第三章 空间数据的处理——内插分解

移动拟合内插法

原理 1)待内插的点P为中心原点，按一定半径作圆； 2)选定一多项式内插函数，用圆内的采样点 解出函数参数； 3)使用内插函数计算待插点的特征值；
移动拟合内插法

假设取二次多项式来拟合，则待求点的特征值可写 为一般式： f(x,y) = Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F 通常做法是将坐标原点放置在待定点上，而采用的 数据点应落在半径为R的圆内（图） f(x,y) = Ax′2 + Bx′y′+ Cy′2 +Dx′+Ey′+F
p 10.094 (0.020） * 69 （0.347） * 67 14.669 0
双线性多项式内插法

适用情况
局部待插区域中，当采样点的特征值在x、y 方向分别按线性规律变化


内插函数
f(x,y) = Ax + By + Cxy + D
采样点的选择
4个已知采样点
尽量以内插点为中心均匀分布 离内插点距离最近
r s p r s 0
b
rs
x y
r
s
P为二元函数阶数，通常≥1
趋势面法

趋势面的阶数
p=0,水平面
f ( x, y)
r s p
r s 0 f (x，y)=b0 p=1,倾斜面 f(x,y)=b0+b1x+b2y p=2,二次曲面 f(x,y)=b0+ b1x+b2y +b3x2+b4xy+b5y2 p=3,复杂曲面常用三次 f(x,y)=b0+ b1x+b2y +b3x2+b4xy+b5y2 +b6x3+b7x2y+b8xy2+b9y3
站点 1 2 3 4 5 0 x 69 59 75 86 88 69 y 76 64 52 73 53 67 Z值 20.820 10.910 10.380 14.600 10.560 ？


求解步骤： 建立线形趋势面方程：z x,y=b0+b1x+b2y 根据最小二乘法得到b0，b1，b2的三个法方程：
1 2 3 4 5 0
x
69 59 75 86 88 69
y
76 64 52 73 53 67
Z值
20.820 10.910 10.380 14.600 10.560 ？
区域的内插 是研究根据一组分区的已知数据 来推求同一地区另一组分区未知 数据的内插方法； 区域的内插方法采用： • 叠置法； • 比重法;
点的内插 是研究具有连续变化特征现象的
数值内插方法；
点的内插方法可以采用： • •
•
整体趋势面拟合 双线性多项式内插 移动拟合法

趋势面拟合法
是利用回归分析思想，运用最小二乘法对数据 点进行的拟合，通过选择一个二元函数来逼近采样 数据的整体变化趋势，二元函数的表达式：
f ( x, y )
分块区域内插
区域内插算法——叠置法

源区分区情况

是将目标区叠置在源区上，首先 确定两者面积的交集，然后计算 出目标区各个分区的内插值； 例如： 已知源区：3个县的人口统计数据 求目标区：3个流域的人口数
县名 A 7000 350 B 6000 300 C 3000 100
按距离加权插值法(DEM)

设平面上分布一系列离散点，已知其坐标和 高程为xi,yi，zi(I=1,2,…n),p(x,y)为任一 格网点，根据周围离散点的高程，通过距离 加权插值求得p点高程。这时：
例如： 五个已知值的气象站点，围绕着未知数值的0号 站点，用反距离平方法插值成点0处的未知值。
站点
0
单点移面 内插
采样点的选择
最好四个象限内均分布有采样点；
采样点个数至少为未知数个数，当采样点个
数不足时，须扩大取样半径；
按距离加权平均内插法
取内插区域内点的加权平均值作为待定点的高程. 最简单的方法：距离倒数加权内插
z p zi d
i 1
n
r ip
/ d
i 1
n
r ip
z b n b x b y
0 1 2
xz b x b x b xy yz b0 y b1 xy b2 y2
2 0 1 2

改成矩阵形势并代入数据
5 377 318
23.210 - 0.163 - 0.168
Байду номын сангаас
例如：
C(i,j+1) N
数据按正方形格网（边长为L） 节点布置，球内点P的高程ZP D(i+1,j+1) 已知：A(i,j， ZA) B(i+1,j, ZB)
C(i,j+1, ZC) D(i+1,j+1, ZD)
y x
A(i,j) M B(i+1,j)
求解思路： 先用点A和B及C和D两对点的高程， 线性内插出点M和N的高程ZM ,ZN ； 然后再由ZM , ZN 直线内插待求 点P的高程ZP.
b x
rs
r
y
s
趋势面法

函数方程的求解
该二元函数必须满足观测值与拟合值之差的平方和 最小，即 n
2 ( z ( x , y ) f ( x , y )) min i i i i i 1
然后用最小二乘法求解各式的系数bi
例：趋势面分析法的运用

下图显示五个已知值的气象站点，用x,y坐标，格网单元大 小为2000m的行和列来表示，求0号站的未知值。
§5 空间数据的内插方法

空间数据内插的概念
是根据一组已知的离散点数据或分区数据，从现有 这些数据中找到一个函数关系式，使该关系式最好 地逼近这些已知的空间数据，并能根据该函数关系 式推求出任意点或分区的值。这种通过已知点数据 推求出其他未知点或未知区域数据的方法。

空间数据内插算法的分类：
按具体内容分两大类：点的内插和区域内插； 按使用已知点范围分：整体拟合和局部拟合。
318 b 0 67.270 29007 23862 .650 b1 5043 23862 20714 .800 4445 b 2 377
- 0.163 0.002 0.000 - 0.168 0.000 0.002 67.270 - 10.094 5043.650 0.020 4445.800 0.347