了单位冲激响应的定义以及系统的移不变性。

第18页：如何求序列卷积和一定要去练习（一般用第二种方式，书上有例题）
第19,20页的证明不要求掌握，但要求记住。

第22页：判断LTI 系统()0.3()n
h n u n =的因果稳定性 由于()0,0h n n =<，是因果的。

110
()0.3()0.310.37
n
n n n n h n u n ∞
∞
∞
=-∞
=-∞
==
==
=<∞-∑
∑
∑，是绝对可和的，即系统是稳定的。

第28页：证明 ●
()()()d d x n n n x n n δ*-=-
()()()*()=()()=(-)d d d d m x n n n n n x n m n x n m x n n δδδ∞
=-∞
*-=---∑
最后一个等号利用(-)d m n δ只能在=d m n 取值
● 累加器系统和后向差分系统的级联等价于一个直通系统 已经证明累加器系统的单位冲激响应为1()()h n u n = 而后向差分系统的单位冲激响应为2()()(1)h n n n δδ=-- 因此，级联后系统的单位冲激响应为：
12()*()()*[()(1)]()(1)()h n h n u n n n u n u n n δδδ=--=--=，这是全通系统
第二个等号利用了()()()d d x n n n x n n δ*-=-。

1-3 常系数线性差分方程
第11页：证明：LTI 系统满足初始松弛条件，则一定是因果系统 LTI 系统的输入输出为()()()m y n x m h n m ∞
=-∞
=
-∑
当()0,0x n n =<时，上式可写为0
()()()m y n x m h n m ∞
==
-∑，初始松弛条件要求此时的
()0,0y n n =<，即0
()()0,(0)m x m h n m when n ∞
=-=<∑
则必然要求()0,(0,0)h n m when n m -=<≥，此时0n m -<，所以有()0,0h n n =<，即系统为因果系统
（其实，满足初始松弛条件的差分方程所代表的系统一定是LTI 因果系统。

这个结论可以用归纳法来证明）
第12页：求31
()(1)(2)2(1)48
y n y n y n x n --+-=-，在初始松弛条件下系统的单位冲激响应
31
()(1)(2)2(1)48
h n h n h n n δ=---+-
由于系统是因果的，所以()0,0h n n =<，从n=0开始
(0)0h =，12*1321(1)22h --==，22*23321(2)22
h --==
可得2321
(),02
n n h n n --=≥
大家可以尝试用后面讲的z 变换法求。

2-1 2-2 z 变换的定义与收敛域
第23页：ZT ROC 的性质一和二的证明不要求，性质三是显然的，下面证明性质四 根据ZT 定义，
212()...(2)(1)(0)(1)(2)...n
n x n z
x z x z x x z x z ∞
---=-∞
=+-+-++++∑
显然要使ROC ∞∈，必然要求(1),(2),...x x --都为0，即()0,0x n n =<这是因果序列
● 要使0ROC ∈，必然要求(1),(2),...x x 都为0，即()0,0x n n =>这是反因果序列
第24-27页：每种序列ZT ROC 形式证明不要求，但要求记住。

第29页：利用ZT 定义求下面序列的ZT ，并获取ZT ROC ●
1
()()2
n u n -： '
''
0001()()(2)(2)(2)12()12n n
n n n n n n n n n X z u n z z z z z ∞
∞=-=-∞=-∞=-=-∞
--===-==
-∑∑∑∑令，极点为12z =。

