梁的抗弯强度条件及其应用

(+)
x
图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知
d1 =160mm d2 =130mm, a = 0.267m,b = 0.16m, F = 62.5kN, 材料的许用应力 [σ ] = 60MPa.
分析（ 分析（1）
σ max =
M
max
ymax
Iz
y
（3）作弯矩图 （4）B截面校核
2 .5kN.m
4 ×103 × 52×10−3 σ t ,max = 7.64×10−6 = 27.2 ×106 Pa = 27.2MPa < [σ t ]
4kN.m
4×103 ×88×10−3 σc,max = 7.64×10−6 = 46 .1×106 Pa = 46 .1MPa< [σc ]
解：（1）计算简图 （2）绘弯矩图 （3）根据 σ max =
M max
M max ≤ [σ ] 计算 Wz
Wz ≥
[σ ]
(6.7 + 50) ×103 × 9.5 4 = 140 ×106
= 962 ×10 −6 m 3 = 962cm3
（4）选择工字钢型号
3 36c工字钢 36c工字钢 Wz = 962cm
第四节 梁的抗弯强度条件及应用
弯曲正应力强度条件
σmax =
M
max
y max
≤ σ] [
Iz
1.弯矩最大的截面上 1.弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同， 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑 脆性材料抗拉和抗压性能不同
M
max
≤ [σ ] （2）弯矩 M 最大的截面
（3）抗弯截面系数 W z 最 小的截面
σ max =
Wz
？ ≤ [σ ]
解： 1）计算简图 （ （2）绘弯矩图 截面， （3）B截面，C截面需校核 （4）强度校核 截面： B截面：
σ max =
Fa 62.5 × 267 × 32 = 3 WzB πd1 π × 0.163 32 = 41.5 ×106 Pa = 41.5MPa MB =
梁纯弯曲时的强度条件
强度条件： 强度条件：梁内危险截面上的最大弯曲正应 力不超过材料的许用弯曲应力， 力不超过材料的许用弯曲应力，即
σ max
M = ≤ [σ ] Wz
危险截面处的弯矩（ M—危险截面处的弯矩（N.mm） 危险截面处的弯矩 N.mm） 3 Wz—危险截面的抗弯截面模量（ Wz 危险截面的抗弯截面模量（mm ） 危险截面的抗弯截面模量
（3）作弯矩图 （4）B截面校核
2 .5kN.m
σ t ,max = 27.2MPa < [σ t ]
σc,max = 46.1MPa< [σc ]
（5）C截面要不要校核？ 截面要不要校核？
4kN.m
2.5 ×103 × 88 ×10 −3 σ t ,max = 7.64 ×10−6 = 28.8 ×106 Pa = 28.8MPa < [σ t ]
(+)
(−)
M
ql 2 / 8 = 67.5kN⋅ m
(+)
bh3 0.12×0.183 IZ = = = 5.832×10−5 m4 12 12 90kN 180 60×103 ×( −30) ×10−3 M ⋅y 2 σK = C K = IZ 5.832×10−5
x x
= 61.7×106 Pa = 61.7MPa 压应力） （压应力）
q=60kN/m
180
120
2. C 截面最大正应力
30
A
1m
FAY
B C
l = 3m
C 截面弯矩
MC = 60kN⋅ m
x
K
z y
FBY
C 截面惯性矩
FS 90kN
IZ = 5.832×10−5 m4
(+)
(−)
x 90kN
σCmax =
=
MC ⋅ ymax IZ 180 ×10−3百度文库2 5.832×10−5
30
A
1m
FAY
B C
l = 3m
x
K
C 截面弯矩
MC = 60kN⋅ m
z y
FBY
C 截面惯性矩
FS 90kN
(+)
(−)
x 90kN
IZ = 5.832×10−5 m4 1 M = ρ EI
M
ql 2 / 8 = 67.5kN⋅ m
EIZ 200×109 ×5.832×10−5 ρC = = MC 60×103 =194.4m
M
ql 2 / 8 = 67.5kN⋅ m
60×103 ×
(+)
x
= 92.55×106 Pa = 92.55MPa
