12.1常数项级数的概念和性质

则
lim
n
s
n
1
a
q
.
若 q 1,
有
lim qn , 则
n
lim sn .
n
若
q 1,
有
sn
na,
则
lim sn .
n
例 5 讨论等比级数(又称为几何级数)
aqn a aq aq2 ... aqn ...(a 0)
n0
的收敛性.
解 若 q 1, 则级数变为
sn
aa aa ... (1)n1a
sn
Leabharlann Baidu1 2 3 n
n(n 2
1)
,
显然，lim n
sn
,
故题设级数发散.
例 5 讨论等比级数(又称为几何级数)
aqn a aq aq2 ... aqn ...(a 0)
n0
的收敛性.
解
当 q 1, sn a
有
aq
aq2
...
aqn1
a(1 1
qn q
)
.
若 q 1, 有 lim qn 0, n
数的一般项或通项.级数 (1)的前 n项的和
n
sn u1 u2 un ui
(2)
i 1
称为级数(1)的前n项部分和.当 n依次取1,2,3
时,它们构成一个新的数列{sn }, 即
常数项级数的概念
时,它们构成一个新的数列{sn }, 即
常数项级数的概念
时,它们构成一个新的数列{sn }, 即 s1 u1, s2 u1 u2 , , sn u1 u2 un ,
|是用 sn
近似代替 s 所产生的误差.
例1
写出级数
1 2
3 24
2
5 4
6
2
7 46
8
...
的
一般项.
解 分母是偶数的连乘积，而且第一项为偶数，第
二项是两个偶数之积，第三项是三个偶数之积，...，
第 n 项是个 n 偶数之积，故可写成(2n)!!,
而分子为奇数， 故第 n项为2n 1. 于是该级数的
引例
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数
边形,设 a0 表示
增加时增加的面积, 则圆内接正
这个和逼近于圆的面积 A . 即
引例2. 计算棒长
“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，如果
把每天截取的棒长相加，到第n天所得之棒长
之和为：
11 1
1
Sn 2 22 23 2n
一般项为
un (22nn)!1!.
例 2
已知级数
un
n1
的前
n 项的部分和 sn
8n 7
1 8n1
,
求这个级数.
解 因为 sn u1 u2 ... un1 un sn1 un ,
所以
un sn sn1 .
从而
u1
s1
81 1 7 80
1,
u2
s2
s1
82 1 7 81
1 2
a[1
(1)n
],
n个
易见 lim sn不存在. 综上所述, 当 q 1 时, 等比级 n
数收敛, 且
a
aq
aq2
...
aqn
...
1
a
q
.
例 5 讨论等比级数(又称为几何级数)
第十二章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅里叶级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质
数值计算
第一节 常数项级数的概念
一、引言与引例 二、常数项级数的概念 三、无穷级数的基本性质 四、无穷级数的柯西审敛原理 五、小结
一、引言与引例 正如有限中包含着无穷级数,而无限中呈现极限 一样,无限之灵魂居于细微之处,而最紧密地趋近 极限却并无止境.区分无穷大之中的细节令人喜 悦! 小中见大,多么伟大的神力.
常数项级数的概念
如果{sn }没有极限,则称无穷级数 un发散.
n1
注: 按定义,级数 un与数列{sn }同时收敛或同时
n1
发散,如果级数 un收敛于s, 则部分和 sn s,它
n1
们之间的差
rn s sn un1 un2
(3)
称为级数的余项.显然有 lim n
rn
0,而|
rn
1
1 8
,
u3
s3
s2
83 1 7 82
1 8
1 8
2
,
......
例 2
已知级数
un
n1
的前
n 项的部分和 sn
8n 7
1 8n1
,
求这个级数.
解
un sn sn1 .
u3
s3
s2
83 1 7 82
1 8
1 8
2
,
......
例 2
已知级数
un
n1
的前
n 项的部分和 sn
8n 7
------雅克.伯努利 无穷级数是数与函数的一种重要表达形式,也是微 积分理论研究与实际应用中极其有力的工具.无穷 级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以 及求解微分方程等方面都有着重要的应用.
引言 及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究无穷级数及其和,可以说是研究数列及其极限 的另一种形式,但无论在研究极限的存在性还是在 计算这种极限的时候,这种形式都显示出很大的优 越性. 本章先介绍无穷级数的一些基本内容,然后再讨论 常数项级数、函数项级数,并着重讨论如何将函数 展开成幂级数与三角级数的问题.
数列{sn }称为部分和数列.
定义 如果级数 un的部分和数列{sn }存在极限 s,
n1
即 lim n
sn
s,
则称无穷级数
un 收敛,极限 s称为
n1
级数 un的和, 并写成
n1
s u1 u2 un
如果{sn }没有极限,则称无穷级数 un发散.
n1
常数项级数的概念
如果{sn }没有极限,则称无穷级数 un发散. n1
1 8n1
,
求这个级数.
解
un sn sn1 .
u3
s3
s2
83 1 7 82
1 8
1 8
2
,
......
un
sn
sn1
8n 1 7 8n1
8n1 1 7 8n2
1 8
n1
,
......
故所求级数为 1
1 8
1 8
2
...
1 8
n1
....
例
3
讨论级数
1 1 2
1 23
...
1 n(n
显然总的棒长小于1，并且n的值愈大，其数值
愈接近于1；当n 时，Sn的极限为1。
此时上式中的加项无穷增多，成为无穷多个 数相加的式子，这就是级数。
二、常数项级数的概念
设有无穷数列 u1, u2 , u3 ,un ,,称和式
u1 u2 u3 un un (1) n1
为(常数项)无穷级数,简称为级数. 其中un称为级
1)
...的收敛性.
解
un
1 n(n
1)
1 n
n
1
1,
sn
1 1 2
1 23
...
1 n(n
1)
1
1 2
1 2
1 3
...
1 n
n
1
1
1
n
1
1
.
所以
lim
n
sn
lim n
1
n
1
1
1,
即题设级数收敛，其和为1.
例 4 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 级数的部分和为