第五章：频率响应法

第五章系统的频率特性分析

本章目录

5.1 频率特性

5.2 对数坐标图

5.3 极坐标图

5.4 乃奎斯特稳定判据

5.5 相对稳定性分析

5.6 频域性能指标和时域性能指标的关系

小结

本章简介

在经典的控制系统分析方法中，有两种基本方法是可以不需解微分方程而可对控制系统的性能进行分析和校正的：其一是上一章的根轨迹法，其二即本章介绍的频率特性分析法。频率响应法是一种工程方法，是以传递函数为基础的一种控制系统分析方法。这种方法不仅能根据系统的开环频率特性图形直观地分析系统的闭环响应，而且还能判别某些环节或参数对系统性能的影响，提示改善系统性能的信息。控制系统的频域分析方法不仅可以对基于机理模型的系统性能进行分析，也可以对来自于实验数据的系统进行有效分析。它同根轨迹法一样是又一种图解法，研究的主要手段有极坐标图(Nyquist图)和伯德图(Bode图)法。

与其它方法相比较，频率响应法还具有如下的特点：

1）频率特性除可以由前述传递函数确定外，也可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，特别便于工程上的应用。

2）由于频率响应法主要是通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量较少的特点。

3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。

由于上述的特点，频率响应法不仅至今仍为控制理论中的一个重要内容，而且它的有关理论和分析方法已经广泛应用于鲁棒多变量系统和参数不确定系统等复杂系统的研究中。

本章我们将在介绍控制系统频率特性的基本概念后，着重于开环控制系统的频率特性分析：极坐标图(Nyquist图)和半对数坐标图(Bode图)，同时将应用Matlab工具分析控制系统的频率特性，最后简要分析开环控制系统的频率特性与闭环控制系统的频率特性的关系，并研究它们与控制系统性能指标的关系。

5.1频率特性

频率特性又称频率响应，它是指系统或元件对不同频率的正弦输入信号的响应特性。系统的频率特性可由两个方法直接得到：(1) 机理模型—传递函数法；(2) 实验方法。

5.1.1 由传递函数求系统的频率响应

设系统的开环传递函数

（5—1）

对应的频率特性为

（5—2）

如果在S平面的虚轴上任取一点，把该点与的所有零、极点连接成向量，并将这些向量分别以极坐标的形式表示：

则式（5－3）可改写为

（5－3）

由上式得到其对应的幅值和相角：

（5－4）

（5－5）

同理，可求得对应于的和。如此继续下去，就能得到一系列幅值和相位与

频率的关系，其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性，相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。

5.1.2 由实验方法求频率特性

系统的频率特性也可用实验方法得到。图5－3给出了一种求取系统频率特性的实验接线方法，它由一台正弦信号发生器、系统或元件装置和双踪示波器组成。信号发生器的频率范围由被测试的实验装置决定，双踪示波器的一路用于测量输出、输入信号的比值，即系统的

幅频特性：，另一路用于测量输出信号与输入信号的相位差，即系统的相频特性：

。通过不断改变输入信号的频率值，应可以得到系统的频率特性。

5.1.3 频率特性的基本概念

线性定常系统的频率特性和时域响应是一致的。在频率特性已知的情况下，可通过数值或解析的方法得到系统的时间响应。

如果一个系统的频率特性已知，则可根据反富里叶级数示取系统的时间响应。令

为控制系统输出的频率特性，则由

(5-7)

可得到系统输出的时间响应。上面的积分式可通过解析法或根据频特性图由数值法求得。

反过来，若已知系统的时间响应，也可求出系统的频率特性。为了方便理解，下面先以R－C电路为例，并说明频率特性的物理意义。

同样，对于一般的线性定常系统，设输入为一频率为ω的正弦信号，在稳态时，系统的输出具有和输入同频率的正弦函数，但其幅值和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化。

设线性系统的传递函数具有式（5－2）的形式，已知输入信号，其拉氏

变换，A为常量，则系统的输出为

（5—12）

式中，为的极点。对于稳定系统，这些极点都位于s的左平面，

即它们的实部均为负值。为简单起见，令的极点均为相异的实数极点，则式（5

—12）改写为

（5—13）

其中、和(i=1，2，…，n)，均为待定系数。对上式取拉氏反变换，求得

（5—14）

当时，系统响应的瞬态分量趋向零，其稳态分量为

（5—15）

其中、和由下列两式确定

（5—16）

（5—17）

由于是一个复数向量，因而可表示为

（5—18）

其中。注意到式中、是ω的偶函

数，、是ω的奇函数，因而与互为共轭复数。这样可改写为

（5—19）

把式（5—16）~（5—19）代入式（5—15），可得

（5—20）

以上证明了线性定常系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，其输出与输入

的幅值比为，输出与输入的相位差。

比较频率特性与传递函数的形式可以发现，只要把传递函数中的用代之，就可得

到系统的频率特性，即有。可见，频率特性只是传递函数的一种特殊形式，因而它和传递函数一样能表征系统的运动规律，成为描述系统的又一种数学模型。

5.2对数坐标图

如前所述，频率特性法是一种工程方法，主要采用的是一种图解法。常用的频率特性图示方法分两种：极坐标图示法、对数坐标图示法。本节介绍极坐标图示法。

由于频率特性是一个复数，因而可在复平面上用直角坐标形式表示：

（5－21）

同样也可用极坐标形式写成：

（５－22）

式中，。这样，可用幅值为、相角为的向量来表示。

当输入信号的频率ω由变化时，向量的幅值和相位也随之作相应的变化，其端

点在复平面上移动而形成的轨迹曲线，称为极坐标图，又称为的幅相特性或奈奎斯特(Nyquist)曲线，简称奈氏图。

5.2.1 典型环节的奈氏曲线

为了便于对频率特性作图，本章中的开环传递函数均以时间常数形式表示。具有这种形

式的开环频率特性一般由下列五种典型环节组成。

1）比例环节K；

2）一阶环节；