2020年第二章统计基本概念

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第二章数理统计的基本概念

1总体、样本及统计量

（1）总体X是指研究对象的全体，是一个R.V.（随机变量）含有未知参数

（2）从总体X中随机抽取一个子样X1，X2……Xn（样本容量为n），满足与X具有相同分布，且X1，X2……Xn相互独立，称X1，X2……Xn是X的一个简单随机样本．

常用的统计量（不含任何未知参数的样本函数）

１°样本均值

（算术平均值）

若

，

由辛钦大数定理可近似代替总体均值，

又由样本相互独立且与总体同分布

。

２°样本方差

３°也称为样本方差

,是的有偏估计，但是一个渐近无偏估计．而,是的无偏估计.

四个重要分布

正态分布

为密度函数，图形关于为对称，

若，则，称为标准正态分布

为它的密度函数

且有密度函数为偶函数

（概率积分）

其分布函数

可查表求其值如

又若一般正态分布

则，为标准差

以上过程称为标准化

当，对，可查表求Zα，

使

及

如，则（查.975表）

又如，则（查.95表）

以及

例某地区电压X是一个R.V.，X~N(22,252)，可分为三种状态，小于2V，介于2~24V之间，高于24V，电子设备在三种状态下故障的概率分别为.1、.1、.2，求

设备出故障的概率

解假设Ａ表设备出故障，Bi(i=1，2，3)分别表示三种状态

由全概率公式

若设备已出故障，分别求在三种状态下出现的概率．

解由贝叶斯公式

同理

χ2-分布

设X~N(,1)，X1、X2……Xn是样本，则

1°

即n个相互独立的标准正态分布R.V.的平方和服从自由度为n的卡方分布．2°

其中

为伽玛函数，若n为正整数

利用分部积分法可推出

又由

令，两边微分有

即

递推关系式Г(s+1)=sГ(s)，

3°若，，且、相互独立

证明由、相互独立

4°若

证明由

5°可查表求其值

对<α<<1，χ2~χ2(n)

有

取α=.5，n=8，查表

及

t-分布

1°结构若，且X,Y相互独立

则，即T服从自由度为n的t-分布

2°若T～t(n)，则T的密度函数为

为一偶函数

可以证明

即t-分布的近似分布为标准正态分布

3°可查表求其值如图

对<α<<1，T~t(n)

若取α=.5，n=8

查表

F-分布

若，且X，Y相互独立，则

1°

n1，n2分别是第一、第二自由度

2°

3°可查表求其值，如图

对<α<<1

如α=.5，n1=8，n2=17查表

及

七个常用的抽样分布定理

设，X1、X2Xn是样本，样本均值和样本方差分别为由，