考虑轴向力影响欧拉梁动力反应分析

考虑轴向力影响欧拉梁动力反应分析
一、前言
在前面的学习过程中，我们学习了多自由度离散体系的任意结构动力反应分析，但是对实际结构来说，本质上都是具有分布质量的弹性体，即分布参数体系。

要描述这些弹性体系任意瞬时的空间位置，严格上说需要无限多个广义坐标，这样的体系称为无限自由度体系。

要严格描述无限自由度体系的振动，需要建立位移关于空间位置坐标和时间两个独立变量的连续函数，因此，描述无限自由度体系的运动方程为偏微分方程。

连续结构体系可按描绘它们动力行为分布所需的独立变量数来分类。

但本文讨论的梁结构或轴向变形的杆，属于一维结构，它们的物理性质和动力反应可用单独一个坐标，于是这种体系的偏微分方程只包含两个独立变量，即时间和沿轴的距离。

二、考虑轴向力影响的梁的弯曲振动方程
已知：一非均匀简支梁，沿梁长度x 方向变化的抗弯刚度EI(x)，单位长度的质量m （x ），作用在梁上的横向荷载p （x ，t ），作用在梁端不随时间变化的轴向力N 以及梁的横向位移u （x ，t ）。

求：弯曲梁的弯曲振动方程。

步骤：
1、假定梁的运动为平面弯曲，并假定变形前梁的横截面在变形后仍保持为平面，且垂直于变形后的梁轴线，即符合弯曲的平截面假定。

2、取梁上任一截面x 处的微段dx 为隔离体。

作用在其两截面上有弯矩M ，剪力Q,分布外荷载P （x ，t ）和假定的惯性力
2
2)
,()()(f )(df t
t x u x m dx x x I I ∂∂==。

3、由竖向力平衡条件，得第一个平衡方程：
)2..(..............................)
,()(),()1(..........0)(]),()(),([2
22
2t t x u x m t x P x Q dx x Q
Q dx t
t x u x m t x P Q ∂∂+-=∂∂=∂∂+-∂∂--整理得：
4、由力矩平衡条件，对微段右截面和x 轴的交点取矩，得到第二个平衡方程
)3.......(..........0)()](),()(),([21),(2
2
2=∂∂+-∂∂--∂∂++dx x M M dx t
t x u x m t x P t t x u N Qdx M
整理得： )4....(..............................)
,(t
t x u N Q x M ∂∂+=∂∂ 将（2）代入（4）得
)5.(..........),(),()(),(2
22222t
t x u N t t x u x m t x P x M ∂∂+∂∂+-=∂∂ 根据梁的初等变形理论，梁的弯矩和曲率的关系式为：
)6......(....................)
,()
(2
2x t x u x EI M ∂∂-= 将（6）代入（5）得：
)7....().........,(]),()([),(),()(2
2222222t x P x
t x u x EI x x t x u N t t x u x m =∂∂∂∂+∂∂+∂∂ 上式即为考虑轴向力影响的梁的弯曲振动方程。

对于等截面梁，式（7）可以简化为：
)8....().........,(),(),(),(4
42222t x P x t x u EI x t x u N t t x u m =∂∂+∂∂+∂∂
三、梁的自振频率和振型
分析轴向力影响欧拉梁的固有振动特性，这里仅讨论等截面直梁的情况。

这
时，梁的自由振动运动方程为式（8）的齐次方程，即：
)9..(..........0),(),(),(4
42222=∂∂+∂∂+∂∂x t x u EI x t x u N t t x u m
用“’”表示对位置x 的导数，用“∙”表示对时间t 的导数，则（9）式可
写成
)10.(........................................
0''''''u u m =++∙
∙EIu N 用分离变量法求解，假定解得形式为
)11.......(..............................).........()(),(t q x t x u φ=
式中，)(x φ表示振动的形状，它不随时间而变化，)(t q 表示随时间变化的振幅。