由于该序列为左边序列，所以ROC 为1
2
z < ●
(1)n δ-：1()(1)n
n X z n z
z δ∞
--=-∞
=
-=∑，是因果有限长序列，0z <≤∞
●
(),01n
x n a a =<<：
2
1
1
10
1
11()11(1)(1)n
n
n n
n n
n n
n n
n n n n n az a X z a
z
a z
a
z
a z
a z az az az az ∞
∞
-∞
∞
-------=-∞
==-∞
==-=
=+
=+=+=----∑∑∑∑∑有两个极点：右边部分的极点z a =，左边部分的极点1z a
= 这是双边序列，因此ROC 为1a z a <<
（由于01a <<，所以可保证10a a
<<）
第30页：求下面序列的ZT ，并获取ZT ROC
● 11
()()()()()23n n x n u n u n =+-
1111
11()1213X z z z ----=+-+，有两个极点：11
,23z z ==-，由于是右边序列，所以ROC 为12
z >
● 11()()()()(1)32n n
x n u n u n =----
1111
11()1312X z z z ----=++-，有两个极点：右边部分的极点为1
3z =-，左边部分的极点为12z =，这是双边序列，所以ROC 为1132
z <<
2-3 z 反变换
第10页：推导求k A 的公式-1
(1-)()|k k k z d A d z X z ==
因为：1
-1-1-1-1=11()=
=+...++...+1-1-1-1-N
k k N k k k N A A A A X z d z
d z d z d z ∑ 两边乘以-1
(1-)k d z ，则：-1-1-1
1-1-1
1(1-)(1-)
(1-)()=+...++...+1-1-k N k k k N A d z A d z d z X z A d z d z
令=k z d ，则：-1
1=-1-1
100
(1-)()|=+...++...+=1-1-k N k z d k k N A A d z X z A A d z d z
⨯⨯
第11页：求111
1
(),112(1)(1)42
X z z z z --=
>--的Z 反变换
令：12
11()111142
A A X z z z --=+
--，则可求得待定系数： 1
1141(1)()|14z A z X z -==-
=-
1
212
1(1)()|22z A z X z -==-
=
所以1112
()111142
X z z z ---=
+
-- 根据ROC 的形式，序列为右边序列，所以可得1
1()()()2()()4
2
n
n
x n u n u n =-+
第13页：求12
1212(),131122
z z X z z z z ----++=
>-+的Z 反变换 由于M=N ，所以会有一项常数项0B ，先用长除法确定该常数项
21
212112
13+12+122
32 51
z z z z z z z --------+-+- 所以：112112151
231111()21222
A A z z z z X z z ------=++--=++-
12
1111122
112(1)()||921z z z z A z X z z ----==++=-==-- 121
211112(1)()||8112
z z z z A z X z z ---==-++=-==-
所以：1198
21112
()X z z z ---
+
--= 根据ROC 的形式，可知序列为右边序列，因此：1()2()9()()8()2
n
x n n u n u n δ=-+
2-4 z 变换的基本性质和定理
第3页：线性组合序列的ZT ROC 可能比交集大
有时候两个序列的组合，会使得它们的ZT 函数组合后产生一个新的零点，正好与函数的某个极点抵消，由于少了极点，使得ROC 扩大。

第4页：求()()(3)x n u n u n =--的ZT
1
1[()],11Z u n z z -=>-，313
[(3)](3),11n n
n n z Z u n u n z z z z -∞∞
---=-∞=-=-==>-∑∑ 3312
111
11()1111z z X z z z z z z
--------=-==++---注意：由于新产生了一个零点1z =，与极点抵消了，所以ROC 不是两个序列ROC 的交集1z >，而是0z >（实际该序列已经变成了一个有限长序列）
第5页：证明ZT 的时移性
'0
'
00'0()'00[()]()()()n n n n n n n
n n n Z x n n x n n z
x n z z X z ∞
∞
=--+--=-∞
+=-∞
-=
-=
=∑
∑
令
第6页：求111
(),1414
z X z z z --=
>-的Z 反变换 由于1
1
11[]()()1414
n Z u n z --=-，则11
111[]()(1)1414n z Z u n z ----=--
第7页：证明乘以指数序列特性
00
[()]()()(
)()n n n
n n n z z Z z x n z x n z
x n X z z ∞
∞
--=-∞
=-∞
=
=
=∑
∑
第8页：证明Z 域求导
1
1111(){()}()()()()
n n n n n n dX z d Z z Z z x n z Z z x n n z dz dz Z nx n z nx n ∞∞
------=-∞=-∞∞
--=-∞⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
∑∑∑
第9页：求1
()log(1),X z az z a -=+>的Z 反变换
可得：21()1dX z az dz az --=-+，则1
1
()1dX z az z dz az ---=+ 所以： 1
1()(1)(1)n n dX z Z
z a u n dz --⎡⎤
-=--⎢⎥⎣
⎦，这里利用了时移性 而根据求导性质1
()()dX z Z
z nx n dz -⎡⎤-=⎢⎥⎣
⎦，则1()(1)(1)n n
nx n a u n -=--，所以1(1)(1)
()n n a u n x n n
---=
第10页：证明共轭性
*
*
****[()]()[()()]()n
n n n Z x n x n z
x n z X z ∞
∞
--=-∞
=-∞
=
==∑∑
第11页：证明翻褶性
''
'
'
''
'11[()]()()()()()n n
n
n n n n n Z x n x n z
x n z x n z X z ∞
∞
∞
=-----=-∞
-=-∞
=-∞
-=
-=
=
=∑
∑
∑
令
第13页：证明ZT 的时域卷积定理：()*()()()x n y n X z Y z ↔
[()*()][()()]()[()]
()()()()
m m m
m Z x n y n Z x m y n m x m Z y n m x m z
Y z X z Y z ∞
∞
=-∞
=-∞
∞
-=-∞
=-=
-=
=∑∑∑
第二个等号利用了ZT 的线性，第三个等号利用了ZT 的时移性质。

