2023高考数学小题提速练(二)

提速练(二)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M={x|-2≤x≤3},N={x|ln x≥1},则M∩∁R N=( B )
A.[-2,0]
B.[-2,e)
C.[-2,e]
D.(e,3]
解析:由题意,N={x|ln x≥1}={x|x≥e},故∁R N={x|x<e},M∩∁R N= {x|-2≤x<e}.故选B.
2.z=-3+5i
i
的共轭复数为( B )
A.5+3i
B.5-3i
C.-5+3i
D.-5-3i
解析:z=-3+5i
i =-3i+5i
2
i2
=3i+5,所以z的共轭复数z=-3i+5.故选B.
3.某滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演,现安排两名男队员和两名女队员组队参演,参演选手每人展示其中一个不同的项目,已知雪上技巧项目必须由女队员展示,则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为( B )
A.576
B.288
C.144
D.48
解析:第一步,为每个项目安排表演队员,
先安排雪上技巧项目,有C21种,再安排其他三个项目,有A33种,共有
C21×A33=2×6=12种;
第二步,安排出场顺序,有A44=24种,所以一共有12×24=288种.故
选B.
4.等差数列{a n }中,a 1=2 020,前n 项和为S n ,若S 1212
-
S 1010
=-2,则S 2 022=
( D )
A.1 011
B.2 022
C.-1 011
D.-2 022
解析:设该等差数列的公差为d,则S n n =
na 1+
n (n -1)
2
d n
=a 1+
n -12
d,
因为
S 1212
-
S 1010
=-2,所以(a 1+112
d)-(a 1+9
2
d)=-2,解得d=-2,
所以S 2 022=2 022a 1+2 022×2 021
2
d=2 022×2 020-2 022×2 021=-2 022.
故选D.
5.在Rt △ABC 中,两直角边AB=6,AC=4,点E,F 分别是AB,AC 的中点,则(BF →
+CE →
)·BC →
=( C ) A.-10 B.-20 C.10 D.20
解析:依题意作图,可知BF →
=-AB →
+12
AC →
,CE →
=-AC →
+12
AB →
,BC →
=AC →
-AB →
,
(BF →
+CE →
)·BC →
=-1
2
(AB →
+AC →
)·(AC →
-AB →
)=-1
2
(AC →2
-AB →
2)=-1
2
(42-62)=10.
故选C.
6.已知直线y=kx(k>0)与双曲线C:x 2a
2-y 2
b 2=1(a>0,b>0)在第一、第三象
限分别交于P,Q 两点,F 2是C 的右焦点,有|PF 2|∶|QF 2|=1∶√3,且PF 2⊥QF 2,则双曲线C 的离心率是( C ) A.√3 B.√6
C.√3+1
D.√6+1
解析:由对称性可知四边形PF 1QF 2为平行四边形,
又由PF 2⊥QF 2得四边形PF 1QF 2为矩形,所以|PQ|=|F 1F 2|=2c, 又|PF 2|∶|QF 2|=1∶√3,所以|PF 2|=c,|QF 2|=√3c,所以|QF 2|-|PF 2|= (√3-1)c=2a, 所以e=c
a =
√3-1
=√3+1.故选C.
7.已知A,B,C 是表面积为16π的球O 的球面上的三个点,且AC=AB=1,∠ABC=30°,则三棱锥O ABC 的体积为( C ) A.1
12
B.√312
C.1
4
D.√34
解析:设球O 的半径为R,△ABC 外接圆的半径为r, 在△ABC 中,由AC=AB=1,∠ABC=30°,则∠BAC=120°,得2r=
AC sin∠ABC
=2,
所以r=1.因为球O 的表面积为16π,则4πR 2=16π,解得R=2, 所以球心O 到△ABC 的距离d=√R 2-r 2=√3,即三棱锥O ABC 的高为√3, S △ABC =1
2
AB ·AC ·sin ∠BAC=√3
4
,所以三棱锥O ABC 的体积
V OABC =13×√3
4×√3=14
.故选
C.
