第九讲 几何图形的归纳,猜想,证明问题

中考数学重难点专题讲座

第九讲几何图形的归纳,猜想,证明问题

第一部分真题精讲

【例1】2010，海淀，一模

如图，+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设的面积为，

的面积为，…，的面积为，则= ；=____ （用含的式子表示）．

【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是,这

种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先所代表的三角形的底边

是三角形的底边,而这个三角形和△是相似的.所以边长的比例就是与

的比值.于是.接下来通过总结,我们发现所求的三角形有一个最大的共性就是高相等,为（连接上面所有的B点，将阴影部分放在反过来的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发现所有的B,C点

连线的边都是平行的，于是自然可以得出自然是所在边上的n+1等分点.例如就是

的一个三等分点.于是(n+1-1是什么意思?为什么要减

1?)

【例2】2010，西城，一模

在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正

方形，如图，菱形的四个顶点坐标分别是，，，，则

菱形能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形的四个顶点坐标

分别为，，，（为正整数），则菱形能覆盖的单位格点正方形的个数为_________（用含有的式子表示）．

【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是48（笑）。这里笔者提供一种方法，其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数，所以只需求出被X,Y轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以4即可。比如我们来看第二象限那

个三角形。第二象限菱形那条边过（-2n,0）(0,n),自然可以写出直线解析式为,

斜率意味着什么?看上图,注意箭头标注的那些空白三角形,这些RT三角形一共有2n/2=n

个,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是?而且这些直角三角形都是全等的,面积均

为两个单位格点正方形的一半.那么整个的△AOB的面积自然就是,所有n个空白

小三角形的面积之和为,相减之后自然就是所有格点正方形的面积,也就是数量了.所以整个菱形的正方形格点就是.

【例3】2010，平谷，一模

如图，，过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为．则第一个黑色梯形的面积；观察图中的规律，第(为正整数)个黑色梯形的面积．

【思路分析】本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形，而因为，所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到0点的距离,而高则是固定的2。第一个梯形上底

是1，下底是3，所以.第二个梯形面积,第三个是

,至此,我们发现本题中梯形面积数值上其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上4。于是第n个梯形的上底就是1+4(n-1)=4n-3,(第一个

梯形的上底1加上(n-1)个4.)下底自然就是4n-1,于是就是8n-4.

【例4】2010，丰台，一模

在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形

A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有个．

【思路分析】此题看似麻烦，但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。对于

来说,每条边的长度是2n,那么自然整点个数就是2n+1，所以四条边上整点一共有(2n+1)x4-4=8n(个)(要减去四个被重复算的顶点),于是就是80个.

【例5】2010，宣武，一模

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．

【思路分析】本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。关键词“中点”“垂线”“等腰直角”。这就意味着每个三角形的锐角都是45度，并且直角边都是上一个三角形直角边的一半。绕一圈是360度，包涵了8个45°。于是绕到第八次就可以和BC重

叠了，此时边长为△ABC的，故而得解。

【例6】2010，门头沟，一模

如图，以等腰三角形的斜边为直角边向外作第个等腰直角三角形，再以等腰直

角三角形的斜边为直角边向外作第个等腰直角三角形，……，如此作下去，若

，则第个等腰直角三角形的面积________（n为正整数）.

【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。还是一样慢慢找小三角形面积的规律。由题可得，分子就是1,2,4,8,16这样的数列。于是

【总结】几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题，只不过需要考生自己找出图形与图形之间的联系而已。对于这类问题，首先就是要仔细读题，看清楚题目所求的未知量是什么，然后找出各个未知量之间的联系，这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中，哪些变了，哪些没有变。最后根据这些联系列出通项去求解。在遇到具体关系很难找的问题时，不妨先写出第一项，第二项，第三项然后去找数式上的规律，如上面例6就是一例，如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方，反而会使问题复杂化，直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。这类题目计算量往往不大，重在思考和分析的方法，还请考生细心掌握。

第二部分发散思考

【思考1】2009，西城，二模

如图，在平面直角坐标系xOy中，，，，，…，以

为对角线作第一个正方形，以为对角线作第二个正方形，以为对角线作第三个正方形，…，如果所作正方形的对角线都在y轴上，且

的长度依次增加1个单位，顶点都在第一象限内（n≥1，且n为整数）．那么的纵坐标为；用n的代数式表示的纵坐标：．