数学美在数学教学中的应用

数学美在数学教学中的应用
常德市鼎城区第一中学 宁文辉
在不少学生眼里，“枯燥乏味”成了数学的代名词。

只是苦于应付考试而不得已去学数学，做数学题。

因而学而无趣，学而无劲。

难以有创造力和创新精神。

这就要求教师应正确地引导学生审视数学美、发掘数学美、追求数学美、创造数学美、应用数学美。

带领学生进入数学美的王国，让学生在审美的愉悦中，丰富想象，陶冶情操，从而达到培养学生具有创新意识、创新思维、创新能力的目的。

一 数学美的涵义及其表现形式
数学美的鼻祖毕达哥拉斯认为美就是“数的和谐”，“把杂多导致统一，把不协调导致协调”。

而今日的数学是一个高度抽象的思维王国。

它既有高原雪莲，又有空谷幽兰，既有情境之中的自然美，又有意料之外的奇异美。

复杂美、曲折美、精确美、结构美、简洁美、对称美、和谐美、统一美、含蓄美、严谨美、逻辑美、明快美、应用美、抽象美、艺术美等。

美充满了整个数学王国。

由于数学创造取得的自由形式往往表现出简洁性、对称性、抽象性、和谐性、奇异性等，它们是数学美的表现形式。

二 数学美在数学教学中的应用
1 数学美能激发学生的学习兴趣
苏霍姆林斯基说过：“知识本身就是一种最令人惊异和感到神奇的过程，能激起高昂而持久的兴趣”。

而兴趣是求知的起点，是培养思维和提高能力的内因。

兴趣可激发一定的情感，唤起某种动机，培养人的意志，是克服困难的一个因素。

作为教师要善于在数学抽象问题的解决过程中，逐渐唤醒学生数学美的意识，提高学生的学习兴趣。

我在“椭圆”概念的引入时，取一条定长的绳，把它的两端固定在事先准备好的小黑板上，使两个固定点的距离小于细绳的长度，用粉笔把绳拉紧，在小黑板上慢慢移动，画出的封闭曲线就是椭圆。

这样通过仔细观察画示意图的过程，就引入了椭圆的概念，而学生在观察椭圆形成的过程中，发现椭圆既有简洁美，又有对称美，这为后面的学习做了很好的铺垫。

在引导学生推导出椭圆的标准方程：122
22=+b
y a x 后，再让学生观察方程形式，同样具有简洁美和对称美。

一个人从学生时代听课、做作业、应考，工作后科研、设计、授课、著书立说等，打交道最多的几个数学定理恐怕少不了勾股定理，可见这一定理的重要性。

但它的数学叙述是那样的简单：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

若a ,b,c 以分别表示勾、股、弦，则勾股定理可以写成
222c b a =+
此定理在三角学中的直接派生物是常用公式
1cos sin 22=+αα
这两公式都是数学简洁美的典型例子，因而使人产生明快的感觉。

说明简洁的数学结果不仅使人增添知识，还能得到美的享受，激发学习兴趣。

勾股定理无论是从应用的广泛性来看，还是从它那极简明的数学形式上看，
都是诱人的。

2000多年来，人们给出此定理的许多证明方法。

有人曾收集了此定理的370多种不同的证法，还有人写过这方面的专著。

是什么东西吸引了这么多的人，使他们对勾股定理及其证明方法产生如此之大的兴趣呢？美是重要原因之一。

下面介绍一种别致的证明方法。

在直角三角形ABC 的斜边BC 上作一个等腰直角三角形BCE ，BC=CE 。

过E 作AC 延长线的垂线，垂足为D （如下图）
分别以c b a ,,表示AC,AB,BC 的长度.则因ΔCDE ≌ΔABC,所以AB=CD=b,AC=DE=a
梯形ABED 的面积=2)(2
1b a + 三角形ABC 的面积=三角形CDE 的面积=ab 2
1 三角形BCE 的面积=22
1c 所以，222
1212)(21c ab b a +⋅=+ 即
这就证明了勾股定理。