将式（11）代入（10），得到：
)12...(....................0)()('''')()('')(q(t)m =++∙
∙t q x EI t q x N x φφφ
公式两端同时除以)()(t q x φ得：
)13........(....................)
(q(t)
m )()('''')()(''C t q x x EI x x N =-=+∙
∙φφφφ 式中C=m 2ω
由此得到两个独立的常微分方程：
)
15........(..................................................0)(q )()14..(..............................0)('''')(''2
2=+=-+∙
∙t t q m x EI x N ωφωφφ
方程（15）是单自由度体系无阻尼自由振动方程，其解为
)16(........................................cos sin )(11t B t A t q ωω+=
式中的系数可以根据初始位移q(0)和初始速度)0(q ∙
确定，即
)17.(........................................cos )0(sin )
0()(t q t q t q ωωω
+=
∙
方程（14）是四阶微分方程，设其解得形式为
)18.(............................................................)(sx Ce x =φ
将式（18）代入式（14），得
EI
N g EI m
a ce a s g s sx =
==-+2
24
4224,)19.(........................................0)(ω式中
解得
)20....(..................................................,4,3,2,1εδ±±=i s
其中)21..( (2)
)4(,2)4(221
44
221
44
g g a g g a -+=++=εδ
将（20）代入（18）式，并用三角函数和双曲函数等式代替指数函数得
)22...(..........cosh sinh cos sin )(x D x C x B x A x εεδδφ+++=
式中四个常数A~D 决定梁振动的形状和振幅，它们可以利用梁端的边界条
件确定。

对于每一个可能指定的轴向力值，方程（22）给出了相应梁的振动形式。

四、振型的正交性
根据功的互等定理，第n 阶振型的惯性力在第m 阶振型位移上所做的功等于第m 阶振型的惯性力在第n 阶振型位移上所作的功。

用数学表达式可表示为：
)23.........(....................),()(),()(,0
,0
dx t x f x u dx t x f x u
m I L
n n I L
mq
⎰⎰=
当梁以某种振型振动时，其各点的位移可表示为：
)
25..(..................................................sin )(),()24....(..................................................sin )(),(t q x t x u t q x t x u m m m m n n n n ωφωφ==
由振型引起的相应的分布惯性力为
)
27.....(..........sin )()(),()(),()26.......(..........sin )()(),()(),(2
22
,2
2
2
,t q x x m t
t x u x m t x f t q x x m t
t x u x m t x f m m m m m m I n n n n n n I ωφωωφω=∂∂-==∂∂-= 将以上四式的幅值代入式（23）得
)28.(..........)()()()()()(2
2
dx q x x m q x dx q x x m q x m m m n n L
n n
n m m L
φωφφωφ⎰⎰
=
即
)29.........(........................................0)()()()(0
22
=-⎰dx x x m x m L
n m
n φφωω
对于一般工程结构，2
2m
n ωω≠，则有
)30......(............................................................0)()()(0
=⎰dx x x m x m L
n
φφ
这就是分布参数简支梁关于分布质量的正交条件。

如果用分布刚度作为加权函数，可以得到分布参数体系关于振型的第二个正交条件
对于有轴向力的变截面梁，自由运动方程为
)31....(..............................0]),()([),(),(22222222=∂∂∂∂+∂∂+∂∂x t x u x EI x x t x u N t t x u m
左边第一项)32........(..........sin )()(),()(2
2
2t q x x m t
t x u x m n n n n ωφω-=∂∂ 左边第二项)33.........(........................................sin ),(2
222t q dx d N x t x u N n n n ωφ=∂∂ 左边第三项)34........(sin ])([]),()
([2
222
2222t q dx d x EI dx d x t x u x EI x n n n ωφ=∂∂∂∂ 则式（31）可写成
)35.......(....................).........()(])([2
222222x x m dx
d N dx d x EI dx d n n n n φωφφ=+
将式（35）代入（30）得：
{})36....(..............................0])([)(222222
=+⎰dx dx d N dx d x EI dx d x n n L
m φφφ
式（36）即是受轴向力影响的简支梁关于分布刚度的正交条件。

对式（36）进行两次分布积分，得：
)37......(..........0])'()'()(')'('')(['0
0=++-⎰dx x x N x EI x x M Q n m n L
m L
o n m L n m φφφφφφ
对于简支梁，边界处的位移弯矩都等于零，则式（37）中得第一项和第二项都等于零，仅剩下第三项，即：
)38(........................................0])'()'()(')'('')([0
=+⎰dx x x N x EI x x n m n L
m
φφφφ
五、振型叠加法
1、无阻尼体系
振型叠加法的基本运算就是把几何位移坐标变换为用振型幅值表示的广义坐标。