8.已知a,b ∈R,函数f(x)={x ,x <0,
13
x 3-12
(a +1)x 2+ax ,x ≥0,
若函数
y=f(x)-ax-b 恰有三个零点,则( C ) A.a<-1,b<0 B.a<0,b>0 C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0
解析:(1)当x<0时,y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(1-a)x-b,故函数y= f(x)-ax-b 在区间(-∞,0)上最多有一个零点.
(2)当x ≥0时,y=f(x)-ax-b=13
x 3-12
(a+1)x 2+ax-ax-b=13
x 3-1
2
(a+1)x 2-b,
y ′=x 2-(a+1)x.
①当a+1≤0,即a ≤-1时,y ′≥0,函数y=f(x)-ax-b 在[0,+∞)上单调递增,故函数y=f(x)-ax-b 在区间[0,+∞)上最多有一个零点;函数y=f(x)-ax-b 在定义域内最多有两个零点,不合题意.
②当a+1>0,即a>-1时,令y ′=0,解得x=0或x=a+1,令y ′>0,解得x<0或x>a+1;令y ′<0,解得0<x<a+1.
函数y=f(x)-ax-b 在[a+1,+∞)上单调递增,在[0,a+1)上单调递减,故函数y=f(x)-ax-b 在区间[0,+∞)上最多有2个零点;
故函数y=f(x)-ax-b 恰有3个零点⇔函数y=f(x)-ax-b 在(-∞,0)上恰有一个零点,在区间[0,+∞)上恰有2个零点⇔
b 1-a
<0且
{a >-1,
-b ≥0,13(a +1)3-12
(a +1)(a +1)2-b <0,解得{ b <0,1-a >0,
a >-1,-16
(a +1)3<b <0,即{
-1<a <1,
b <0.
故选C. 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.某机构对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查,全部都知道、大部分知道、少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占12.6%,49.0%,34.6%和 3.8%,则适合表示上述调查结果的是( AC )
A.柱形图
B.折线图
C.扇形图
D.频率分布直方图
解析:柱形图和扇形图可用于表示百分比,折线图和频率分布直方图是用面积表示频率.故选AC.
10.已知函数f(x)=1-2cos 2(ωx+π
3)(ω>0),则下列结论正确的是
( BCD )
A.若x 1,x 2是函数f(x)的两个不同的极值点,且|x 1-x 2|的最小值为π,则ω=1
B.存在ω∈(0,1),使得f(x)向右平移π
6个单位长度后得到的图象关于
原点对称
C.若f(x)在[0,2π]上恰有6个零点,则ω的取值范围是[3524,41
24)
D.若ω∈(0,23
],则f(x)在[-π6,π
4
]上单调递增
解析:f(x)=-cos(2ωx+2π3
)=sin(2ωx+π
6
).
对于A,因为|x 1-x 2|min =T 2
=π,所以2π2ω
=2π,ω=1
2
,故A 错误;
对于B,平移后g(x)=sin(2ωx+
1-2ω6
π)的图象关于原点对称,则
1-2ω6
π=k π(k ∈Z)⇒ω=
1-6k 2
(k ∈Z),在k=0时,ω=12
∈(0,1),故B 正
确;
对于C,x ∈[0,2π],2ωx+π
6
∈[π
6
,4ωπ+π
6
],6π≤4ωπ+π
6
<7π⇒ω∈
[3524,41
24
),故C 正确;
对于D,x ∈[-π6,π4],2ωx+π6∈[-ωπ3+π6,ωπ2+π6],{-ωπ3+π6≥-π
2,ωπ2
+π6
≤
π2
⇒ω≤2
3,
因为ω>0,所以ω∈(0,2
3
],故D 正确.故选BCD.
