12.1常数项级数的概念和性质

数的一般项或通项.级数 (1)的前 n项的和
n
sn u1 u2 un ui
(2)
i 1
称为级数(1)的前n项部分和.当 n依次取1,2,3
时,它们构成一个新的数列{sn }, 即
常数项级数的概念
时,它们构成一个新的数列{sn }, 即
常数项级数的概念
时,它们构成一个新的数列{sn }, 即 s1 u1, s2 u1 u2 , , sn u1 u2 un ,
1)
...的收敛性.
解
un
1 n(n
1)
1 n
n
1
1,
sn
1 1 2
1 23
...
1 n(n
1)
1
1 2
1 2
1 3
...
1 n
n
1
1
1
n
1
1
.
所以
lim
n
sn
lim n
1
n
1
1
1,
即题设级数收敛，其和为1.
例 4 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 级数的部分和为
|是用 sn
近似代替 s 所产生的误差.
例1
写出级数
1 2
3 24
2
5 4
6
2
7 46
8
...
的
一般项.
解 分母是偶数的连乘积，而且第一项为偶数，第
二项是两个偶数之积，第三项是三个偶数之积，...，
第 n 项是个 n 偶数之积，故可写成(2n)!!,
而分子为奇数， 故第 n项为2n 1. 于是该级数的
sn
1 2 3 n
n(n 2
1)
,
显然，lim n
sn
,
故题设级数发散.
例 5 讨论等比级数(又称为几何级数)
aqn a aq aq2 ... aqn ...(a 0)
n0
的收敛性.
解
当 q 1, sn a
有
aq
aq2
...
aqn1
a(1 1
qn q
)
.
若 q 1, 有 lim qn 0, n
数列{sn }称为部分和数列.
定义 如果级数 un的部分和数列{sn }存在极限 s,
n1
即 lim n
sn
s,
则称无穷级数
un 收敛,极限 s称为
n1
级数 un的和, 并写成
n1
s u1 u2 un
如果{sn }没有极限,则称无穷级数 un发散.
n1
常数项级数的概念
如果{sn }没有极限,则称无穷级数 un发散. n1
1
1 8
,
u3
s3
s2
83 1 7 82
1 8
1 8
2
,
......
例 2
已知级数
un
n1
的前
n 项的部分和 sn
8n 7
1 8n1
,
求这个级数.
解
un sn sn1 .
u3
s3
s2
83 1 7 82
1 8
1 8
2
,
......
例 2
Hale Waihona Puke 已知级数unn1
的前
n 项的部分和 sn
8n 7
则
lim
n
s
n
1
a
q
.
若 q 1,
有
lim qn , 则
n
lim sn .
n
若
q 1,
有
sn
na,
则
lim sn .
n
例 5 讨论等比级数(又称为几何级数)
aqn a aq aq2 ... aqn ...(a 0)
n0
的收敛性.
解 若 q 1, 则级数变为
sn
aa aa ... (1)n1a
------雅克.伯努利 无穷级数是数与函数的一种重要表达形式,也是微 积分理论研究与实际应用中极其有力的工具.无穷 级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以 及求解微分方程等方面都有着重要的应用.
引言 及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究无穷级数及其和,可以说是研究数列及其极限 的另一种形式,但无论在研究极限的存在性还是在 计算这种极限的时候,这种形式都显示出很大的优 越性. 本章先介绍无穷级数的一些基本内容,然后再讨论 常数项级数、函数项级数,并着重讨论如何将函数 展开成幂级数与三角级数的问题.
显然总的棒长小于1，并且n的值愈大，其数值
愈接近于1；当n 时，Sn的极限为1。
此时上式中的加项无穷增多，成为无穷多个 数相加的式子，这就是级数。
二、常数项级数的概念
设有无穷数列 u1, u2 , u3 ,un ,,称和式
u1 u2 u3 un un (1) n1
为(常数项)无穷级数,简称为级数. 其中un称为级
一般项为
un (22nn)!1!.
例 2
已知级数
un
n1
的前
n 项的部分和 sn
8n 7
1 8n1
,
求这个级数.
解 因为 sn u1 u2 ... un1 un sn1 un ,
所以
un sn sn1 .
从而
u1
s1
81 1 7 80
1,
u2
s2
s1
82 1 7 81
1 2
a[1
(1)n
],
n个
易见 lim sn不存在. 综上所述, 当 q 1 时, 等比级 n
数收敛, 且
a
aq
aq2
...
aqn
...
1
a
q
.
例 5 讨论等比级数(又称为几何级数)
1 8n1
,
求这个级数.
解
un sn sn1 .
u3
s3
s2
83 1 7 82
1 8
1 8
2
,
......
un
sn
sn1
8n 1 7 8n1
8n1 1 7 8n2
1 8
n1
,
......
故所求级数为 1
1 8
1 8
2
...
1 8
n1
....
例
3
讨论级数
1 1 2
1 23
...
1 n(n
第十二章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅里叶级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质
数值计算
第一节 常数项级数的概念
一、引言与引例 二、常数项级数的概念 三、无穷级数的基本性质 四、无穷级数的柯西审敛原理 五、小结
一、引言与引例 正如有限中包含着无穷级数,而无限中呈现极限 一样,无限之灵魂居于细微之处,而最紧密地趋近 极限却并无止境.区分无穷大之中的细节令人喜 悦! 小中见大,多么伟大的神力.
引例
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数
边形,设 a0 表示
增加时增加的面积, 则圆内接正
这个和逼近于圆的面积 A . 即
引例2. 计算棒长
“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，如果
把每天截取的棒长相加，到第n天所得之棒长
之和为：
11 1
1
Sn 2 22 23 2n
常数项级数的概念
如果{sn }没有极限,则称无穷级数 un发散.
n1
注: 按定义,级数 un与数列{sn }同时收敛或同时
n1
发散,如果级数 un收敛于s, 则部分和 sn s,它
n1
们之间的差
rn s sn un1 un2
(3)
称为级数的余项.显然有 lim n
rn
0,而|
rn