全国大学生数学竞赛辅导ppt

（2） xe
L
sin y
dy ye
sin x
5 2 dx . 2
Page 22
9.设函数f ( x)连续，且a，b，c为常数， 是单位球面 x 2 y 2 z 2 1, 记第一型 曲面积分I f (ax by cz )dS.

2 u ax by 10.已知函数z u ( x, y )e ,且 0, 确定 xy
x x
存在一点 x0使得f ( x0 ) 0. 证明：f ( x) 0在(,)恰有两实根。
11.设f ( x)在x 1点附近有定义，且在x 1 点可导，并已知f (1) 0, f (1) 2, f (sin 2 x cos x) 求 lim . 2 x 0 x x tan x
sin 2 x x 2 cos2 x 12. 求 lim . 2 2 x 0 x sin x
1 1cos x
Page 4
x 1 x 3 6 13. 求 lim [( x tan )e 1 x ]. x 2 x 1 x 1 sin t 3 dt. 14. 求极限 lim x x x t cos t
10 x 2 y 2 z 27 15.过直线 作曲面 x yz 0 3x 2 y 2 z 2 27的切平面，求此切平面方程.
Page 18
四、多元微分学和积分学
y ( x y ) ln(1 ) x dxdy, 其中区域D是由 1.计算 1 x y D 直线 x y 1 与两坐标轴所围三角形区域。
x2 2.曲面z y 2 2平行于平面2 x 2 y z 0的 2 切平面方程。
Page 8
20.设f ( x)在[1， )连续可导， 1 1 1 f ( x) [ ln(1 ) ], 2 1 f ( x) x x 证明 lim f ( x)存在。
x
Page 9
二、一元函数微分学和积分学
1.设f ( x)是连续函数，满足 f ( x) 3 x f ( x)dx 2, 则f ( x) ___ .
10.设函数f ( x)在闭区间 [1,1]上具有连续 的三阶导数，且f (1) 0, f (1) 1, f (0) 0 求证：在(1,1)内至少存在一点 x0 , 使得f ( x0 ) 3.
Page 13
10.设函数f ( x)在(,)上具有二阶导数，并且 f ( x) 0, lim f ( x) 0, lim f ( x) 0, 且
3.设函数f (t )有二阶连续导数，r x 2 y 2 , 1 2 g 2 g g ( x, y ) f ( ), 求 2 2 . r x y
Page 19
4.设l是过原点且方向为( , , )的直线(其中
2 2 2 x y z 2 2 2 1), 若均匀椭球 2 2 2 1 a b c (其中0 c b a, 密度为1)绕l旋转.
Page 24
axdydz ( z a) 2 dxdy 13.计算 , 其中为下 2 2 2 x y z 半球面z a 2 x 2 y 2 , a为大于0的常数.
14.设f (u, v)具有连续偏导数，且满足 fu (u, v) f v (u, v) uv, 求y ( x) e2 x f ( x, x) 所满足的一阶微分方程，并求其通解.
2
x ln(1 e2t ) d2y 8.已知 ,求 2 . t dx y t arctan e
Page 12
9.设抛物线 y ax2 bx 2 ln c过原点，当0 x 1 时, y 0, 又由已知该抛物线与 x 轴及直线 x 1 1 所围成图形的面积为 ，试确定a, b, c使此 3 图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。
Leabharlann Baidu
1 15.求不定积分I (1 x )e x
x
1 x
dx.
16.求不定积分 x arctan x ln(1 x2 )dx.
Page 16
17.设函数f ( x)在 [2,2]上二阶可导，
2 且 | f ( x) | 1, 又f (0) [ f (0)] 4, 2
Page 15
14.设f ( x)在 x 0的某邻域内有二阶连续导数 且f (0), f (0), f (0)均不为零， 证明：存在唯一一组实数 k1 , k2 , k3 , k1 f (h) k2 f (2h) k3 f (3h) f (0) 使得 lim 0. 2 h 0 h
求证：I 2 f ( a 2 b 2 c 2 u )du.
1
1
常数a和b使z z ( x, y )满足： z z z z 0. xy x y
2
Page 23
11.设u u ( x)连续可微，u (2) 1, 且
( x 2 y)udx ( x u )udy在右半平
Page 3
1 n
1 n
1 n
ln ax )], (a 1). 9. 求 lim [ln( x ln a ) ln( x x 0 ln a
sin x ) . 10. 求 lim ( x 0 x 1 1 n ). 11. 求 lim ( n n 1 n2 nn
Page 2



