包括边界条件和初始条件
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第一章 渗流理论基础
肖 长 来 吉林大学环境与资源学院
2009-10
§1.7 数学模型的建立及求解
1.7.1数学模型的有关概念 • 同一形式的偏微分方程代表了整个一大类的地下 水流的运动规律，而对于不同边界性质、不同边 界形状的含水层，水头的分布是不同的。
• 对于偏微分方程而言，方程本身并不包含反映特 定渗流区条件的全部信息，方程可能存在无数个 解，如需要从大量的可能解中求得与特定区域条 件相对应的唯一特解，就必须提供反映特定区域 特征的信息。
1.7.2 定解条件 1.定解条件 指水头、流量等渗流运动要素在流场边界上的已 知变化规律，这种变化规律是由流场外部条件引 起的，但它不断地影响流场内部的渗流过程并在 整个期间一直起作用。包括边界条件和初始条件。 2. 边界条件 是渗流区边界所处的条件，用以表示水头H（或渗 流量q）在渗流区边界上所应满足的条件，也就是 渗流区内水流与其周围环境相互制约的关系。
式中，n为边界S2或Γ2的外法线方向。q1和q2则为已知函 数，分别表示S2上单位面积和Γ2上单位宽度的侧向补给量。 常见的这类边界条件： ① 隔水边界（流线、分水岭）：
（1-107）
② 抽水井或注水井：
（1-108）
③ 补给或排泄地下水的河渠边界上，如已知补给量。 （3）第三类边界条件：某边界上H 和 的线性组合 是已知的，即有：
• 数学模型：描述某一研究区地下水流运动的数学方程与 其定解条件共同构成的表示某一实际问题的数学结构。 • 亦即从物理模型出发，用简洁的数学语言，即一组数学 关系式来刻画它的数量关系和空间形式，从而反映所研 究地质体的地质、水文地质条件和地下水运动的基本特 征，达到复制或再现一个实际水流系统基本状态的目的 的一种数学结构。 • 其中微分方程表示地下水的流动规律，定解条件表明研 究对象所处的特定环境条件，即所研究的地下水流的真 实状态。 • 定解问题是给定了方程（或方程组）和相应定解条件的 数学物理问题。 • 建立模型是指建立数学模型的过程。
(1) 第一类边界条件(Dirichlet条件)：如果在某一部分边界 (设为Sl或Γ1)上，各点在每一时刻的水头都是已知的，则这
部分边界就称为第一类边界或给定水头的边界，表示为:
（1-103）
或
（1-103）
给定水头边界不一定就是定水头边界。 可以作为第一类边界条件来处理的情况：
① 河流或湖泊切割含水层，两者有直接水力联系时，这部分边 界就可以作为第一类边界处理。此时，水头y是一个由河湖水 位的统计资料得到的关于t的函数。但要注意，某些河、湖底 部及两侧沉积有一些粉砂、亚粘土和粘土，使地下水和地表水 的直接水力联系受阻，就不能作为第一类边界条件来处理。
③ 排泄地下水的溢出带、冲沟或排水渠的边界也可 近似看作给定水头边界。
(2)第二类边界条件(Neumam条件)：当知道某一部分边界 (设为S2或Γ2)单位面积(二维空间为单位宽度)上流入(流出时 用负值)的流量q时，称为第二类边界或给定流量的边界。 相应的边界条件表示为:
（1-105）
或
（1-106）
随机性模型：数学关系式中含有一个或多个随机变 量的模型。
用确定性模型来描述实际地下水流时，如前述，必须 具备下列条件：
① 有一个(或一组)能描述这类地下水运动规律的偏微 分方程；同时，确定了相应渗流区的范围、形状和 方程中出现的各种参数值。 ② 给出相应的定解条件。对所建立的模型进行检验， 即把模型预测的结果与通过抽水试验或其它试验对 含水层施加某种影响后所得到的实际观测结果或一 个地区地下水动态长期观测资料进行比较，看两者 是否一致。若不一致，就要对模型进行校正，即修 正条件(1)和(2)直至满意拟合为止。这一步骤称为 识别模型或校正模型。
（1-109）
又称混合边界条件，，为已知函数。 边界为弱透水层（渗透系数为K1，厚度或宽度为m1），
在s3上, 在 上, 浸润曲线的边界条件：
（1-110）
（1-111）
（1-112）
当浸润曲线下降时，从浸润曲线边界流入渗流区的单位面积 流量q为：
（1-113）