对于梁这样的一维连续体，这个变换的表达式为
)()(),(1
t q x t x u n n n φ∑∞
== (39)
式中，u (x, t )是体系的几何位移坐标；q n (t )是第n 阶振型的广义坐标；φn (x )是第n 阶振型。

上式的物理意义是：结构上任何约束条件所容许的位移都能用此结构的具有相应幅值的各振型的叠加得到。

由式（7）已求得分布参数梁的运动方程为：
)40....().........,(]),()([),(),()(2
2222222t x P x
t x u x EI x x t x u N t t x u x m =∂∂∂∂+∂∂+∂∂ 将式（39）代入上式，并在每项乘上)(x m φ，并积分得：
{
})
41(..........),()(])([)()()()()()(0
1
2
2
2222
10⎰∑⎰∑⎰=++
∞=∙
∙∞=L
m n L
n n m n n n n L
m
dx t x P x dx dx d N dx d x EI dx d
x t q dx t q x x m x φφφφφφ
由正交条件，上面级数除m=n 外，其余各项都等于零，于是
{}⎰⎰⎰=++∙
∙L
n L n n n n L n
n dx t x P x dx dx d N dx d x EI dx d x t q dx x m x t q 0
02
22222
02
)42......(),()(])([)()()()()(φφφφφ将式（35）代入（42），得
)43....(..........),()()()()()()()(0
2
2n 2⎰⎰⎰=+∙
∙L
n L
n n L
n
n dx t x P x dx x m x t q dx x m x t q φφφω
记
dx x m x M L
n ⎰=02n )()(φ (44)
⎰=L
n dx t x P x P 0
n ),()(t φ）
（…………………………..(45) 分别表示第n 阶振型质量和对应第n 阶振型力，则式（43）可以简化为
2()()()n n n n n n M q t M q t P t ω∙∙
+= (46)
由Duhamel 积分可求得
1()()sin ()d t
n n
n
n n
q t P t M τωττω=
-⎰ (47)
则无阻尼受轴向力影响简支梁的振动位移为
∑
⎰∞
=-=1
n 0
n
n )(sin )()(1),(n t
n n d t P x M t x u ττωτφω (48)
2、有阻尼体系
有阻尼体系相对于无阻尼体系只是多了c ，其运动方程为
)
49)......(,(]),()(),()([),(c ),(),()(2322222222t x P t
x t x u x I c x t x u x EI x x t x u x t x u N t t x u x m s =∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ 其化简方法与无阻尼类似，同样在每一项乘上)(x m φ，积分化简为
)50.......(....................).........()()()(n 2n t P t q M t q C t q M n n n n n n =++∙
∙
∙ω
其中 n n n n M C ωζ2=
则有阻尼振型运动方程为
)51.......(....................).........(1
)()(2)(n
2
t P M t q t q t q n n n n n n n =++∙
∙
∙ωωζ 由Duhamel 积分可求得
阶有阻尼自振频率为第其中，n -1)52(..............................)(sin )(1)(2n n n n )
(0
n
n ζωωττωτωτωζ=-=
--⎰D D t t
n D n d t e P M t q n n
则有阻尼受轴向力影响简支梁的振动位移为
)53.(..........)(sin )()(1),(1
n )
(0
Dn
n ∑
⎰∞
=---=n D t t
n n d t e P x M t x u n n ττωτφωτω
ζ
六、算例
一受轴向力等截面简支梁，如下图所示，当一常力P(t)=P0在其上移动，求该体系的位移反应。