2 ( 1 x ) e (1 ln(1 x)) 5. 求 lim . x 0 x
2 x
1
(n!) . 6. 求 lim n
1 n 7. 求 lim n[(1 ) e]. n n
n2
a b c n ) , 其中a 0, b 0, c 0. 8. 求 lim ( n 3
Page 11
f ( x) 6. f ( x)连续，g ( x) f ( xt )dx且 lim A, A 0 x 0 x 为常数，求g ( x)并讨论g ( x)在x 0处的连续性.
1
1 7.求方程x sin 2 x 501的近似解， (精确 x 到0.001).
Page 7
19.设{an } n 0 为数列，且a, 为有限数， a1 a2 an 求证：（ 1 ）若 lim an a, 则 lim a, n n n (2) 如果存在正整数p，使得 an lim (an p an ) , 则 lim . n n n p
15. 计算 e2 x | sin x | dx.
0

1
x 等价的无穷大量. 16. 求x 1 时与 n 0

n2
Page 5
dy x2 xy xe 17 （ .1 ）求解微分方程 dx , y ( 0) 1 (2) 若y f ( x) 为上述方程的解， 1 n 证明lim 2 2 f ( x)dx n 0 n x 1 2
Page 14
13.设函数f ( x)在[0,1]上连续，在（0,1 ）内 1 可微，且f (0) f (1) 0, f ( ) 1, 2 1 证明： (1)存在一个 （ ， 1 ）使得f ( ) ； 2 (2)存在一个 （0，）使得 f ( ) f ( ) 1.
x y 0 1.求直线l1： 与 z0 x 2 y 1 z 3 直线l2： 的距离。 4 2 1
2 x y 3z 2 0 2.求通过直线l： 的两个 5 x 5 y 4 z 3 0 互相垂直的平面 1和 2，使其中一个平面 过点(4,3,1).
0
1
函数f ( x)都有 f ( x )dx c.
0
1
x 2t t 2 5.设函数y f ( x)由参数方程 (t 1)所 y (t ) d2y 3 确定，且 2 , 其中 (t )具有二阶导数， dx 4(1 t ) t2 3 u 2 曲线y (t )与y e du 在t 1处相切，求 1 2e 函数 (t ).
3 L
面上与路径无关，求 u ( x).
12.设f ( x)为连续函数，t 0,区域由 z x y , x y z t 所围起来的
2 2 2 2 2 2
上半部分，令F (t ) f ( x 2 y 2 z 2 )dV .

求F (t )的导数F (t ).
2 0 2
2.设y y ( x)由方程xe f ( y ) e y ln 29确定， 其中f具有二阶导数且f 1,

d y ___ . 2 dx
2
3.设s 0, 求I n e x dx, (n 1,2,).
sx n 0
Page 10
4.求最小实数c, 使得满足 | f ( x) | dx 1的连续的
Page 6
18.设函数y f ( x)二阶可导，且f ( x) 0, x 3 f (u ) f (0) 0, f (0) 0, 求 lim , 3 x 0 f ( x ) sin u 其中u是y f ( x)上点P ( x, f ( x))处的切线 在x轴上的截距。
(1)求其转动惯量； （2）求其转动惯量关于方向( , , )的最大值 和最小值.
5.求 sgn( xy 1)dxdy,其中
D
D {( x, y ) | 0 x 2,0 y 2}.
Page 20
6.设 ( x)具有连续的导数，在围绕原点的 任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分 2 xydx ( x)dy C x 4 y 2 的值为常数. （ 1 ）设L为正向闭曲线( x 2) 2 y 2 1. 2 xydx ( x)dy 证明： L x 4 y 2 0； （2）求函数 ( x)； （3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭 2 xydx ( x)dy 曲线，求 . 4 2 C x y
Page 21
7.在平面上，有一条从点(a, 0)向右的射线， 其线密度为 , 在点（0，h)处有一质量为m 的质点(其中h 0).求射线对该质点的引力 .
8.已知平面区域D {( x, y ) | 0 x ,0 y }, L为D的正向边界，试证：
sin y sin x sin y sin x （1 ） xe dy ye dx xe dy ye dx； L L
证明：在 (2,2)内至少存在一点 , 使得f ( ) f ( ) 0.
18.设计一个容积为V 的圆柱体的容器，已知 上下两底的材料费为单位面积 a 元，而侧面 的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设 计方案：即高与上下底的直径之比为何值时 所需费用最少？
Page 17
三、空间解析几何
全国大学生数学竞赛辅导
（预赛）
一、极限和连续
1.设xn (1 a)(1 a )(1 a ), 其中 | a | 1,
2 2n
求 lim xn .
n
2.设an cos cos 2 cos n , 求 lim an . n 2 2 2 x 2x nx e e e e x ) , 其中n是 3.求极限 lim ( x 0 n 给定的正整数. 1 x2 x 4.求 lim e (1 ) . x x