2021年高考数学 虚设零点法解决隐零点问题

解析：（1）因为
f
( x)
ln x x2
，当 0
x
1 时，
f
( x)
0 ，当
x
1时，
f
( x)
0 ，所以函数
f
(x)
在 0，1上
单调递增，在 1， 上单调递减，故函数 f (x) 的极大值点为 x 1 ，所以1 a, a 1，故所求的实数 a 的取值
范围是 0，1；
（2）方程 f (x) x2 2x k 有实数解，即 f (x) - x2 2x k 有实数解，
当 x∈(0，x0)时，f′(x)＜0； 当 x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0. 所 以 f(x)在 (0， x0) 上 单调 递 减， 在(x0， ＋∞) 上 单调 递 增， 当 且仅 当 x＝ x0 时 ， f(x)取 得最 小 值， 最 小值 为
f(x0)= e2x0 a ln x0 ．
因为 2e2x0 - a 0 ，所以 e2x0 a ，即 f(x0)＝ a ＋2ax0＋aln2≥2a＋aln2(当且仅当 x0＝1时等号成立)．
x0
2 x0
2x0
a
a
2
所以当 a＞0 时，f(x)≥2a＋aln2. a
点评：本题第(2)问的解题思路是求函数 f(x)的最小值，因此需要求 f′(x)＝0 的根，但是 f′(x)＝2e2x－a＝0 的根无法 x
2. “虚设零点法”：基本解决思路是：形式上虚设，运算上代换，数值上估算，策略上等价转化，方法上分离函 数（参数），技巧上反客为主.
设 g(x) f (x)ຫໍສະໝຸດ x22x，则
g
(
x)
2(1
x)
ln x x2
2x2 (1 x) ln x x2
，
Step1:求出 f (x) ，判断符号，一般为恒正（恒负），得出 f (x) 恒增（恒减）；（唯一性）
例 1.设 f (x) 1 ln x . x
（1）若函数 f (x) 在 a, a 1上由极值，求实数 a 的取值范围；
类：一类是导函数零点可求出的，称之为“显零点”（对应：一般方程）；一类是导函数零点不可求出的，称之为 “隐零点”（对应：超越方程）若遇到导数零点不易求解的情况时，我们该如何继续解题呢？
求解．故设出 f′(x)＝0 的根为 x0，通过证明 f(x)在(0，x0)和(x0，＋∞)上的单调性知 f(x)min＝f(x0)＝2ax0＋2ax0＋aln2a， 进而利用基本不等式证得结论，其解法类似解析几何中的设而不求．
例 2.设函数 f(x)＝e2x－aln x. (1)讨论 f(x)的导函数 f′(x)零点的个数； (2)求证：当 a＞0 时，f(x)≥2a＋aln2.
a
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解(1)法一：f′(x)＝2e2x－a(x＞0)． x
当 a≤0 时，f′(x)＞0，f′(x)没有零点．
当 a＞0 时，设 u(x)＝e2x，v(x)＝－a， x
因为 u(x)＝e2x 在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－a在(0，＋∞)上单调递增， x
所以 f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又因为 f′(a)＞0，当 b 满足 0＜b＜a且 b＜1时，f′(b)＜0，
4
4
所以当 a＞0 时，f′(x)存在唯一零点．
法二：f′(x)＝2e2x－a(x＞0)．令方程 f′(x)＝0，得 a＝2xe2x(x＞0)． x
接下来需要求出函数 g(x) 的单调区间，所以需解出 g(x) 0, g(x) 0 ，因而需解方程 g(x) 0 ，但此超越方
Step2 :取点， f (a) 0, f (b) 0 ，利用零点存在性定理，判断出零点存在，结合 f (x) 的单调性，得出结论： 程不易求解，因此我们可以考虑将“零点显化”，注意到 g(1) 0 ，且当 0 x 1 时， g(x) 0 ，当 x 1时，
Step4 :利用条件 f (x0 ) 0 进行代数转换，将超越式变简单式：（化繁为简，化腐朽为神奇）
点评：当求出的导函数是超越函数，其零点不易求出时，往往先用特殊值“-1，0，1”进行试探，尝试将隐零点
显化出来，原则是出现 ln x ，用 1 试探，出现 ex ，用 0 试探，当然还要探究是否有其他零点存在，往往采用“二
因为函数 g(x)＝2x(x＞0)，h(x)＝e2x(x＞0)均是函数值为正值的增函数， 所以由增函数的定义可证得函数 u(x)＝2xe2x(x＞0)也是增函数，其值域是(0，＋∞)．
由此可得，当 a≤0 时，f′(x)无零点；当 a＞0 时，f′(x)有唯一零点．
(2)证明：由(1)可设 f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为 x0，则 f (x0 ) 0 .
唯一的零点 x0 a, b，使得 f (x0 ) 0 ；（存在性）
Step3 : 判断出函数 f (x) 的单调性，用 x0 表示出所求的问题（最值）；（避开零点的具体值）
g(x) 0 ，所以函数 g(x) 在 0，1上单调递增，在 1， 上单调递减，所以 g(x)max g(1) 2 ，当 x 0 时， g(x) ；当 x 时， g(x) ，所以 g(x) 的值域为 - ，2，所求实数 k 的取值范围是 - ，2.
“虚设零点法”巧解“隐零点”问题
导读：导数是研究函数的有力工具，其核心是由导数值的正负性确定函数的单调性，而用导数研究函数 f (x) 的 单调性，往往需要解出方程 f (x) 0 的根，根据方程 f (x) 0 的根能否准确求出的情况，我们不妨将之分为两
②虚设零点+反代消参，构造关于零点单一函数；
Step5 : 结合零点的范围进行求解，有时需要灵活调整零点所在区间；（“度”的把握）
次求导术”判断一阶导函数的单调性进行说明，若零点无法显化，那么采用“虚设零点”的方法解决，
二．高频考题：
1.不含参函数：虚设零点+整体代换，将超越式换成普通式； 2.含参函数：①虚设零点+降次留参，建立含有参数的方程；
一．突破策略：
1. “隐零点的显化”：有些超越方程的零点是可以直接猜出来的，如“ ln x x 1 0 ”的根为“ x 1 ”， “ e2 x 1 0 ”的根为“ x 0 ”等，猜出零点的这个过程称之为“隐零点的显化”，当然还要利用“二次求导
数术”判断还有没有其他零点存在；
（2）若关于 x 的方程 f (x) x2 2x k 有实数解，求实数 k 的取值范围；