（已知常力P0，常力移动速度v ，梁长L ，梁质量m ，轴向力N ，梁的抗弯刚度EI ）
解： （1）求梁的自振频率和振型 根据简支梁两端铰接的边界条件
在x=0处，0)0(=φ，根据公式（22）可知：B= —D ；
.
00)(,0)()0cosh 0sinh ()0cos 0sin )0(''0)0('')0(22222222
==≠+=++-=++--===D B B D B D C B A EI M ，所以必有因为得：（，即
εδεδεδεδφφ
在x=L 处，0)(=L φ,即,0)('')(==L EI L M φ
sinh in 0sinh sin 2
2
=+-=+L C L s A L C L A εεδδεδ
因为A 、C 不能同时为零，所以这个系数行列式的值必须等于零，即 0s i n h s i n h in sin 2
2
=L
L
L s L
εεεδδδ
展开得
0s i n h s i n )(22=+L L εδεδ 因为所以有,0sinh )(22≠+L εεδ
L δs i n =0 根据三角函数关系，可解得
∞==.....,2,1n n ，
，πδL 因此，将上式代入（21），并根据是（19）中得个参数，得到自振频率为
).........,2,1(14
2222
2n n n mL
EI EI n NL n =-=ππ
ω 将L δsin =0代入，得C=0
综上，得到该简支梁的振型函数为
n A x =)(n φL
x
n πs i n
令n A =1，得到标准化的振型函数为
=)(n x φL
x
n πs i n
（2）求梁的振型质量和振型力 对于等截面梁，m(x)=m ，则振型质量
⎰⎰=
==L
L
n
mL
dx L x n m dx x m M 0
2
2n 2
sin )(πφ 对于集中力下的广义力，将其表示为
)()(),(t P s x t x P -=δ
式中δ为Dirac 函数，它有特性
⎩⎨⎧≠=∞=-s
x s
x s x ,0,)(δ
)()()(s f dx x f s x b
a
⎰=-δ
则在常力P0作用下梁的振型力为
s i n 0s i n )()()s i n
)
()()()()()(0
P L
vt
n P L
s
n dx t P s x L x n t P s dx t P s x x t P L
n L
n n ππδπφδφ==-==-=⎰⎰ （3）求梁的位移反应
当移动力等于常量P0时，P0作用下简支梁第n 阶广义动力平衡方程为
L
vt
n P L t P M t q t q t q n n n n n n n πωωζsin 0m 2).(1)()(2)(n 2
==++∙
∙
∙
由式（52）可得
]c o s 2s i n )1[()2()1(1m 02)(sin )(1)(2
2
22n )
(0
n
n L
vt n L vt n L P d t e P M t q n n n n n n D t t
n D n n n πβξπββξβττωτωτωζ--+-=
-=
--⎰
式中，4
222
4
2
22
2
2n
1v 1mL EI EI
n NL
L n mL EI EI n NL n L
v
n n πππππωω
β-
=-=
=为第n 阶加载
频率与体系自振频率的比
因此，梁的位移反应根据公式（53）为
L
x n L vt n L vt n L P d t e P x M t x u n
n n n n n n n D t t
n n n n
ππβξπββξβτ
τωτφωτω
ζsin ]cos 2sin )1[()2()1(1m 02)(sin )()(1),(2
22211n )
(0
Dn
n --+-=
-=∑∑
⎰∞=∞
=--
（4）matlab 编程
P0=-1; %常力
v=0.1; %常力移动速度 L=3; %梁长 m=50; %梁质量 N=1; %轴向力 EI=100000; %梁的抗弯刚度 g=0.1; %把梁分割的步长
N1=L/v; %表示常力在梁上运动总的时间。

本例为3 N2=L/g; %把梁分割成N2段，即N2个自由度。

本例中为30 d=1.5+0.07*(20-L);%阻尼比 U=zeros(N1,N2);
考虑轴向力影响欧拉梁动力反应分析
for i=1:N1 %时间t 本例中为3
for j=1:N2 %梁的N2个部分，即可表示任意梁的位置
syms n%定义n为变量
U(i,j)=(2*P0/m*L)*symsum(((1-(v/(n*pi*L*sqrt(1-N* L*L/(n*n*pi*pi))*sqrt(EI/(m*L^4))))^2)*sin((n*pi* v/L)*i)-...
2*d*(v/(n*pi*L*sqrt(1-N*L*L/(n*n*pi*pi))*sqrt(EI/ (m*L^4))))*cos((n*pi*v/L)*i))*sin(n*pi*g*j/L)/... ((1-(v/(n*pi*L*sqrt(1-N*L*L/(n*n*pi*pi))*sqrt(EI/ (m*L^4))))^2)^2+...
(2*d*(v/(n*pi*L*sqrt(1-N*L*L/(n*n*pi*pi))*sqrt(EI /(m*L^4)))))^2),1,N2) %公式（52）稍微有点长（暂时没想到办法解决）
end
end
plot(U(2,:)) %画出t=2时刻梁的位移反应。