式中，m 为给水度， 为浸润Fra bibliotek线外法线与铅垂线间的夹角。
3.初始条件
某一选定的初始时刻(t=0)渗流区内水头H的分布 情况。
（1-114）
或
（1-115）
其中，H0为D上的已知函数。
1.7.3 渗流数学模型的分类
(1)线性、非线性模型
•
•
模型由线性方程所组成，称为线性模型，如均 质各向同性承压二维流方程。
模型由非线性方程所组成，称为非线性模型，如 潜水模型方程。 (2)静态、动态模型
在自然界，这种情况很少见。就是附近有河流、湖 泊，也不一定能处理为定水头边界，还要视河流、湖泊 与地下水水力联系的情况，以及这些地表水体本身的径 流特征而定。在没有充分依据的情况下，不要随意把某 段边界确定为定水头边界，以免造成很大误差。 ② 区域内部的抽水井、注水井或疏干巷道也可以作 为给定水头的内边界来处理。此时，水头通常是按某种 要求事先给定，例如给定抽水井的允许降深等。上面介 绍的都只是给定水头的边界。注意，给定水头边界不一 定是定水头边界。
根据模型中未知变量与时间的关系进行划分，若 未知变量与时间无关，如稳定流模型，称为静态模 型，反之，则为动态模型。
(3)集中、分布参数模型
模型中不含有空间坐标变量的模型，称为集中参数 模型，如抽水井流量与降深之间的经验公式。
模型中含有空间坐标变量的模型，称为分布参数模 型。
(4)确定性与随机性模型 确定性模型：数学模型中各变量之间有严格的数学 关系的模型。
这些信息包括： （1）微分方程中的有关参数m,K,m*，当这些参数确定后，微分 方程才能被确定下来。 （2）渗流区范围和形状，当微分方程所对应的区域被确定之后 才能对方程求解。
（3）边界条件(boundary conditions)：表示渗流区边界所处 的条件，用以表示水头H（或渗流量q）在渗流区边界上所应 满足的条件，也就是渗流区内水流与其周围环境相互制约的 关系。 （4）初始条件(initial conditions)：表示渗流区的初始状态， 某一选定的初始时刻(t=0)渗流区内水头H的分布情况。 将边界条件和初始条件并称为定解条件(definite solution condition)，微分方程和定解条件一起构成渗流场的数学模 型。
肖 长 来 吉林大学环境与资源学院
2009-10
§1.7 数学模型的建立及求解
1.7.1数学模型的有关概念 • 同一形式的偏微分方程代表了整个一大类的地下 水流的运动规律，而对于不同边界性质、不同边 界形状的含水层，水头的分布是不同的。
• 对于偏微分方程而言，方程本身并不包含反映特 定渗流区条件的全部信息，方程可能存在无数个 解，如需要从大量的可能解中求得与特定区域条 件相对应的唯一特解，就必须提供反映特定区域 特征的信息。
1.7.2 定解条件 1.定解条件 指水头、流量等渗流运动要素在流场边界上的已 知变化规律，这种变化规律是由流场外部条件引 起的，但它不断地影响流场内部的渗流过程并在 整个期间一直起作用。包括边界条件和初始条件。 2. 边界条件 是渗流区边界所处的条件，用以表示水头H（或渗 流量q）在渗流区边界上所应满足的条件，也就是 渗流区内水流与其周围环境相互制约的关系。
式中，n为边界S2或Γ2的外法线方向。q1和q2则为已知函 数，分别表示S2上单位面积和Γ2上单位宽度的侧向补给量。 常见的这类边界条件： ① 隔水边界（流线、分水岭）：
（1-107）
② 抽水井或注水井：
（1-108）
③ 补给或排泄地下水的河渠边界上，如已知补给量。 （3）第三类边界条件：某边界上H 和 的线性组合 是已知的，即有：
• 数学模型：描述某一研究区地下水流运动的数学方程与 其定解条件共同构成的表示某一实际问题的数学结构。 • 亦即从物理模型出发，用简洁的数学语言，即一组数学 关系式来刻画它的数量关系和空间形式，从而反映所研 究地质体的地质、水文地质条件和地下水运动的基本特 征，达到复制或再现一个实际水流系统基本状态的目的 的一种数学结构。 • 其中微分方程表示地下水的流动规律，定解条件表明研 究对象所处的特定环境条件，即所研究的地下水流的真 实状态。 • 定解问题是给定了方程（或方程组）和相应定解条件的 数学物理问题。 • 建立模型是指建立数学模型的过程。
