混沌振动识别的研究
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2 J iang Rongjun, Zhu Sh ijian, H e L in, et a l. P ro sp ect of app lying con tro lling chao tic vib ra tion in the w a ter2 bo rne2no ise confron ta tion. 18th B ienn ia l Conference on M echan ica l V ib ra tion and N o ise, A SM E, P its2 bu rgh, U SA , 2001. 21663
图 1 信号识别流程图
段 的 斜 率 即 为 关 联 维 数 值. 其 中 C ( r) =
∑∑ 1 N
N2 i
N
Η( r -
j
rij ) . 式中: Η(x ) 为 H eaviside 函
数, 且有
1, 当 (r - rij) ≥ 0 时 Η( r - rij ) = 0, 当 ( r - rij ) < 0 时 (1)
3 Ho lger Kan tz, T hom a s Sch reiber. N on linea r T im e Se2 ries A na lysis. 北京: 清华大学出版社, 2000. 51
的推移按照指数方式分离, 李雅谱洛夫指数就是
描述这个现象的量. 当李雅谱洛夫指数大于零时,
系统处于混沌状态.
功率谱图、相空间图、以及混沌测度的计算分
别从不同的角度证实了混沌信号的存在, 但是混
沌还有一个非常重要的特征: 它所含的谐波分量
不能够随时间呈周期性地重复[7], 要比较全面地
图 2 加速度信号的时间历程图
1) 对信号进行小波去噪, 其分解层次N = 2, 并运用极大极小值原理进行阈值的选取.
2) 从第一组信号的时域图 (如图 2) 并不能够 看出信号的任何特征, 但由功率谱图 (如图 3) 可 以看出: 由于非线性因素的影响, 系统响应呈现出 很丰富的非线性动力学特性, 响应中出现了1 2分 频谐波在内的多个次谐波响应, 还出现了多个超
经过消噪处理后的信号, 仅仅从其时间历程 图很难判断出它处于何种运动. 但通过对时间序 列功率谱分析可以将它的频率成分展现出来, 从 而可以方便地区分单周期信号、多周期信号和非 周期信号. 单周期和多周期信号是一种简单的规 则信号, 它的功率谱图呈线谱, 而混沌信号是一种 非周期信号, 包含了各种频率成分, 它的功率谱是 在连续谱上叠加一些有一定宽度的线谱 (宽峰) , 这些宽峰的中心频率就是轨线做近似周期运动的 平均频率. 同时, 分频的出现是混沌信号的一个重 要特征. 因此, 可以通过功率谱图大致确定信号的 类别. 但对功率谱分析方法而言, 它只在揭示混沌 现象的形成, 尤其是倍周期分叉 (p eriod2doub ling b ifu rca tion) 通向混沌过程中频率的演化时很有 效. 当动力系统处于混沌状态时, 与其他用来表征 混沌运动的指标, 例如分形维数相比, 该方法不能
3 结 论
1) 在实验中的噪声干扰是不可避免的, 可以
应用小波方法去噪.
2) 在识别实测信号时, 可以将分频的出现作
图 5 伪邻点法求嵌入维数
为信号是否为混沌信号的一个重要判据. 3) 多种方法相结合对信号进行混沌识别是
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
·768·
武汉理工大学学报 (交通科学与工程版)
2003 年 第 27 卷
图 3 加速度信号的功率谱图 (简谐激励力为 14 H z)
3) 相空间重构 利用互信息方法得到加速 度信号时间序列的延迟时间为 Σ= 1. 如图 4 所 示. 利用伪邻点 (p seudo2neighbou rs) 方法得到重 构所需要的最小嵌入维数 m = 3, 如图 5 所示. 由 此得到如图 6 和图 7 所示的重构吸引子的相空间 图. 其中图 6 为第一组信号的吸引子图, 图 7 是经 过去噪后的吸引子图. 可以看出吸引子不是经典 理论中的吸引子 (极点、极限环、二维环面) , 它具 有“奇怪”的特征. 图 8 为第二组信号的吸引子图, 该 吸 引 子 为 一 个 环, 李 雅 谱 洛 夫 指 数 为 - 0. 141 1, 小于零, 表明吸引子相轨线不呈指数 分离. 其对应的功率谱图 (图 9) 没有出现分频现 象. 表明这组信号为周期信号. 4) 计算图 7 所示吸引子的混沌测度, 得到: 相关维数 d = 2. 15, 李雅谱洛夫指数为 1. 786. 由 关联维数为分数维和李雅谱洛夫指数大于零, 可 以确定吸引子为奇怪吸引子, 证实了第一组实测 信号为混沌信号.