第18页：分析系统()(),1n h n a u n a =<的因果稳定性，当输入为()()x n Au n =时的输出 可得：1(),11A X z z z -=
>-，1
1
(),1H z z a az
-=>- 根据系统函数的ROC ：z a >，且1a <，可知ROC 包含单位圆之外的所有区域，所以系统是因果稳定系统
11()()(),1(1)(1)
A
Y z X z H z z z az --==
>--
利用部分分式展开法可得：11
1()()111A a Y z a z az --=---- 根据ROC ，反变换序列为右边序列，则1()[()()]1n A
y n u n a u n a
+=--
第21页：已知因果LTI 系统差分方程()(1)()y n ay n x n =-+，求系统函数和单位冲激响应；分析系统为稳定的条件
解：对差分方程两边求ZT ，得1
()()()Y z aY z z
X z -=+，可得系统函数为1
1
()1H z az -=
-，
由于是因果系统，所以ROC 为z a >，求反变换得单位冲激响应()()n
h n a u n = 系统为稳定系统的条件是系统函数的ROC 必须包含单位圆，则要求1a <
2-6 序列的DTFT
第4页：证明序列DTFT 的周期性
(2)
(2)()()()()j j n
j n
j n n X e
x n e
x n e
X e ϖπϖπϖϖ∞
∞
+-+-=-∞
=-∞
=
=
=∑∑
第9页：求5()R n 的DTFT
5555
4
4
222
111
22221()
()()1()
5sin 21sin 2
j j j j j j n j n jw
j j j n n j e e e e X e e e e e e e e ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ
ϖϖ--------==---===
=--=∑∑
注意：为什么相位谱图形在一些频率点处会出现不连续？因为在那些频率点，
5sin 201sin 2
ϖ
ϖ=，而在这个频率点左右附近，
5sin 21sin 2
ϖ
ϖ发生正负号的改变，导致相位有一个π的跳变。

第11页：推导DTFT 的反变换
1(1)1
(1)1
1
()()()()
221
1()()22n j j n j z j j n j j j n
x n X z z dz X e e d e j j X e e e jd X e e d j π
ϖϖϖπ
π
πϖϖϖϖϖπ
πππϖϖππ
--=----==
==⎰⎰⎰⎰i
第17页：求理想低通滤波器的IDTFT ，即单位冲激响应
1,()0,c j lp c H e ϖϖϖϖϖπ⎧≤⎪
=⎨
<≤⎪⎩
1
1
1()[()]()|2222sin sin 12c
c
c
c
j n j j j n
j n
lp lp lp
c c e h n IDTFT H e H
e e
d e
d jn
j n n jn n
ϖπ
ϖϖϖ
ϖϖϖϖπϖϖϖπ
π
πϖϖππ--
-
==
=
===⎰⎰
第19页：求复指数序列的DTFT 表示
()2(2)j r X e r ϖ
πδϖϖ
π∞
=-∞
=
-+∑
00
01
1[()]()2(2)22()j j j n
j n r j n
j n IDTFT X e X e
e
d r
e d e d e π
π
ϖ
ϖ
ϖϖπππ
ϖϖπ
ϖπδϖϖ
πϖ
π
π
δϖϖϖ∞
-
-
=-∞
-=
=
-+=-=∑⎰⎰⎰
第三个等号利用了积分范围[,]ϖππ∈-，只需取一个冲激。

