全国百强名校 ”2020-2021学年高三数学重难点训练 (45)

第一讲 等差数列、等比数列

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1．对等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n 项和公式建立方程组求解．

2．对等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关计算问题．

3．对等差、等比数列的判断与证明，主要出现在解答题的第一问，是为求数列的通项公式而准备的，因此是解决问题的关键环节．

考点一 等差、等比数列的基本运算

1．等差数列的通项公式及前n 项和公式 a n ＝a 1＋(n －1)d ；

S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2

d .

2．等比数列的通项公式及前n 项和公式

a n ＝a 1q n －

1(q ≠0)；

S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q

＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).

1．(2019·大连模拟)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

[解析] 由已知条件和等差数列的通项公式与前n 项和公式可列方程组，得

⎩

⎪⎨⎪⎧

2a 1＋7d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，

即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝－2，d ＝4，

故选C. [答案] C

2．(2019·济南一中1月检测)在各项为正数的等比数列{a n }中，S 2＝9，S 3＝21，则a 5＋a 6＝( )

A ．144

B ．121

C ．169

D ．148

[解析] 由题意可知，

⎩⎪⎨

⎪⎧ a 1＋a 2＝9，a 1＋a 2＋a 3＝21，即⎩⎪⎨⎪⎧

a 1(1＋q )＝9，

a 1

(1＋q ＋q 2)＝21， 解得⎩⎪⎨⎪⎧

q ＝2，

a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧

q ＝－23，a 1＝27

(舍)．

∴a 5＋a 6＝a 1q 4(1＋q )＝144.故选A. [答案] A

3．(2019·广东珠海3月联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 9＝15，则S 8

－S 3＝( )

A ．30

B ．25

C ．20

D ．15

[解析] 因为a 2＋a 7＋a 9＝a 1＋d ＋a 1＋6d ＋a 1＋8d ＝3(a 1＋5d )＝15，所以a 1＋5d ＝5，即a 6＝5，所以S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝25，故选B. [答案] B 4．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )

A ．16

B ．8

C ．4

D ．2

[解析] 设等比数列{a n }的公比为q .由题意知，a n >0，q >0.由a 5＝3a 3＋4a 1得a 1q 4＝3a 1q 2

＋4a 1，∴q 2＝4，∴q ＝2.由S 4＝a 1(1－24)1－2

＝15，解得a 1＝1.∴a 3＝a 1·q 2＝4，故选C.

[答案] C

5．(2019·河南濮阳二模)《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金箠，长五尺，在粗的一端截下一尺，重4斤，在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金箠由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是( )

A.73斤

B.72斤

C.5

2斤 D ．3斤 [解析] 金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a 1＝4，则a 5＝2，设公差为d ，

则2＝4＋4d ，解得d ＝－12，∴a 2＝4－12＝7

2

.故选B.

[答案] B

6．(情境创新)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处浮雕共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个浮雕，这些浮雕构成一幅优美的图案，若从最下层往上，浮雕的数量构成一个数列{a n }，则log 2(a 3a 5)的值为( )

A ．8

B ．10

C ．12

D ．16

[解析] 依题意得，数列{a n }是以2为公比的等比数列，因为最下层的浮雕的数量为a 1，所以S 7＝a 1(1－27)1－2＝1016，解得a 1＝8，所以a n ＝8×2n －1＝2n ＋2(1≤n ≤7，n ∈N *)，所以a 3

＝25，a 5＝27，从而a 3×a 5＝25×27＝212，所以log 2(a 3a 5)＝log 2212＝12，故选C.

[答案] C

(1)在等差(比)数列中，首项a 1和公差d (公比q )是两个最基本的元素，在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．

(2)解决数列与数学文化相交汇问题的关键：一是读懂题意，即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是“解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、公比(或公差)、项数、通项公式或前n 项和等．

考点二 等差、等比数列的性质

1．等差数列的性质

(1)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (2)a n ＝a m ＋(n －m )d ；

(3)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等差数列． 2．等比数列的性质

(1)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ；

(2)a n ＝a m q n －

m ；

(3)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等比数列(S n ≠0)．

1．(2019·山东烟台一模)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 2＋a 8－a 4＝6，则S 11＝( )

A ．132

B ．108

C ．66

D ．不能确定 [解析] 解法一：依题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则(a 1＋d )＋(a 1＋7d )－(a 1＋3d )

＝6，即a 1＋5d ＝6，S 11＝11a 1＋11×10

2

d ＝11(a 1＋5d )＝66，选C.

解法二：依题意得(a 4＋a 6)－a 4＝6，即a 6＝6，S 11＝11(a 1＋a 11)

2

＝11a 6＝66，选C.

[答案] C

2．(2019·沈阳质量监测(一))在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5＝( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．5

[解析] 解法一：设公比为q (q ≠0且q ≠1)，由题知⎩

⎪⎨⎪⎧

a 3＝a 1q 2＝2 ①，a 7＝a 1q 6＝8 ②，②

①得q 4＝4，

故q 2＝2，则a 5＝a 3q 2＝2×2＝4，故选A.

解法二：由等比数列的性质得a 25＝a 3a 7＝2×8＝16，又a 3，a 5，a 7间隔项是偶数项，所以a 3，a 5，a 7符号相同，所以a 5＝4，故选A.

[答案] A

3．(2019·衡水中学调研)已知数列{a n }的任意连续三项的和是18，并且a 5＝5，a 13＝9，那么a 2019＝( )

A ．10

B ．9

C ．5

D ．4

[解析] ∵数列{a n }的任意连续三项的和是18，∴数列{a n }是以3为周期的周期数列．∵a 5＝5，∴a 2＝a 5＝5，

∵a 13＝9，∴a 1＝a 13＝9，∵a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 3＝4， ∵2019＝673×3，∴a 2019＝a 3＝4，故选D.