了揭示系统原来的相空间动力学特性, 应该把时
间序列扩展到三维甚至更高维的空间中去, 使时
间序列中的信息成分显露出来, 这就是相空间重
构方法[5]. 相空间的相轨线反映了系统状态的演
化规律. 在此基础上可计算吸引子的维数、李雅谱
洛夫指数等, 以定量刻画吸引子的特性. 非线性过
程产生的混沌信号的吸引子是一种奇怪吸引子,
第 6 期
朱石坚等: 混沌振动识别的研究
·769·
一种科学、有效的方法, 可以全面识别混沌信号的 本质特征.
a) 混沌信号
b) 周期信号 图 10 谐波小波变换幅值图
参考文献
1 O u Yangqing, Zhu Sh ijian, Sh iying. A study of chao tic m o tion in non2linea r vib ra tion2iso la tion system. 18th B ienn ia l Conference on M echan ica l V ib ra tion and N o ise, A SM E, P itsbu rgh, U SA , 2001. 21627
1 混沌识别方法及识别步骤的确定
实测获得的任一变量的时间历程, 由于受到 测量系统、环境干扰等的影响, 不可避免地含有噪 声成分. 噪声的存在会严重影响判断的准确性, 因 此, 在对信号进行分析处理之前, 应尽量去掉其中 的噪声成分. 由于噪声信号与混沌信号的宽频谱 特性非常相似, 因此一般的滤波器不能分离绝大 部分频域内的混沌信号和噪声, 很难达到降噪的
同时, 由于奇怪吸引子的出现与运动轨道的
不稳定性是紧密相关的, 不稳定的运动轨道在局
部看来总是指数分离的, 所以, 动力系统一方面作
为耗散运动最终要收缩到相空间的有限区域即吸
引子上, 另一方面运动轨道看起来又是不稳定的,
要沿某些方向按照指数分离. 系统要在有限的几
何对象上实现指数分离, 必须是无穷次折叠. 为了
α 收稿日期: 2003 06 03 朱石坚: 男, 48 岁, 教授, 主要研究领域为振动与噪声控制
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
http://www.cnki.net
有效的刻画吸引子, 有必要研究动力系统在整个
吸引子或者无穷长的轨道上平均后得到的特征
量. 混沌运动的基本特点是运动对初值条件极为
敏感. 两个很靠近的初值所产生的轨道, 随着时间
2 振动信号的实例分析
文中的振动实验装置是在某一简谐激励力作 用下的非线性隔振装置. 因此它的响应信号在未 出现混沌状态时, 一般存在与激励谐波频率相近 的响应特征波. 另外, 由于系统非线性的影响可能 出现超谐波、次谐波或者组合谐波. 文中只对实验 装置的加速度信号进行了测量. 下面就两组振动 信号进行分析, 来识别它是否为混沌信号.