（周期序列的傅里叶表示更常用的是后面讲的DFS ）
第20页：0()1j n
x n e ==，根据上面结论，可知()2(2)j r X e
r ϖ
πδϖπ∞
=-∞
=
+∑
2-7 DTFT 的主要性质
*大部分的证明与ZT 的性质类似，这里就只列出部分
第9页：证明DTFT 的时域卷积定理
[()*()][()()]()[()]
()()()()
m m j m
j j j m DTFT x n y n DTFT x m y n m x m DTFT y n m x m e
Y e X e Y e ϖϖϖϖ∞
∞
=-∞
=-∞
∞
-=-∞
=-=
-=
=∑∑∑
第二个等号利用了DTFT 的线性，第三个等号利用了DTFT 的时移性。

第16页：由频域卷积定理推导帕塞瓦定理 由于*
*-1
()()[()()]2j j x n y n X e Y e ϖϖπ
↔
*，所以 **-()1()()()()2j n j j n x n y n e X e Y e d π
ϖθϖθπ
θπ
∞
---
=-∞=
∑
⎰，令0ϖ=，则：
***11()()()()()()22j j j j n x n y n X e Y e d X e Y e d π
π
θθϖϖπ
π
θϖπ
π
∞
-
-
=-∞
=
=
∑
⎰⎰
第17页：利用帕塞瓦定理证明能量守恒定理 帕塞瓦定理：
**1()()()()2j j n x n y n X e Y e d π
ϖϖπ
ϖπ
∞
-
=-∞
=
∑
⎰
令()()y n x n =，则：
2
2
*
*11()()()()()()22j j j n n x n x n x n X e X e d X e d π
π
ϖϖϖπ
π
ϖϖπ
π
∞
∞
-
-
=-∞
=-∞
=
=
=
∑
∑
⎰⎰
第19页：求自相关函数的DTFT 自相关函数*
()()()()()x k R n x n x n x k n x k ∞
=-∞
==+∑o
由帕塞瓦定理可知：
22
**11()()()()()()[()]
22j n j j j j n j x k R n x k n x k e X e X e d X e e d IDTFT X e π
π
ϖϖϖϖϖϖπ
π
ϖϖπ
π
∞
-
-
=-∞
=
+=
=
=∑
⎰⎰所以2
()()DTFT
j x R n X e ϖ
↔
2-8 DTFT 的一些对称性质
第5页：证明DTFT 的对称性
**()()()()
{Re[()]}{}()22j j j e x n x n X e X e DTFT x n DTFT X e ϖϖϖ-++===
**()()()()
{Im[()]}{}()22j j j o x n x n X e X e DTFT j x n DTFT X e ϖϖϖ---===
**()()()()
{()}{}Re[()]22j j j e x n x n X e X e DTFT x n DTFT X e ϖϖϖ+-+===
**()()()()
{()}{}Im[()]22
j j j o x n x n X e X e DTFT x n DTFT j X e ϖϖϖ---===
第6页：证明实序列的DTFT 为共轭对称的 因为*
()()x n x n =，因此*
()()j j X e X e ϖ
ϖ
-=
1-4 连续时间信号的采样
第10页：推导连续周期信号的两种FT 形式（这是信号与系统的内容，复习一下） 设连续时间周期信号的周期为T ，它的基波角频率为02T
π
Ω=，可以把该信号分解为谐波复指数信号的线性组合：0()jn t
n
n x t a e
∞
Ω=-∞
=
∑，n a 称为傅里叶级数的系数，下面推导它的表
达式为：022
1()T jn t
T n a x t e dt T -Ω-=⎰
0000()222
222
111()[][]T T T jn t jk t jn t j k n t T T T k k k k x t e dt a e e dt a e dt T T T ∞∞
-ΩΩ-Ω-Ω---=-∞=-∞==∑∑⎰⎰⎰ （1） 下面关键是利用谐波复指数信号的正交性，如下：
00
00()222
2
()()()()()2
2
()2200
2
2
00
1|()()()2sin()2sin()00()()0
T T
j k n t
T T T T j k n j k n T
T j k n t
j k n j k n j k n t
T T k n e dt dt T e e e e e k n e dt j k n j k n j k n j k n k n j k n k n ππππ
-Ω---Ω--Ω-Ω----Ω--===--≠==
=-Ω
-Ω-Ω--=
=-Ω-Ω=⎰⎰⎰当时，当时，分母不为，分子为，所以
第三个等号利用了02T
π
Ω=
因此，
0()22
()T j k n t T e dt T k n δ-Ω-=-⎰
代入（1）式：
00()2
222
111()[]()()T T jn t j k n t T T k k k n k k k x t e dt a e dt a T k n a k n a T T T δδ∞∞∞
-Ω-Ω--=-∞=-∞=-∞==-=-=∑∑∑⎰⎰
连续时间周期信号的第二种傅里叶表示是：傅里叶变换，如下：
()2()n
n X j a n π
δ∞
=-∞
Ω=Ω-Ω∑
证明如下：
01001
1
(())()2()22()()
j t
j t n n jn t
j t
n n
n n FT X j X j e d a n e d a n e d a e
x t πδπ
π
δ∞
∞
∞
-ΩΩ-∞
-∞=-∞∞
∞
∞
ΩΩ-∞
=-∞
=-∞
⎡⎤Ω=
ΩΩ=Ω-ΩΩ⎢
⎥⎣⎦=
Ω-ΩΩ=
=∑⎰⎰∑∑⎰
第4个等号利用了00()()()n f d f n δ∞
-∞
Ω-ΩΩΩ=Ω⎰
第11页：求周期冲激串()()n s t t nT δ∞
=-∞
=
-∑的傅里叶变换
好了，有了连续周期信号的两种FT 表示：
0()jn t
n
n x t a e
∞
Ω=-∞
=
∑，022
1()T jn t
T n a x t e dt T -Ω-=⎰
()2()n
n X j a n π
δ∞
=-∞
Ω=Ω-Ω∑