q=60kN/m
180
120
A
1m
FAY
B C
l = 3m
30
3. 全梁最大正应力 最大弯矩
x
K
z y
Mmax = 67.5kN⋅ m
截面惯性矩
I z = 5.832×10−5 m4
Wz-最大正应力为(MPa) Wz--抗弯截面模量 (MPa)： 最大正应力为(MPa)： --抗弯截面模量
mm3
σ max
即：
Mymax = IZ
σ max
M = WZ
M和y均以绝对值代入，至于 均以绝对值代入， 弯曲正应力是拉应力还是压 应力， 应力，则由欲求应力的点处 于受拉侧还是受压侧来判断。 于受拉侧还是受压侧来判断。 受拉侧的弯曲正应力为正， 受拉侧的弯曲正应力为正， 受压侧的为负。 受压侧的为负。
[σ ] —材料的许用应力 (MPa) 材料的许用应力
q=60kN/m
180
120
A
1m
FAY
B C
l = 3m
x
K
FBY
FS 90kN
y 解：1. 求支反力 FAy = 90kN FBy = 90kN
MC = 90×1− 60×1×0.5 = 60kN⋅ m
1.C 截面上K点正应力 1. 截面上 点正应力 2.C 截面上最大 最大正应力 2. 截面上最大正应力 30 3.全梁 最大正应力 全梁上 3.全梁上最大正应力 z 4.已知 4.已知 已知E=200GPa， ， C 截面的曲率半径 截面的曲率半径ρ
FBY
FS 90kN
(+)
(−)
σmax =
x 90kN
Mmax ymax IZ 180 ×10−3 2 5.832×10−5
M
ql 2 / 8 = 67.5kN⋅ m
=
x
67.5×103 ×
(+)
=104.17×106 Pa =104.17MPa
q=60kN/m
180
120
4. C 截面曲率半径 截面曲率半径ρ
（5）讨论
q = 67.6kg/m
T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。[σ t ] = 30MPa , [σ c ] = 60MPa, 型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。 试校核梁的强度。 试校核梁的强度。
分析： 非对称截面， 分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置 作弯矩图， 作弯矩图，寻找需要校核的截面 要同时满足 σ t ,max ≤ [σ t ] , σ c ,max ≤ [σ c ]
σ t , max ≤ [σ t ]
σ c , max ≤ [σ c ]
在弹性范围内，梁纯弯曲时横截面上任意一 在弹性范围内， 点的正应力为 ：
M--截面上的弯矩(N.mm) --截面上的弯矩(N.mm) 截面上的弯矩
My σ= IZ
--计算点到中性轴距离 计算点到中性轴距离(mm) M Pa Y--计算点到中性轴距离(mm) mm 4 Iz---横截面对中性轴惯性矩 Iz--横截面对中性轴惯性矩
Fb Fa
C截面： 截面：
σ max =
MC WzC =
Fb 62.5 ×160 × 32 = = 46.4 ×106 Pa = 46.4MPa 3 πd 2 π × 0.133 32
（5）结论
某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。 某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦 自重 F1 = 6.7 kN, 起重量 F2 = 50 kN , 跨度 l = 9.5m, 材料的许用应力 [σ ] = 140 MPa, 试选择工字钢的型号。 试选择工字钢的型号。 分析 （1）确定危险截面 （2）σ max = M max ≤ [σ ] Wz （3）计算 M max （4）计算 Wz ，选择工 字钢型号
解：（1）求截面形心
z1 52 z
80 × 20 ×10 + 120 × 20 × 80 yc = = 52mm 80 × 20 + 120 × 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩 求截面对中性轴z
80 × 203 Iz = + 80 × 20 × 42 2 12 20 ×1203 + + 20 × 120 × 282 12 = 7.64 ×10 −6 m 4