混沌振动识α 别的研究
朱石坚 刘树勇
(海军工程大学振动与噪声研究所 武汉 430033)
摘要: 提出了一套有效识别混沌的步骤和方法, 并利用其对某型隔振装置的振动加速度信号进行 了识别, 从而判断该系统处于混沌运动状态. 由于实测信号中不可避免地受到噪声的干扰, 所以先 应用小波方法对信号进行消噪, 然后对信号进行功率谱分析、相空间重构、计算混沌测度等, 实现 了对混沌信号的准确识别. 关键词: 混沌识别; 相空间重构; 小波分析 中图法分类号: O 322
它具有不规则的、非周期的、错综复杂的、自相似
结构特性, 即具有分形现象[6]. 因此, 可以用分维
来定量表示. 分维值指出了动Βιβλιοθήκη Baidu系统的有效自由
度数, 从而揭示了奇怪吸引子的复杂程度. 假设空
间中任意两矢量之间的距离为 rij, 任意给出一个 实数 r, 然后统计出多少对点之间的距离 rij 小于 r, 求出 C ( r) , 作出 lnC ( r) 2ln r 曲线, 并计算直线
5) 小波识别方法的应用 从图 10a) 可以看
图 6 原信号的吸引子图 图 7 去噪后的吸引子图 图 8 周期信号的吸引子图
图 4 互信息法求延迟时间
图 9 周期信号的功率谱图
出第一组信号在谐波小波变换后, 其幅值没有呈 现周期性变化. 这与混沌信号所含谐波分量不能 够周期重复的特征是吻合的. 这样更进一步证实 了实测信号为混沌信号. 由图 10b) 可以看出第二 组信号呈现明显的周期性变化. 综合以上分析, 因 此可以判断第一组信号为混沌信号, 此时该隔振 系统处于混沌运动状态.
第 27 卷 第 6 期 2003 年 12 月
武 汉 理 工 大 学 学 报 (交与通工科程学版) Jou rna l of W uhan U n iversity of T echno logy
(T ran spo rta tion Science & Engineering)
V o l. 27 N o. 6 D ec. 2003
效果[3]. 尽管混沌信号和噪声信号的频谱都是连 续分布的宽谱, 但是在不同的频段内其大小不同. 在某些频段混沌信号较强, 在某些频段噪声信号 占有优势, 所以应该在不同的频率范围内分别对 信号进行处理. 由于小波变换具有多分辨分析的 特点, 在时频域内具有表征信号局部特征的能力, 是一种窗口大小固定不变, 但其形状可以改变的 时频局部化分析方法. 因此, 可以充分运用它的这 一独特优点来去除混沌信号中的噪声成分.
识别混沌, 就应该运用某种方法来揭示混沌信号 谐波和组合谐波的响应. 因此, 可以初步判断隔振
的这一特征. 由于小波变换在时频域中具有良好 系统处于混沌运动状态. 通过下面的延时相空间
的局部性质, 通过小波分析可以很好地反映这个 重构的方法可进一步证实以上判断的准确性.
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
第 6 期
朱石坚等: 混沌振动识别的研究
·767·
够获得系统的详细信息[4]. 所以有必要对信号进 特征.
一步分析.
根据以上分析, 可以确定一套比较系统的信
由于时间序列是许多物理因子相互作用的综 号识别方法来进行混沌识别. 其流程图如图 1 所
合反映, 它蕴含了参与运动的全部变量的痕迹, 为 示.
对非线性隔振系统而言, 当系统的参数处于 一定区域时, 它会处于混沌运动状态[1]. 这种隔振 系统具有一些独特的优点, 如: 能够在很大程度上 消减噪声中的线谱成分, 提高隔振效果, 所以混沌 隔振系统在舰艇的隔振降噪领域的应用前景十分 广阔[2]. 现在许多国家不惜巨资对混沌应用进行 研究, 使混沌在科学研究中的地位与日俱增. 混沌 研究的内容很丰富, 如系统混沌参数区域的确定、 混沌神经网络等, 混沌信号的识别也是混沌研究 领域中一个非常重要的问题. 通过数据采集系统, 能够采集到隔振系统的响应信号, 如速度、加速度 信号等. 对这种实测的一维时间序列, 怎样识别它 是混沌信号呢? 由于传统的分析方法不能够完全 揭示信号的本质特性, 因此文中将提出一套有效 的方法来对实测信号进行识别.