对于周期冲激串()()n s t t nT δ∞
=-∞
=
-∑，可得傅里叶级数的系数为：
002222111()()T T jn t
jn t T T n n a t nT e dt t e dt T T T δδ∞
-Ω-Ω--=-∞⎡⎤=-==⎢⎥⎣⎦
∑⎰⎰
第二个等号是因为积分范围为[,]22
T T
t ∈-
，所以只取一个冲激，第三个等号利用了：()()(0)t f t dt f δ∞
-∞
=⎰
因此，周期冲激串的FT 为：00
12()2()()n n S j n n T
T π
πδδ∞
∞
=-∞=-∞
Ω=Ω-Ω=
Ω-Ω∑∑
由于周期冲激串的周期就是采样周期，所以基波频率0s Ω=Ω，所以有
2()()s
n S j n T
π
δ∞
=-∞
Ω=
Ω-Ω∑
第12页：求冲激串信号()s x t 的FT
11()()*()()(())2212()()212[()()]21(())s c c c s n c s n c s n X j X j S j X j S j d X j n d T X j n d T X j n T θθθππ
πθδθθππθδθθπ∞
-∞∞∞-∞=-∞∞∞-∞
=-∞∞
=-∞
Ω=
ΩΩ=Ω-⎡⎤=Ω--Ω⎢⎥⎣⎦=Ω--Ω=Ω-Ω⎰∑⎰∑⎰∑
第16-17页：分析冲激串()s x t FT 与序列()x n 的DTFT 关系
()()()()()s c c
n x t x t s t x nT t nT δ∞
=-∞
==
-∑
直接用FT 的定义，可得冲激串的FT 为：
()()()()()()j t c c n n j nT
c
j t
s n x nT t nT x nT t nT e dt
x X e d n t T e
j δδ∞∞∞-Ω-∞
=-∞=-∞∞
-Ω=--∞
∞
-Ω∞⎡⎤Ω==⎢⎥⎣-⎦-=
∑∑⎰⎰∑
而序列的DTFT 为：()()j j n
n X e
x n e
ϖ
ϖ∞
-=-∞
=
∑
由于()()c x n x nT =，比较后，可知()()|j s T
X e X j ϖϖ
Ω=
=Ω
第21页：获取几个模拟角频率所对应的数字角频率
222250,12*50*0.0010.1N N s N N s s s T
T T f Hz T ms πππ
ππ
Ω→ΩΩ-Ω→-ΩΩΩ
→=Ω→==→=
第35页：推导由序列重建连续时间信号的公式
先推导理想重建滤波器,()0,r T T
H j T
π
π
⎧Ω<⎪⎪
Ω=⎨
⎪Ω≥
⎪⎩
的单位冲激响应()r h t
1
1()()|22222sin
sin
22j t j t
j t
j t
T T T r r T
T
T
j t j t T
T
T T e h t H j e
d Te
d e
d jt j t t
T e e T T T jt
jt
t
T
π
π
π
πππ
π
π
ππ
π
ππ
π
π
π
π
Ω∞
ΩΩΩ-∞
----=
ΩΩ=
Ω=
Ω=-==
=
⎰
⎰⎰
因此重建后的连续时间信号为：
()()*()()()()()()sin(())()()()()()()
()
r s r s r r n r r n n n x t x t h t x h t d x n nT h t d t nT T x n nT h t d x n h t nT x n t nT T
τττδτττ
π
δτττπ
∞∞
∞
-∞-∞
=-∞∞
∞
∞
∞
-∞
=-∞
=-∞
=-∞
⎡⎤
==-=--⎢⎥⎣⎦
-=
--=-=
-∑⎰⎰∑∑∑
⎰
3-3 周期序列的离散傅里叶级数
第13页：证明周期序列DFS 的系数为21
()()N j
kn N
n X
k x
n e π
--==∑%%
2222111
1
1()0
00
1
1()()()N N N N N j kn j
mn j kn j
m k n N
N
N N
n n m m n x
n e X
m e e X
m e N
N π
π
ππ
--------=====⎡⎤==⎢⎥
⎣⎦
∑∑∑∑∑%%% （1）
下面证明谐波复指数序列的正交性：
21
1
()0
==1=N N j
m k n N
n n m k e
N π
---==∑∑当时，，（注意由于（1）式只考虑[0,1]m N ∈-，所以这里不需
考虑-=m k rN 的情况）
2()221
1
()()
22()()0
1-1-1
=()=
==01-1-j
m k N N N N j m k n j m k n N
N
j
m k j
m k n n N
N
e m k e
e
e
e
π
π
ππ
π
-------==≠∑∑当时，（分母不会是0）
所以：
21()0
=(-)N j
m k n N
n e
N m k π
δ--=∑
代入（1）式可得：
221
11
1
()0
1
1()()=()(-)=()N N N N j kn j
m k n N
N
n m n m x
n e X
m e X
m N m k X k N
N
ππ
δ------=====∑∑∑∑%%%%
第21页：求5()R n 的10点周期序列的DFS
25--221
4
102
2210
22--0010
10
10
10
10
22--5
5
1-1-(-)()=()===
=
1-1-(-)
2sin sin 2
2
==2sin
sin
1010
j
k j k j k j k j k N j kn
j kn N
j
k j
k j
k
j
k
j
k
n n j
k j
k e
e e e e
X k x n e
e
e
e
e
e
e
j k k e
e j k
k
ππ
π
π
πππππππππ
ππππ
π
-------==∑∑%%
3-4 DFS 的性质
第3页：证明DFS 的时移性
'''
'''
'22221
1
1()'
'
00
2221'
[()]()()()()()
N N N m n n m j
kn j
k n m j
km j
kn N
N
N
N
n n m n m
N j
km j
kn j
km N
N
N
n DFS x n m x n m e
x n e
e
x n e
e
x
n e e
X k π
π
π
ππ
ππ----=---+--=+==-----=-=-=
===∑∑
∑
∑%%%%%%令第四个等号利用了序列的周期性。