(1) 第一类边界条件(Dirichlet条件)：如果在某一部分边界 (设为Sl或Γ1)上，各点在每一时刻的水头都是已知的，则这
部分边界就称为第一类边界或给定水头的边界，表示为:
（1-103）
或
（1-103）
给定水头边界不一定就是定水头边界。 可以作为第一类边界条件来处理的情况：
① 河流或湖泊切割含水层，两者有直接水力联系时，这部分边 界就可以作为第一类边界处理。此时，水头y是一个由河湖水 位的统计资料得到的关于t的函数。但要注意，某些河、湖底 部及两侧沉积有一些粉砂、亚粘土和粘土，使地下水和地表水 的直接水力联系受阻，就不能作为第一类边界条件来处理。
③ 排泄地下水的溢出带、冲沟或排水渠的边界也可 近似看作给定水头边界。
(2)第二类边界条件(Neumam条件)：当知道某一部分边界 (设为S2或Γ2)单位面积(二维空间为单位宽度)上流入(流出时 用负值)的流量q时，称为第二类边界或给定流量的边界。 相应的边界条件表示为:
（1-105）
或
（1-106）
随机性模型：数学关系式中含有一个或多个随机变 量的模型。
用确定性模型来描述实际地下水流时，如前述，必须 具备下列条件：
① 有一个(或一组)能描述这类地下水运动规律的偏微 分方程；同时，确定了相应渗流区的范围、形状和 方程中出现的各种参数值。 ② 给出相应的定解条件。对所建立的模型进行检验， 即把模型预测的结果与通过抽水试验或其它试验对 含水层施加某种影响后所得到的实际观测结果或一 个地区地下水动态长期观测资料进行比较，看两者 是否一致。若不一致，就要对模型进行校正，即修 正条件(1)和(2)直至满意拟合为止。这一步骤称为 识别模型或校正模型。
（1-109）
又称混合边界条件，，为已知函数。 边界为弱透水层（渗透系数为K1，厚度或宽度为m1），
在s3上, 在 上, 浸润曲线的边界条件：
（1-110）
（1-111）
（1-112）
当浸润曲线下降时，从浸润曲线边界流入渗流区的单位面积 流量q为：
（1-113）
式中，m 为给水度， 为浸润Fra bibliotek线外法线与铅垂线间的夹角。
3.初始条件
某一选定的初始时刻(t=0)渗流区内水头H的分布 情况。
（1-114）
或
（1-115）
其中，H0为D上的已知函数。
1.7.3 渗流数学模型的分类
(1)线性、非线性模型
•
•
模型由线性方程所组成，称为线性模型，如均 质各向同性承压二维流方程。
模型由非线性方程所组成，称为非线性模型，如 潜水模型方程。 (2)静态、动态模型
在自然界，这种情况很少见。就是附近有河流、湖 泊，也不一定能处理为定水头边界，还要视河流、湖泊 与地下水水力联系的情况，以及这些地表水体本身的径 流特征而定。在没有充分依据的情况下，不要随意把某 段边界确定为定水头边界，以免造成很大误差。 ② 区域内部的抽水井、注水井或疏干巷道也可以作 为给定水头的内边界来处理。此时，水头通常是按某种 要求事先给定，例如给定抽水井的允许降深等。上面介 绍的都只是给定水头的边界。注意，给定水头边界不一 定是定水头边界。
根据模型中未知变量与时间的关系进行划分，若 未知变量与时间无关，如稳定流模型，称为静态模 型，反之，则为动态模型。
(3)集中、分布参数模型
模型中不含有空间坐标变量的模型，称为集中参数 模型，如抽水井流量与降深之间的经验公式。
模型中含有空间坐标变量的模型，称为分布参数模 型。
(4)确定性与随机性模型 确定性模型：数学模型中各变量之间有严格的数学 关系的模型。
这些信息包括： （1）微分方程中的有关参数m,K,m*，当这些参数确定后，微分 方程才能被确定下来。 （2）渗流区范围和形状，当微分方程所对应的区域被确定之后 才能对方程求解。
（3）边界条件(boundary conditions)：表示渗流区边界所处 的条件，用以表示水头H（或渗流量q）在渗流区边界上所应 满足的条件，也就是渗流区内水流与其周围环境相互制约的 关系。 （4）初始条件(initial conditions)：表示渗流区的初始状态， 某一选定的初始时刻(t=0)渗流区内水头H的分布情况。 将边界条件和初始条件并称为定解条件(definite solution condition)，微分方程和定解条件一起构成渗流场的数学模 型。