图 1 信号识别流程图
段 的 斜 率 即 为 关 联 维 数 值. 其 中 C ( r) =
∑∑ 1 N
N2 i
N
Η( r -
j
rij ) . 式中: Η(x ) 为 H eaviside 函
数, 且有
1, 当 (r - rij) ≥ 0 时 Η( r - rij ) = 0, 当 ( r - rij ) < 0 时 (1)
3 Ho lger Kan tz, T hom a s Sch reiber. N on linea r T im e Se2 ries A na lysis. 北京: 清华大学出版社, 2000. 51
的推移按照指数方式分离, 李雅谱洛夫指数就是
描述这个现象的量. 当李雅谱洛夫指数大于零时,
系统处于混沌状态.
功率谱图、相空间图、以及混沌测度的计算分
别从不同的角度证实了混沌信号的存在, 但是混
沌还有一个非常重要的特征: 它所含的谐波分量
不能够随时间呈周期性地重复[7], 要比较全面地
图 2 加速度信号的时间历程图
1) 对信号进行小波去噪, 其分解层次N = 2, 并运用极大极小值原理进行阈值的选取.
2) 从第一组信号的时域图 (如图 2) 并不能够 看出信号的任何特征, 但由功率谱图 (如图 3) 可 以看出: 由于非线性因素的影响, 系统响应呈现出 很丰富的非线性动力学特性, 响应中出现了1 2分 频谐波在内的多个次谐波响应, 还出现了多个超
经过消噪处理后的信号, 仅仅从其时间历程 图很难判断出它处于何种运动. 但通过对时间序 列功率谱分析可以将它的频率成分展现出来, 从 而可以方便地区分单周期信号、多周期信号和非 周期信号. 单周期和多周期信号是一种简单的规 则信号, 它的功率谱图呈线谱, 而混沌信号是一种 非周期信号, 包含了各种频率成分, 它的功率谱是 在连续谱上叠加一些有一定宽度的线谱 (宽峰) , 这些宽峰的中心频率就是轨线做近似周期运动的 平均频率. 同时, 分频的出现是混沌信号的一个重 要特征. 因此, 可以通过功率谱图大致确定信号的 类别. 但对功率谱分析方法而言, 它只在揭示混沌 现象的形成, 尤其是倍周期分叉 (p eriod2doub ling b ifu rca tion) 通向混沌过程中频率的演化时很有 效. 当动力系统处于混沌状态时, 与其他用来表征 混沌运动的指标, 例如分形维数相比, 该方法不能
3 结 论
1) 在实验中的噪声干扰是不可避免的, 可以
应用小波方法去噪.
2) 在识别实测信号时, 可以将分频的出现作
图 5 伪邻点法求嵌入维数
为信号是否为混沌信号的一个重要判据. 3) 多种方法相结合对信号进行混沌识别是
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武汉理工大学学报 (交通科学与工程版)
2003 年 第 27 卷
图 3 加速度信号的功率谱图 (简谐激励力为 14 H z)
3) 相空间重构 利用互信息方法得到加速 度信号时间序列的延迟时间为 Σ= 1. 如图 4 所 示. 利用伪邻点 (p seudo2neighbou rs) 方法得到重 构所需要的最小嵌入维数 m = 3, 如图 5 所示. 由 此得到如图 6 和图 7 所示的重构吸引子的相空间 图. 其中图 6 为第一组信号的吸引子图, 图 7 是经 过去噪后的吸引子图. 可以看出吸引子不是经典 理论中的吸引子 (极点、极限环、二维环面) , 它具 有“奇怪”的特征. 图 8 为第二组信号的吸引子图, 该 吸 引 子 为 一 个 环, 李 雅 谱 洛 夫 指 数 为 - 0. 141 1, 小于零, 表明吸引子相轨线不呈指数 分离. 其对应的功率谱图 (图 9) 没有出现分频现 象. 表明这组信号为周期信号. 4) 计算图 7 所示吸引子的混沌测度, 得到: 相关维数 d = 2. 15, 李雅谱洛夫指数为 1. 786. 由 关联维数为分数维和李雅谱洛夫指数大于零, 可 以确定吸引子为奇怪吸引子, 证实了第一组实测 信号为混沌信号.