第4页：证明DFS 的对偶性
222-1
-1-1
--=0
=0=02-1
-1
-1
-()=0=0
=0
[()]=()()()()()()N N N j
kn j mn j kn N
N N
n n m N N N j m k n N
m n m DFS X n X n e
x m e e x m e x m N m k Nx k π
πππ
δ-+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡
⎤
==+=-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑%%%%%%
或者：21
1()()N j kn N
k x
n X
k e N π-==∑%%，把符号k,n 交换后21
1()()N j
kn N
n x
k X
n e N
π
-==∑%%，则
210
1
1()()[()]N j kn N
n x k X
n e DFS X n N
N
π
--=-=
=
∑%%%，[()]()DFS X n Nx k =-%%
第5页：证明周期序列DFS 翻摺性和共轭性
'''''2221
11
()()'
'
[()]()()()()N N N n n j
kn j
k n j
k n N
N
N
n n n DFS x n x n e
x
n e x n e
X k π
π
π
---=------=-==-=-=
==-∑∑∑%%%%%令
第三个等号利用了序列的周期性
*
221
1()***0
0[()]()()()N N j
kn j k n N
N n n DFS x n x n e
x n e X k π
π-----==⎡⎤===-⎢⎥⎣⎦
∑∑%%%%
对称性证明与DTFT 的对称性证明相同
第7页：证明周期卷积定理
2111
12120
00
2211
1
121212
[()()][()()]()()()()()()N N N j
kn N
m n m N N N j kn
j mk
N
N
m n m DFS x m x n m x m x n m e
x m x n m e
x m e
X k X k X k π
π
π
----===-----===-=-=-==∑∑∑∑∑∑%%%%%%%%%%
第二个等号利用了DFS 的线性，第三个等号利用了DFS 的时移性。