11.已知圆的圆心在直线x=-2上,且与l1:x+√3y-2=0相切于点Q(-1,√3),过点D(-1,0)作圆的两条互相垂直的弦AE,BF,则下列结论正确的是( AD )
A.圆的方程为(x+2)2+y2=4
B.弦AE的长度的最大值为2√3
C.四边形ABEF面积的最大值为4√3
D.该线段AE,BF的中点分别为M,N,直线MN恒过定点(-3
,0)
2
解析:设圆心为C(-2,b),圆的半径为r,
=√(-2+1)2+(b-√3)2
由题意可知|-2+√3b-2|
√12+(√3)
⇒b=0,r=√(-2+1)2+(-√3)2=2,
所以圆的方程为(x+2)2+y2=4,故A正确;
当AE过圆心C时,AE长度最长为圆的直径4,故B错误;
如图,
线段AE,BF的中点分别为M,N,设|CN|=d,0≤d≤1.
则|CM|=|ND|=√|CD|2-|CN|2=√1-d2,
|BF|=2√4-d2,
|AE|=2√4-|CM |2
=2√4-1+d 2=2√3+d 2,
S 四边形ABEF =12·|BF|·|AE|=2√(4-d 2)(3+d 2)=2√-(d 2)2
+d 2+12,
所以当d 2
=1
2时,四边形ABEF 面积的最大值为2√-(12)2
+1
2
+12=7,故C
错误;
因为四边形MDNC 为矩形,则MN 与CD 互相平分,即MN 过CD 的中点(-3
2,0),故D 正确.故选AD.
12.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2,点E,F 分别是棱AB,A 1B 1的中点,点P 在四边形ABCD 内(包含边界)运动,则下列说法正确的是( ACD )
A.若P 是线段BC 的中点,则平面AB 1P ⊥平面DEF
B.若P 在线段AC 上,则异面直线D 1P 与A 1C 1所成角的范围是[π4,π
2]
C.若PD 1∥平面A 1C 1E,则点P 的轨迹长度为√2
D.若PF ∥平面B 1CD 1,则PF 长度的取值范围是[√6,2√2]
解析:对于A,因为P,E 分别是线段BC,AB 的中点,所以△ABP ≌△DAE,则∠PAB=∠ADE,则∠PAB+∠DEA=π
2,所以AP ⊥DE,
又EF ⊥平面ABCD,所以EF ⊥AP,又EF ∩DE=E,EF ⊂平面DEF,DE ⊂平面DEF,所以AP ⊥平面DEF,又因为AP ⊂平面AB 1P, 所以平面AB 1P ⊥平面DEF,即选项A 正确;
对于B,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,A 1C 1∥AC, 所以D 1P 与A 1C 1所成的角等同于D 1P 与AC 所成的角, 连接D 1A,D 1C(图略),则△D 1AC 为正三角形,
所以D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围为[π3,π
2],即选项B 错误;
对于C,设平面A 1C 1E 与直线BC 交于点G,连接C 1G,EG,则G 为BC 的 中点,
分别取AD,DC 的中点M,N,连接D 1M,MN,D 1N,由D 1M ∥C 1G,
所以D 1M ∥平面A 1C 1E,同理可得D 1N ∥平面A 1C 1E,又因为D 1M ∩D 1N=D 1, 所以平面D 1MN ∥平面A 1C 1E,又由PD 1∥平面A 1C 1E,所以直线PD 1⊂平面D 1MN,
故点P 的轨迹是线段MN,易得MN=√2,即选项C 正确;
对于D,取CD 的中点N,BB 1的中点R,BC 的中点G,连接FN, 因为FB 1∥NC,FB 1=NC,所以四边形FB 1CN 为平行四边形, 所以FN ∥B 1C,所以FN ∥平面B 1CD 1, 连接BD,NG,则NG ∥BD,又因为BD ∥B 1D 1,
所以NG ∥B 1D 1,所以NG ∥平面B 1CD 1,
连接FR,GR,由GR ∥B 1C,且B 1C ∥FN,得RG ∥FN,故F,N,G,R 四点共面, 所以平面FNGR ∥平面B 1CD 1,因为PF ∥平面B 1CD 1,所以PF ⊂平面FNGR, 所以点P 的轨迹为线段NG,由AB=2知FN=2√2,NG=√2,连接FB,FG, 在Rt △FBG 中,FG 2
=FB 2
+BG 2
=(√5)2
+1=6,所以FG=√6,所以FN 2=NG 2+FG 2, 则∠FGN=π
2,故线段PF 长度的最小值为|FG|=√6,
线段PF 长度的最大值为|FN|=2√2,所以PF 长度的取值范围是[√6,2√2],即选项D 正确.故选ACD.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知点P 在圆x 2
+y 2
=1上,A(-2,0),B(0,2),则PA →·PB →
的最小值为 .
