第五节函数的微分共24页文档

例1 求 函数 yx2 1 在 x1处当x0.1
时 的 改变量 y 和微分dy 的 值. 解 y = f ( x + x) - f ( x)
= ( x + x)2 +1 - ( x2 +1) = 2xx + ( x)2 所以 y x =1 = 2×1×0.1 + (0.1)2 = 0.21
x =0.1
A (x 0x )2 x 0 2
2x 0x(x)2.
(1)
(2)
x0
x0x
x (x )2
x
Ax02
x0x x 0
(1) : x的线,性 且函 为 A 的数 主;要部分
(2) : x的高阶,当 无 x很 穷小 小时.可忽略
再例如, 设函y数x3在点 x0处的改变量
为x时, 函数的改变 y量 . 为
2x = - 1 sin x dx
2x 方法二 利用微分形式的不变性来求 , 把 x 看作
中间变量 u , 则
dyd(cu o) ssiu ndusinxd x
sinx 1 dx 1 sinxdx
2x
2x
在求复合函数的导数时，可以不写出中间变量， 在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量，
例3 yln1 (ex)求 , d.y
定义 若函数 y = f ( x)在 x0处的改变量 y 可以表示 为 x线性函数 Ax（A是常数）与一个比 x高阶
的无穷小之和 y A x o ( x )
则称 函数y = f ( x)在点x0处 可微 ,其中 Ax称为
函数 f (x)在 x0 处的 微分 , 记为 dy , 即
dyAx
【注】( 1 )函数的微分 Ax是 x的 线性函数 , 它与 y 相差一个比 x 高阶的无穷小 （ 2）当 A 0时 , Ax是 y 的 主要部分 , 所以也称微分dy是 y 的 线性主部.
dxd(arcx tC a)n )axlna ax lanxalC na
axdxdlanxaC
微分的概念
小结
函数 f(x)在x0处的微分 dy f(x0)dx 函数 f(x)在某区间内任意点的微分 dy f(x)dx
导数（微商） f (x) dy 可导 ? 可微 dx
微分的运算法则
1. 基本初等函数的微分公式
则复合函数 yf[j(x)]的微分为
d y{f[j(x )}]dx f(u)j(x)dx
由d于 uj(x)d所x以上式也可写成
d yf(u)d;u 不论 u 是自变量还是中 间变量函y数 f(u)
d yf(u)d;u 这个性质称为一阶微分形式的不变性.
例 2 求 y = cos x 的微分dy
解 方法一 利用微分的定义 dy f(x)dx dy (coxs)dx sinx( x)dxsinx 1 dx
解
dy d[ln 1(ex)]
1 1 ex
d(1ex)
ex 1 ex dx
例 4 在括号内填入适当的函数 使下列等式成立
（1） 1
1 + x2
dx
=
d ( arcxtC a) n
（2）ax dx = d( a x C )
ln a
解（1）
(arcxtCa)n 1
1 x
2
1
1 x2 (2)(axC
而 dy = f ( x)x = ( x2 +1)x = 2xx
所以 dy x =1 = 2 ×1×0.1 = 0.2 x =0.1
三、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
M
yf(x)
N
P
o(x)
dy y
x
）
o
x0 x0x
x
当x很小,时 在点 M的附,近
y (x 0x )3 x 0 3
3 x 0 2 x 3 x 0 (x ) 2 (x ) 3 .
(1)
(2)
当x很小,时(2)是x的高阶无 o(穷 x),小
y3x0 2x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否
所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的概念
d(taxn)se2cxdx
d(coxt)cs2cxdx
d(sexc) se x tc a x dn x d(csxc) cx s cc x o dx t
d(arcs源自文库xn)
1 1 x2 dx
d(arccox)s
1 dx 1 x2
d(arctaxn)
1
1 x
2
dx
d(arccox)t
1
1 x2
内容提要
1.微分的概念； 2.微分运算法则； 3.微分在近似计算中的应用。
教学要求
1.理解微分的概念，了解微分的几何意义以及微分 与可导之间的关系； 2.熟悉微分的运算法则； 3.会用微分进行近似计算。
一、引例
例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边 x0变 长 x0到 由 x,
正方形A 面 x积 02,
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d yf(x0)dx …………………………( 2 )
函数 f ( x)在任意点x的微分，称为函数的微分， 记为 dy或df(x)
dy f(x)dx
由此式 , 可得 f (x) dy
dx
这表明 , 函数的导数 f (x) dy 可以看作函
dx
数的微分dy与自变量的微分dx之商 , 故导数
也称微商.
切线M 段P 可近似代替M 曲N.线段
四、微分的运算法则
1. 基本初等函数的微分公式
dy f(x)dx
d(C)0
d(x ) x1dx
d (a x ) axlnadx
d(ex ) exdx
1 d(loagx) x ln a dx
d(lnx) 1 dx x
d(sinx)co xdxs
d(cox)ssix n dx
dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则 d(uv)du dv
d(uv)vduudv
d(Cu)Cdu
d u v
vdu udv v2
(v0)
3．复合函数微分法则 (1) 对于函数 yf(u) 当 u 为自变量时, 则函数 yf(u) 的微分为 d yf(u)d;u (2) 对于函数 yf(u)当 u为中间变量时, 设u = j( x)
（3）当| x |很小时 , 可以用微分dy作改变量y
的近似值 , 即 ydyAx
可微 可导 Af(x0)
所以函数 f ( x) 在 x0 处的微分
d yf(x 0)x ………………………… (1 )
由 (1 ) 式可知，自变量微分 d x x xx 所以函数 f ( x) 在 x0 处微分 , 又可写成