3-5 DFT
第26页：求22()()|
j
kn N
j k N
n x n X e
e ϖ
πϖπ∞
-==
-∞
=
∑的IDFS
2221021()01()]([)]1
[()N j
kn j km j kn N
N N
n k m N j n m k N m k x n e
x m e e N x m e N IDFS ππππ
∞
-∞
--=-∞==-∞
∞
--=-∞==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
∑∑∑∑∑ （1）
21
()0
N j
n m k N
k n m rN e
N π
--=-==∑当时，(注意这里由于m 可取范围为(,)-∞∞，不能只考虑n=m)
2()221
1
()()
2()0
2()1()1110
1j
n m N N N N j n m k j n m k N
N
j
n m k k N
j
n m N
e
n m rN e
e
e
e
π
π
π
π
π
------==---≠==
--=
=-∑∑当时，
(分母不为0) 所以：
21
()0
()N j
n m k N
k r e
N
n m rN π
δ-∞
-==-∞
=--∑∑
代入（1）式，可得：
221()011
()]()()()()()([)N j kn j n m k N
N n m k m r r m r x n e x m e x m N n m rN N
N x I m n m rN x F n r D N S π
π
δδ∞
∞
-∞
∞--=-∞=-∞==-∞=-∞∞∞∞
=-∞=-∞=-∞
⎡⎤⎡⎤==--⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎡⎤
=--=-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑∑
第30页：由序列的N 点DFT ，即N 个离散频谱()X k 重建出连续频谱()j X e
ϖ
221
11
11()0
00002(12())1
1
2()0
20
11()()()()12sin()22s 11()
()1in(
)2N N N N N j
kn j k n j j n
j n N
N
n n k k n j k N N N N j k k k j N
N k N X e x n e
X k e e X k e N
N e
X k X k N
N k e
k
N N e
ππ
ϖϖ
ϖϖπϖπϖϖπϖππϖ---------=====--
----
=---=⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
-=
=---∑∑∑∑∑∑∑ 第五个等号省略了几步，前面都有类似的步骤，比如本文档3-3第21页。

