连续介质力学题目汇总

第一章

例题1

证明a x b=0当且仅当a与b线性相关。

证：(a)若a与b线性相关，则a=0或者存在一标量a满足b=αa。在前种情况下，由公理（5）我们有a x b=0，在后种情况下，由公式（4）和（5）得到同样的结论。

（b）若a x b=0，由公理（7）、（3）和式（8）给出a·b=±|a| |b|。假定正号成立，则由公理（2）和（1）有（|b|a-|a|b）·（|b|a-|a|b）=2|a|²|b|²-2|a||b|a·b=0，再由公理（3）即得到|b|a =-|a|b。在两种情况下，我们都有a=0或者b为a的某一标量倍数。因此a和b线性相关。

例题2

证明三重积的下列性质：

（1）[a，b，c] =[b，c， a ]=[c，a，b ]=-[a，c，b ]=-[b，a，c ]=-[c，b，a]

∀a，b，c⊂E，

（2）[αa+βb，c，d] =α[a，c， d ]+β[b，a，d]

∀a，b，c，d∈E，α，β∈R，

（3）[a，b，c]=0当且仅当a，b，c线性相关。

证：（1）由公理（4）、（2）和（1）知三重积当其中第二和第三元素交换位置时改变符号。由公理（6）并借助于公理（2）和（5），

0=（a+b）·{（a+b）xc}

=a·（axb）+ a·（cxb）+ b·（axc）+ b·（bxc）

=[a，b，c]+ ]+[b，a，c ]，

由此得知，当交换第一和第二个元素时，三重积也改变符号，反复使得这两个性质即得到恒等式（10）。

（2）在公理（2）中用cxd替换c即得等式（11）。

（3）（a）首先注意到公理（2）和性质（10），意味着如果三重积中任何一个元素为零矢量，则其值为零。若a，b，c线性相关，则存在三个不全为零的标量α，β，γ，满足αa+βb+γc=0，因此三重积[αa+βb+γc，b，c]，[a，αa+βb+γc，c]，[a，b，αa+βb+γc]均为零。利用式（10）和（11），它们分别简化为α[a，b，c] 、β[a，b，c] 、γ[a，b，c]。既然α，β，γ中至少有一个非零，故[a，b，c]=0。

（b）逆结论可用归谬法获得。假设[a，b，c]=0且a，b，c为线性无关的矢量。例1告诉我们bxc≠0，由（9）和（10）我们看到a，b和c都与bxc正交。既然a，b，c构成E中的一基底（*），那么任何矢量都应当与bxc正交。但是这个结论显然是错误的，因此bxc 不与自身正交，因此a，b，c必须线性相关。

例题4

令{f,g,h}和{l,m,n}为E 中任意选取的两组基。A 为任意张量，证明：

{[Af,g,h]+[f,Ag,h]+[f,g,Ah]}/{f,g,h}={[Al,m,n]+[l,Am,n]+[l,m,An]}/ {l,m,n} (A)

{[f,Ag,Ah]+[Af, g,Ah]+[Af,Ag, h]}/{f,g,h}={[l,Am,An]+[Al, m,An]+[Al,Am, n]}/ {l,m,n} (B) [Af,Ag, Ah]}/{f,g,h}={[Al,Am,An] / {l,m,n} (C)

证：令fi,gi,hi 为矢量f 、g 、h 相对于标准正交基底e 的分量。

得到：[Af,g,h]= [A （f p ，e p ）,g q e q ,h r e r ]= [f p Ae p ,g q e q ,h r e r ]= f p g q h r [Ae p , e q , e r ]

可以写成：f p g q h r { [Ae p , e q , e r ] + [e p , Ae q , e r ]+ [e p , e q , Ae r ]}/ {f,g,h} (D) 将(D)改写为：f p g q h r { [Ae 1 e 2 e 3] + [e 1, Ae 2, e 3]+ [e 1 e 2 Ae 3]}/ {f,g,h}=±{[Ae 1 e 2

e 3] + [e 1, Ae 2, e 3]+ [e 1 e 2 Ae 3]} （E ） 不管e 为何方向，都有：

{[Af,g,h]+[f,Ag,h]+[f,g,Ah]}/{f,g,h}={[Ae 1 e 2 e 3] + [e 1, Ae 2, e 3]+ [e 1 e 2 Ae 3]}/[ e 1, e 2, e 3] (F)

(F)左边的基底的选择是任意的，这样便得到结果(A)。证明(A)所用的步骤同样适用于证明 (B)、(C)。

例题6

令为一可逆张量，其值依赖于一实参数。假定存在，试证

证：对于=][Ac Ab,Aa,ⅢA c]b,a,[，E c b,a,∈∀ 两边关于τ的积分为

)(det ]

[A c b,a,τ

d d

][][][BAc Ab,Aa,Ac BAb,Aa,Ac Ab,BAa,++=

这里，1

)/(-=A A B τd d

由：c]b ,[a,ΙAc]b ,[a,c]Ab ,[a,c]b ,[Aa,A =++

=][Ac Ab,Aa,ⅢA c]b,a,[，E c b,a,∈∨

上式变为：c]b,A)[a,B Ac]Ab,B[Aa,A c b,a,)(det ()(det ]

[tr tr d d

==τ

即)(

)(det )(det 1

-=A A A A τ

τd d tr d d pqr εA τ(*)

/τ

d d A )()(det )(det 1

-=A A A A τ

τd d tr d d

例题9

令u 和v 为任意矢量，试证0)det(,=⊗⋅=⊗v u v u v u tr ，并证明v u ⊗的第二主不变量为零。

证：由定义E a u v a a v u ∈∀⋅=⊗,)()(，发现v u ⊗的第二和第三主不变量均为零。 因为式c]b ,[a,c]v b ,u v a,[u v c]u b ,v a,[u v c]u v b ,u [a,v u ⊗=⊗⊗+⊗⊗+⊗⊗ 左边的各三重积中都有两元素u 的标量倍数，而式=⊗⊗⊗][vc u vb,u va,u Ⅲc]b,a,[左边的三重积中的三个矢量均为u 的标量倍数。

式c]b ,[a,Ιv c]u b ,[a,c]v b ,u [a,c]b ,v a,[u v u ⊗=⊗+⊗+⊗给出:

)(][v u c b,a,⊗tr

v)u](c b,[a,c]v)u,(b [a,c]b,v)u,[(a ⋅+⋅+⋅= u]b,v)[a,(c c]u,v)[a,(b c]b,v)[u,(a ⋅+⋅+⋅=

}{c b,a,为E 中的一组基，则存在三个标量γβα,,满足c b a u γβα++=，将此式带入上式，

从而得到：

v u v c b a v c v b v a v u ⋅=⋅++=⋅+⋅+⋅=⊗)()()()()(γβαγβαtr

例题11

令A 为一任意张量，证明和为半正定对称张量。若A 可逆，证明这些张量正定。

证明：由式

这表明与均为对称张量。令α为以任意矢量，则利用是式 ，我们有

(A)

公理3保证式（A ）右边的标量积非负，因此由定义(63)：如果张量A 满足a.(Aa)0 ，我们

A A T T

AA T

T T A B AB =)(A A A A A A T T T T T T ==)()(T T T T T AA A A AA ==)()(A A T T

AA

)

).((}).{(a )).(()}(.{}).{(a a A a A a AA Aa Aa Aa A a a A A T

T

T

T T ===