关于刚体转动稳定性的研究分解
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关于刚体转动稳定性的研究
物理二班 乔冬
PB03203134
一个陀螺可以在地上稳定的转 动，与障碍相碰后又很快恢复稳 定，它的转动是稳定的。 我们研究刚体的稳定性时就 从以下两个方面研究： (1) 外力距为0时，角速度 不随时间变化； (2) 稳定转动的刚体的抗扰 动能力。
一.不受扰动时
dr 因为 r dt di ( x i y j z k ) i z j y k dt dj 所以 xk zi （1） dt dk i j y x dt
即
0 k
所以刚体稳定转动的必要条件有两 个： • 外力距为零； • 初角速度沿惯量主轴的方向。
刚体转动稳定性所需考虑的还有 其抗扰动的能力。若略有扰动刚体 便失去平衡，那也算不得真正的稳 定，因为小的干扰是不可避免的。 下面我们讨论的是在满足上述稳定 转动条件下，若刚体受到小的冲量 距的干扰，使转动轴偏离原来的转 动轴，这种偏离会不会变的越来越 大，以至失去平衡。
或
I 3 I1 , I 3 I 2
时，转动是稳定的，否则就是不稳定的。 换句话说，当原来的转动轴是最大或 最小惯量主轴时转动是稳定的。
关于刚体转动稳定性的讨论至此结束。
谢谢观看。
参考书目：《理论力学》（金尚年，马永利 编著）
设刚体受干扰力矩作用后的角速度为：
0k ' (t ) — — — —（ 7 ）
' (t )的三个分量能否在任何时候均远小 于 0 只有如此，转动才是稳定的。
若 ' (t )在任意时刻比 0小很多的条件满足， 则 ' x , ' y , ' z 的乘积是可以忽略的二 阶小 量。这样，将（ 7 ）代入（ 3 ）得
同理可讨论 y 所满足的方程为
' y k ' y 0
2 0
式中的 k 和（9）的相同，因此 ' y 和 ' x 的稳定性的条件相同。
综上所述，若干扰停止时 'x , ' y 和 'z 均比 0 小得多，则当 k 0 时，即
I 3 I1 , I 3 I 2
x|t 0 y|t 0 0 （4） z | t 0 0
将上式代入（3）得
x|t 0 y|t 0 z|t 0 0 — — — —（5）
由（4），（5）可得
x (t ) y (t ) 0 （6） z (t ) 0
因为外力距为0，故：
I x ( I 2 I 3 ) y z 1 （3） I 2 y ( I 3 I1 ) z x I 3 z ( I1 I 2 ) x y
从这个方程可以看出，如果开始时 转动主轴是惯量主轴之一，转动可以稳 定不变。为明确起见，不妨设t=0时刚体 绕惯量主轴Oz轴转动，即：
I ' ( I I ) ' 1 x 2 3 0 y （ 8 ） I 2 ' y ( I 3 I1 ) 0 ' x I3 'z 0
从（8）的第三个方程得
' z 常数
将（8）的第一个方程对t求微商， 并将第二个方程代入得：
( I 3 I1 )(I 3 I 2 ) 2 'x 0 ' x 0 — —（ 9 ） I1I 2
( I 3 I1 )(I 3 I 2 ) 令k I1 I 2
如果k>0,则（9）的解为
'x Asin( k0t )
上式表明，只要扰动停止后 ' x的 值比 0 小很多，则 ' x 在以后 的时刻里也可以保持很小。同理 若 k 0,可知 ' x 将随时间指数 增加或线性增加，转动稳定性被 破坏。
L I1 x i I 2j I 3k dL 力矩M 0 dt I1 x ( I 2 I 3 ) z y M x 所以 I 2 y ( I 3 I1 ) z x M y （ห้องสมุดไป่ตู้） I 3 z ( I1 I 2 ) x y M z
物理二班 乔冬
PB03203134
一个陀螺可以在地上稳定的转 动，与障碍相碰后又很快恢复稳 定，它的转动是稳定的。 我们研究刚体的稳定性时就 从以下两个方面研究： (1) 外力距为0时，角速度 不随时间变化； (2) 稳定转动的刚体的抗扰 动能力。
一.不受扰动时
dr 因为 r dt di ( x i y j z k ) i z j y k dt dj 所以 xk zi （1） dt dk i j y x dt
即
0 k
所以刚体稳定转动的必要条件有两 个： • 外力距为零； • 初角速度沿惯量主轴的方向。
刚体转动稳定性所需考虑的还有 其抗扰动的能力。若略有扰动刚体 便失去平衡，那也算不得真正的稳 定，因为小的干扰是不可避免的。 下面我们讨论的是在满足上述稳定 转动条件下，若刚体受到小的冲量 距的干扰，使转动轴偏离原来的转 动轴，这种偏离会不会变的越来越 大，以至失去平衡。
或
I 3 I1 , I 3 I 2
时，转动是稳定的，否则就是不稳定的。 换句话说，当原来的转动轴是最大或 最小惯量主轴时转动是稳定的。
关于刚体转动稳定性的讨论至此结束。
谢谢观看。
参考书目：《理论力学》（金尚年，马永利 编著）
设刚体受干扰力矩作用后的角速度为：
0k ' (t ) — — — —（ 7 ）
' (t )的三个分量能否在任何时候均远小 于 0 只有如此，转动才是稳定的。
若 ' (t )在任意时刻比 0小很多的条件满足， 则 ' x , ' y , ' z 的乘积是可以忽略的二 阶小 量。这样，将（ 7 ）代入（ 3 ）得
同理可讨论 y 所满足的方程为
' y k ' y 0
2 0
式中的 k 和（9）的相同，因此 ' y 和 ' x 的稳定性的条件相同。
综上所述，若干扰停止时 'x , ' y 和 'z 均比 0 小得多，则当 k 0 时，即
I 3 I1 , I 3 I 2
x|t 0 y|t 0 0 （4） z | t 0 0
将上式代入（3）得
x|t 0 y|t 0 z|t 0 0 — — — —（5）
由（4），（5）可得
x (t ) y (t ) 0 （6） z (t ) 0
因为外力距为0，故：
I x ( I 2 I 3 ) y z 1 （3） I 2 y ( I 3 I1 ) z x I 3 z ( I1 I 2 ) x y
从这个方程可以看出，如果开始时 转动主轴是惯量主轴之一，转动可以稳 定不变。为明确起见，不妨设t=0时刚体 绕惯量主轴Oz轴转动，即：
I ' ( I I ) ' 1 x 2 3 0 y （ 8 ） I 2 ' y ( I 3 I1 ) 0 ' x I3 'z 0
从（8）的第三个方程得
' z 常数
将（8）的第一个方程对t求微商， 并将第二个方程代入得：
( I 3 I1 )(I 3 I 2 ) 2 'x 0 ' x 0 — —（ 9 ） I1I 2
( I 3 I1 )(I 3 I 2 ) 令k I1 I 2
如果k>0,则（9）的解为
'x Asin( k0t )
上式表明，只要扰动停止后 ' x的 值比 0 小很多，则 ' x 在以后 的时刻里也可以保持很小。同理 若 k 0,可知 ' x 将随时间指数 增加或线性增加，转动稳定性被 破坏。
L I1 x i I 2j I 3k dL 力矩M 0 dt I1 x ( I 2 I 3 ) z y M x 所以 I 2 y ( I 3 I1 ) z x M y （ห้องสมุดไป่ตู้） I 3 z ( I1 I 2 ) x y M z