第30页：DFT 的变量k 与其所对应的连续角频率之间的关系
22k s k k k N T k T T N N
ππωΩΩ====
3-6 DFT 的性质
第6页：证明DFT 的圆周移位性
由DFT 的定义可知：[()]()DFT x n X k =隐含着[(())](())N N DFS x n X k =，所以有：
22[(())()][(())]()(())()()
j
mk j
mk N
N
N N N N N N DFT x n m R n DFS x n m R k e
X k R k e
X k ππ---=-==第二个等号利用了DFS 的时移性。

第8页：证明DFT 的对偶性
[()][(())]()(())()N N N N DFT X n DFS X n R k Nx k R k ==-
第二个等号利用了DFS 的对偶性。

第13页：注意用()x N n -作为()x n 的圆周翻摺的简写时，应该记住：(0)(0)x N x -=，另外，这只是有些书中这样简写，正式的写法还是(())()N N x n R n -
第16页：证明序列共轭和圆周翻摺的DFT
****[()][(())]()(())()()N N N N DFT x n DFS x n R k X k R k X N k ==-=-
第二个等号利用了共轭序列的DFS 。

[(())()][(())]()(())()()N N N N N N DFT x n R n DFS x n R k X k R k X N k -=-=-=-
第二个等号利用了翻摺序列的DFS 。

第20页：证明DFT 的圆周共轭对称性
**()()()()
{Re[()]}{}()22ep x n x n X k X N k DFT x n DFT X k ++-===
**()()()()
{Im[()]}{}()22op x n x n X k X N k DFT j x n DFT X k ---===
**()()()()
[()]{}Re[()]22ep x n x N n X k X k DFT x n DFT X k +-+===
**()()()()
[()]{}Im[()]22
op x n x N n X k X k DFT x n DFT j X k ---===
第30页：证明时域圆周卷积定理
11
1212120
211
1212120
12[()()]{[()(())]()}{()(())}()
{()[(())]}(){()(())}(){(())(())}()
()()
N N N N N N m m N N j
mk N
N N N N N N N m m DFT x n x n DFT x m x n m R n DFS x m x n m R k x m DFS x n m R k x m e
X k R k X k X k R k X k X k π--==---==⊗=-=-=-===∑∑∑∑第三个等号利用了DFS 的线性，第四个等号利用了DFS 的时移性
第31页：证明圆周卷积满足交换律
12122121[()()]()()()()[()()]DFT x n x n X k X k X k X k DFT x n x n ⊗===⊗
第36页：解释：当12max(,)N N N ≥，线性卷积的N 点离散频谱值等于两个序列DFT 的乘积
12()()()j j j Y e X e X e ϖϖϖ=做N 点采样，并取主值序列，则：
21222122212()|()()|()|()()|()()|()()()
j j j j j N N N N k k k k k
N N N N N Y e R k X e X e R k X e R k X e R k X k X k ϖϖϖϖϖπππππϖϖϖϖϖ=====⎡⎤⎡⎤=⨯=⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦=第三个等号是由于12max(,)N N N ≥，利用DFT 与离散频谱的关系。

第37页：证明2()|()[()]()j N N k
r N IDFT Y e R k y n rN R n ϖ
πϖ∞==-∞
⎧⎫⎡⎤⎪⎪=+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭∑
实际就是证明2()|()j k
r N IDFS Y e y n rN ϖ
πϖ∞==-∞⎡⎤=+⎢⎥⎣
⎦∑
推导过程参见本文档3-5第26页。