中学教材中采用的是面积割补法。

因为按定理的内容，只要证出以斜边为边的正方形的面积等于以直角三角形为边的两个正方形的面积之和即可。

这种面积割补法通常很麻烦，相比之下，以上的证明方法还真体现了简洁美呢！
2 数学美能培养学生的创新能力
课改后的中学数学课本，内容丰富多彩，层次分明，严谨有序。

之所以将其分割成代数、三角、平面几何、立体几何、解析几何等，不过是研究叙述的方便。

因此，在解题时，不要用孤立的眼光去看问题，而应用相互联系的观点去分析、去思考，自然就产生了数形结合法、代数问题的几何解法、几何问题的代数证法等。

任一道数学题又是和谐的、严谨的，表现在条件与条件之间是相容的、独立的，条件与结论是充分的，但又不能过强。

而一题多解、殊途同归，多门学科走到一起，一个问题解决，多个问题受益的现象又表现了数学的和谐美、自然美和抽象美。

例1 如果实数y x ,满足等式 ,3)2(22=+-y x 那么 x
y 的最大值是（D ） A
B
C D E
A 2
1 B 33 C 23 D 3 本题是一道条件最值问题，既可用代数方法也可用几何方法求解。

反映了数与形的对立统一关系。

方法一（几何法）：题目的实质是求圆M ：3)2(22=+-y x 上的点N （y x , ）与原点O 所在直线的斜率的最大值，由下面几何图形知3≤x
y
方法二（代数法）：设k x
y =，则kx y =，由法一的分析有33122≤⇒≤+k k k ，既3≤x
y 方法三（参数法）：设 θcos 32+=x ，θsin 3=y ，)2,0[πθ∈
则
θθcos 32sin 3+=x y 因为
θ
θ
θ
θθθθθsin 2cos 2sin 22cos 2sin )32)(32(22sin )32(2cos )32(cos 322222
==-+≥-++=+
所以 3≤x
y 当且仅当 322
tan +=θ时等号成立。

本题的解法推导严密，丰富多彩而又不失其严谨美，既有利于揭示问题的本质，又有利于培养学生的发散思维，从而培养学生的创新能力。

例 2 已知22
1)(x x x f +=，求
)100100()1002()1001()2100()22()21()1100()12()11(f f f f f f f f f +++++++++++ 之值。

分析：本题的“和式”是10000项之和，显然不宜逐项相加之法。

以数学审美的眼光去观察，发现其和谐、有序：每100项成等差数列，且每一个数都有其倒数。

而1)1()(=+x
f x f 所以原式=50001001002
1=⨯⨯，再次显示了数学的简洁美。

3 培养学生的数学审美情趣
数学教材中许多优美的重要曲线都具有直观的，有形的节奏美和对称美。

三角函数是描述客观事物具有周期性的最基本的一类函数，它们的图象把这种周期现象的变化特征图形化了。

在一次活动中，我问学生，同学们看到正弦曲线，能联想起什么呢？当时同学们众说纷纭。

有的说：大雁飞过时它的双翼在空中将画出正弦曲线；也有的说一望无边的海浪，被风吹拂的大草原，它们那荡漾起伏的表面形状也可以大致用正弦曲线表示。

既然海面、草原是富有节奏感的，那么我们的正弦曲线不也具有同样的节奏感么？中国北朝有一首非常美的民歌，叫“刺赖歌”，记得里面有这么两句：“天苍苍，野茫茫，风吹草低见牛羊”。

吟起它来那被疾风吹动而泛起绿色波涛的西北草原景象就会浮现在人们的脑海里。

但又想到，那因“草低”而“见牛羊”的地方正是我们的曲线上的波谷之处了。

在这里数学不仅有了节奏感，而且简单到了和大自然的节奏融为一体的地步。

上述的活动过程是经过学生的审知活动并进而产生数学美感的过程，不但激发了学生的学习兴趣，也培养了学生的数学审美能力。