了揭示系统原来的相空间动力学特性, 应该把时
间序列扩展到三维甚至更高维的空间中去, 使时
间序列中的信息成分显露出来, 这就是相空间重
构方法[5]. 相空间的相轨线反映了系统状态的演
化规律. 在此基础上可计算吸引子的维数、李雅谱
洛夫指数等, 以定量刻画吸引子的特性. 非线性过
程产生的混沌信号的吸引子是一种奇怪吸引子,
第 6 期
朱石坚等: 混沌振动识别的研究
·769·
一种科学、有效的方法, 可以全面识别混沌信号的 本质特征.
a) 混沌信号
b) 周期信号 图 10 谐波小波变换幅值图
参考文献
1 O u Yangqing, Zhu Sh ijian, Sh iying. A study of chao tic m o tion in non2linea r vib ra tion2iso la tion system. 18th B ienn ia l Conference on M echan ica l V ib ra tion and N o ise, A SM E, P itsbu rgh, U SA , 2001. 21627
1 混沌识别方法及识别步骤的确定
实测获得的任一变量的时间历程, 由于受到 测量系统、环境干扰等的影响, 不可避免地含有噪 声成分. 噪声的存在会严重影响判断的准确性, 因 此, 在对信号进行分析处理之前, 应尽量去掉其中 的噪声成分. 由于噪声信号与混沌信号的宽频谱 特性非常相似, 因此一般的滤波器不能分离绝大 部分频域内的混沌信号和噪声, 很难达到降噪的
同时, 由于奇怪吸引子的出现与运动轨道的
不稳定性是紧密相关的, 不稳定的运动轨道在局
部看来总是指数分离的, 所以, 动力系统一方面作
为耗散运动最终要收缩到相空间的有限区域即吸
引子上, 另一方面运动轨道看起来又是不稳定的,
要沿某些方向按照指数分离. 系统要在有限的几
何对象上实现指数分离, 必须是无穷次折叠. 为了
α 收稿日期: 2003 06 03 朱石坚: 男, 48 岁, 教授, 主要研究领域为振动与噪声控制
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
http://www.cnki.net
有效的刻画吸引子, 有必要研究动力系统在整个
吸引子或者无穷长的轨道上平均后得到的特征
量. 混沌运动的基本特点是运动对初值条件极为
敏感. 两个很靠近的初值所产生的轨道, 随着时间
2 振动信号的实例分析
文中的振动实验装置是在某一简谐激励力作 用下的非线性隔振装置. 因此它的响应信号在未 出现混沌状态时, 一般存在与激励谐波频率相近 的响应特征波. 另外, 由于系统非线性的影响可能 出现超谐波、次谐波或者组合谐波. 文中只对实验 装置的加速度信号进行了测量. 下面就两组振动 信号进行分析, 来识别它是否为混沌信号.