解析:由点P 在圆x 2+y 2=1上,可设P(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π],
则PA →
=(-2-cos θ,-sin θ),PB →
=(-cos θ,2-sin θ),
所以PA →
·PB →
=2cos θ+cos 2θ-2sin θ+sin 2θ=2√2cos(θ+π
4
)+1, 当θ+π
4
=π,即θ=3π
4
,即
P(-√22,√2
2
)时,PA →·PB →
取得最小值
1-2√2.
答案:1-2√2
14.若直线ax+y=0与直线2x+by-1=0平行,其中a,b 均为正数,则a+2b 的最小值为 .
解析:由已知可得-a=-2
b ,则ab=2,
因为a,b 均为正数,所以利用基本不等式可得a+2b ≥2√2ab =4, 当且仅当a=2,b=1时,等号成立,故a+2b 的最小值为4. 答案:4
15.在《九章算术·商功》中,把四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.若从鳖臑的六条棱中任取两条棱,则它们互相垂直的概率是P 1;若从鳖臑的六条棱和四个面中取一条棱和一个面(要求棱不在面上),则它们互相垂直的概率是P 2;若从鳖臑的四个面中任取两个面,则它们互相垂直的概率是P 3.则P 1,P 2,P 3的大小关系为 . 解析:如图所示,连接长方体的四个顶点A,B,C,D,可得鳖臑ABCD.
(1)从鳖臑ABCD 的六条棱中任取两条棱,有C 62
=15种取法,其中互相垂
直的取法有5种:AB ⊥BC,AB ⊥BD,AB ⊥CD,AD ⊥CD,CD ⊥BD,所以P 1=
515=13
.
(2)从鳖臑ABCD 的六条棱和四个面中取一条棱和一个面(要求棱不在面上)有4×3=12种取法,它们互相垂直的取法有2种:AB ⊥平面BCD, DC ⊥平面ABD,所以P 2=212=1
6.
(3)从鳖臑ABCD 的四个面中任取两个面,有C 42=6种取法,它们互相垂
直的取法有3种:平面ABC ⊥平面BCD,平面ACD ⊥平面ABD,平面BCD ⊥平面ABD,所以P 3=36=12,故P 2<P 1<P 3. 答案:P 2<P 1<P 3
16.已知A,B,C,D 四点都在表面积为100π的球O 的表面上,若AD 是球O 的直径,且BC=3√3,∠BAC=120°,则该三棱锥A BCD 体积的最大值为 .
解析:如图所示,设球O 的半径为R,因为球O 的表面积为100π,所以4πR 2=100π,所以R=5,
因为BC=3√3,∠BAC=120°,设△ABC 的外接圆半径为r,圆心为O 1, 所以根据正弦定理知,3√3
sin120°=2r,所以r=3,
所以|OO 1|=√OB 2-O 1B 2=√52-32=4,
因为AD 是直径,O 是AD 的中点,所以D 到平面ABC 的距离为2|OO 1|=8. 在△ABC 中,根据余弦定理得,BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos ∠BAC, 即27=AB 2+AC 2+AB ·AC ≥2AB ·AC+AB ·AC,
所以AB ·AC ≤9,当且仅当AB=AC 时,等号成立,
所以△ABC 面积的最大值S=12AB ·AC ·sin ∠BAC=12×9×√32=9√34, 所以三棱锥A BCD 体积的最大值V=13×9√34×8=6√3.
答案:6√3。