混沌振动识α 别的研究
朱石坚 刘树勇
(海军工程大学振动与噪声研究所 武汉 430033)
摘要: 提出了一套有效识别混沌的步骤和方法, 并利用其对某型隔振装置的振动加速度信号进行 了识别, 从而判断该系统处于混沌运动状态. 由于实测信号中不可避免地受到噪声的干扰, 所以先 应用小波方法对信号进行消噪, 然后对信号进行功率谱分析、相空间重构、计算混沌测度等, 实现 了对混沌信号的准确识别. 关键词: 混沌识别; 相空间重构; 小波分析 中图法分类号: O 322
它具有不规则的、非周期的、错综复杂的、自相似
结构特性, 即具有分形现象[6]. 因此, 可以用分维
来定量表示. 分维值指出了动Βιβλιοθήκη Baidu系统的有效自由
度数, 从而揭示了奇怪吸引子的复杂程度. 假设空
间中任意两矢量之间的距离为 rij, 任意给出一个 实数 r, 然后统计出多少对点之间的距离 rij 小于 r, 求出 C ( r) , 作出 lnC ( r) 2ln r 曲线, 并计算直线
5) 小波识别方法的应用 从图 10a) 可以看
图 6 原信号的吸引子图 图 7 去噪后的吸引子图 图 8 周期信号的吸引子图
图 4 互信息法求延迟时间
图 9 周期信号的功率谱图
出第一组信号在谐波小波变换后, 其幅值没有呈 现周期性变化. 这与混沌信号所含谐波分量不能 够周期重复的特征是吻合的. 这样更进一步证实 了实测信号为混沌信号. 由图 10b) 可以看出第二 组信号呈现明显的周期性变化. 综合以上分析, 因 此可以判断第一组信号为混沌信号, 此时该隔振 系统处于混沌运动状态.
第 27 卷 第 6 期 2003 年 12 月
武 汉 理 工 大 学 学 报 (交与通工科程学版) Jou rna l of W uhan U n iversity of T echno logy
(T ran spo rta tion Science & Engineering)
V o l. 27 N o. 6 D ec. 2003
效果[3]. 尽管混沌信号和噪声信号的频谱都是连 续分布的宽谱, 但是在不同的频段内其大小不同. 在某些频段混沌信号较强, 在某些频段噪声信号 占有优势, 所以应该在不同的频率范围内分别对 信号进行处理. 由于小波变换具有多分辨分析的 特点, 在时频域内具有表征信号局部特征的能力, 是一种窗口大小固定不变, 但其形状可以改变的 时频局部化分析方法. 因此, 可以充分运用它的这 一独特优点来去除混沌信号中的噪声成分.
识别混沌, 就应该运用某种方法来揭示混沌信号 谐波和组合谐波的响应. 因此, 可以初步判断隔振
的这一特征. 由于小波变换在时频域中具有良好 系统处于混沌运动状态. 通过下面的延时相空间
的局部性质, 通过小波分析可以很好地反映这个 重构的方法可进一步证实以上判断的准确性.
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
第 6 期
朱石坚等: 混沌振动识别的研究
·767·
够获得系统的详细信息[4]. 所以有必要对信号进 特征.
一步分析.
根据以上分析, 可以确定一套比较系统的信
由于时间序列是许多物理因子相互作用的综 号识别方法来进行混沌识别. 其流程图如图 1 所
合反映, 它蕴含了参与运动的全部变量的痕迹, 为 示.
对非线性隔振系统而言, 当系统的参数处于 一定区域时, 它会处于混沌运动状态[1]. 这种隔振 系统具有一些独特的优点, 如: 能够在很大程度上 消减噪声中的线谱成分, 提高隔振效果, 所以混沌 隔振系统在舰艇的隔振降噪领域的应用前景十分 广阔[2]. 现在许多国家不惜巨资对混沌应用进行 研究, 使混沌在科学研究中的地位与日俱增. 混沌 研究的内容很丰富, 如系统混沌参数区域的确定、 混沌神经网络等, 混沌信号的识别也是混沌研究 领域中一个非常重要的问题. 通过数据采集系统, 能够采集到隔振系统的响应信号, 如速度、加速度 信号等. 对这种实测的一维时间序列, 怎样识别它 是混沌信号呢? 由于传统的分析方法不能够完全 揭示信号的本质特性, 因此文中将提出一套有效 的方法来对实测信号进行识别.